等腰三角形中辅助线的作法研究

徐乾平

摘要：本文总结了本人近年来的任教经验，发现三角形是一大非常常考的模塊。立体几何方面的问题带给人的最直观感受是问题非常的精炼，图形也非常简单。在这种条件不充足，图形表征也不明显的背景下，很多学生便只是望而却步了，但学生其实完全可以遇山开山，遇水造桥，这样问题也能够顺利地得到解决。

关键词：等腰三角形;辅助线;作法

中图分类号：A 文献标识码：A 文章编号：（2021）-27-293

引言

辅助线可以用作扩充题干的已知条件，做辅助线可以使题干当中原有的抽象关系清晰呈现，从而协助学生进行解题。下面是等腰三角形的集中辅助线作法。

一、平移法

就是将一个点从一个线段之上移动到其他的位置之上，再根据平行线的相关性质，或者是根据平行四边形的图形性质，将有关的元素连接起来共同进行推导。例：参见下图1。已知EF为等腰梯形的中位线，对角线AD和BC之间相互垂直，梯形的高为BG。求证：EF=BG

经过分析题干以及图形可知，关于AD和BC两条线段之间只给出了相互垂直这一条件，这就可以从梯形的中位线入手，其论证结论的得出必然与中位线有关。学生便可以自行回忆一下梯形的中位线长度=（上底+下底）*？，因此，如果将AB这条线段的A点沿AD向下平移，直至A点与D点重合，使得AB与DH重合，则梯形的上底+下底=CH。之后连接BH，就得到了一个平行四边形ABHD，通过梯形的中位线定理便可以完成证明得出结论。

二、旋转法

这种方法就是围绕一个固定的点进行旋转，旋转出一个特定的角度，旋转法主要是利用边长或者角度相等。对于等腰三角形的论证题目而言，旋转法显然应用起来更为方便，值得优先考虑。这种方法可以将分散的条件集中起来，扩展已知的条件，为解决问题和证明结论提供便利条件。但是，由于每个问题的旋转角度或位置均不相同，学生需要自行想象旋转后的情况，如果对解题有利，再下笔解答。例：如图3，已知点F是等腰三角形ABC当中的一点，且AB与AC两条线段长度相等。已知∠AFB>∠AFC。求证：FC>FB

分析本题，有些学生可能会想到用两个大小相等的底角分别减去∠ABF及∠ACF得出结论，但是这两个角的度数我们也无从得知，若想从比较这两个角的大小入手，便会增加问题的难度。但是如果在图形当中做出一条辅助线，使得三角形AFB能够沿着A点逆时针旋转到三角形AEC的位置之上，即可得出∠AFB=∠AEC，则所有的已知条件便可以聚集在四边形AFCE之中，再将FE连接得出AFE=AEF，再根据已知条件AEC>AFC，即可得出FC>EC。

三、翻折法

翻折法是指以某条直线作为对称轴，沿着对称轴进行对折，得到题目当中给定图形的全等图形。在翻折的过程当中，很容易出现等腰三角形，论证过程当中便可以通过这种方式将题目当中给定的零散的线段以及角集中起来，从中获得更多的等量关系或是已知量。例：如图4 所示，在三角形ABC当中，∠C的大小是∠B的两倍，且线段AO垂直于线段BC。求证：BO=AC+CO

X证明：如图所示，将三角形ACO沿线段AO翻折至三角形AOM的位置上，那么可得出线段AC与AM相等，线段OC与OM相等，∴∠C=∠AMO，两角均为∠B的2倍，又∵∠AMO=∠B+∠BAM，∴∠B=∠BAM，线段AM与MB相等，又∵BO=BM+MO，∴BO=AC+CO。

结束语

在等腰三角形的证明题的解题过程中，仅仅通过既定条件并不能很轻松的完成证明，而辅助线的添加便可以很轻易地解决解题难的问题，从而节省很多的时间以及精力。再结合上述的三种辅助线作法，相信一定能给学生带来很大的帮助！

参考文献

[1]赵胜.等腰三角形中辅助线的作法浅析[J].科教文汇（中旬刊），2017，{4}（04）：100-102.

[2]刘巍.等腰三角形中辅助线的作法[J].数理天地（初中版），2016，{4}（03）：15-16.