2020年中考“图形的变化”专题命题分析

蔡莉娜

摘  要：2020年全国各地区中考试卷对“图形的变化”的考查整体上体现了突出重点、关注应用、注重能力，符合《义务教育数学课程标准（2011年版）》的理念与要求. 文章以“图形的变化”的部分典型试题为例，重点围绕对图形本质、几何直观、数学应用和数学文化四个方面的关注，对相关试题的命题思路进行剖析.

关键词：图形的变化;命题分析;中考试题

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）将“图形与几何”分成图形的性质、图形的变化、图形与坐标三大块，其中“图形的变化”主要包括图形的轴对称、图形的旋转、图形的平移、图形的相似和图形的投影.“图形的变化”是初中数学的重要内容之一. 由于其在考查学生空间观念、几何直观、推理能力和抽象能力等方面有着不可替代的作用，因此在历年中考中一直占有重要地位.

一、考查内容分析

从2020年全国各地区近百份中考数学试卷来看，在“图形的变化”的命题中，不仅突出对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查，还重视对能力要求的分层考查，这有利于检测出不同能力层次的学生对知识的掌握、应用及思维发展情况. 多道试题以几何情境、现实情境和数学传统文化等为载体进行命制，凸显了数学学科核心素养，体现了图形的变化的考查目标和育人功能. 总体上看，2020年全国各地区中考数学试卷中“图形的变化”试题的考查特点主要体现在以下几个方面.

一是突出重点. 借助基本图形及其相互的关系，突出考查核心内容. 试卷从多角度考查了基础知识、基本技能与基本思想方法，体现了《标准》中的“面向全体学生”;从多层次考查学生的空间观念、推理能力、运算能力、应用能力等，尊重学生的个性差异，体现了《标准》中的“适应学生个性发展的需要”和“不同的人在数学上得到不同的发展”. 试题展现了义务教育阶段的基础性、普及性和发展性的数学教育特征.

二是关注应用. 通过设计不同情境的实际问题，彰显数学的广泛应用和工具性. 例如，多份試卷中出现了生活中的测量问题和线路最短长度的定位问题等试题，考查学生对已知几何模型的理解和灵活调用相关的数学知识解决实际问题的能力，有着重要的现实意义，体现了《标准》中的“从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题”.

三是注重能力. 试题编制关注知识的交会，既有明确的考查指向，又蕴含着思维能力. 为了避免过多的模式化训练对测试结果效度的影响，设计挑战性问题，以增强试题的综合性与思想性. 例如，多份试卷中出现了不能套用现成模式解决的探究活动，需要综合运用三角函数、相似三角形、图形运动变换等知识解决问题，促进学生对知识间相互联系的思考，考查学生的推理能力、抽象能力、探究能力和应用能力等. 这类试题体现了数学学科独特的育人功能，也体现了《标准》中的“培养学生的抽象思维和推理能力”，以及“关注学生的全面、持续、和谐发展”.

二、命题思路分析

1. 立足基础，关注图形本质

《标准》明确指出，要掌握图形与几何的基础知识和基本技能.“图形的变化”这部分内容概念、性质和定理较多，通常以三角形、四边形等基本的直线型平面图形为载体，以核心知识为纽带，通过基本概念、基本性质、基本计算等突出对图形本质属性的考查.

（1）关注图形变换中核心元素的变化规律.

例1 （江苏·苏州卷）如图1，在[△ABC]中，[∠BAC=][108°]，将[△ABC]绕点[A]按逆时针方向旋转得到[△ABC]. 若点[B]恰好落在边[BC]上，且[AB=CB，]则[∠C]的度数为（    ）.

（A）[18°] （B）[20°]

（C）[24°] （D）[28°]

【评析】此题以旋转为主线，将旋转、等腰三角形和三角形内外角的性质融合在一起. 在非标准图形中，需要学生根据图形的旋转变换过程，明确其变换规律，从而辨析其中的对应关系，突出对图形本质属性的考查，关注通性、通法.

任何图形经过轴对称、旋转和平移变换后，只是改变了图形的位置，图形的形状和大小不会发生任何变化. 在不同的运动变换下，图形具有各自不同的性质，其核心元素有着不同的变化规律. 通过对这三种基本变换试题的编制，既能实现对学生对不同变换性质掌握的评价，又能考查学生对基本图形本质的理解. 类似试题还有贵州黔东南州卷第5题、天津卷第11题等.

（2）关注图形的“对应关系”.

例2 （黑龙江·大兴安岭卷）图2是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面积是____________.

【评析】此题题干叙述简洁、明了，通过图形上标识的数据，避免了冗长的文字表述，便于学生理解题意. 由题中的三视图可推断出原几何体为圆锥，体现了视图在“视”的基础上的对应特征，考查了学生对图形观察、识别、分析、判断的基本能力，以及空间观念，较好地体现了《标准》中对基本几何体与三视图之间关系的要求.

判断三维（空间）的基本几何体与二维（平面）几何体的关系，它的解答往往依赖于学生的合情推理能力，由于推理过程不易于用数学语言表达出来，因此各地基本上采用选择题或填空题的题型. 像这样由视图到立体图形，或是由立体图形到视图是各地区中考数学试卷中对“图形的投影”考查的常用方式. 类似试题还有北京卷第1题、新疆生产建设兵团卷第2题、湖南怀化卷第15题等.

例3 （浙江·绍兴卷）如图3，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为[8 cm，] 则投影三角板的对应边长为（    ）.

（A）[20 cm] （B）[10 cm]

（C）[8 cm] （D）[3.2 cm]

【评析】此题创设的情境比较自然、公平，以学生熟悉的三角板为背景进行命制，拉近了与学生的距离. 以位似图形的设置方式，将该问题转化为相似三角形中对应边的比等于相似比，既考查了相似三角形的性质，又考查了学生对图形本质属性的把握，这样的设计使得图形具有了与几何本质联系的意义. 类似试题还有重庆B卷第6题、黑龙江哈尔滨卷第10题、辽宁营口卷第6题等.

2. 借助数学内在的关联，关注几何直观

数学学科的严密性和系统性决定了数学知识间有着密切的联系. 中考试题的命制特别重视从知识的相关性入手，强调知识间的逻辑关联，注重综合性，运用数学思考，选用合理方法解答相关的试题. 试题加强了对学生读图、操作、探究、推理等能力的要求，彰显了从知识理解到知识运用的过程，全面考查了学生的各水平情况. 在各地中考数学试题中，重视考查学生的数学思想方法和综合运用几何知识解决问题的能力，强调图形变换的应用，展现空间观念，体现了对学生数学学科核心素养的要求.

（1）在知识的纵横联系中关注几何直观.

例4 （浙江·台州卷）把一张宽为[1 cm]的长方形纸片[ABCD]折叠成如图4所示的阴影图案，顶点[A，D]互相重合，中间空白部分是以[E]为直角顶点，腰长为[2 cm]的等腰直角三角形，则纸片的长[AD]（单位：[cm）]为（    ）.

（A）[7+32] （B）[7+42]

（C）[8+32] （D）[8+42]

【评析】此题以学生熟悉的折纸活动为背景进行命制，需要结合已知条件和翻折的性质进行深入分析，通过添加适当的辅助线构造特殊三角形或特殊四边形解决问题. 根据此题的解答情况，可以推断出学生对等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、轴对称图形的性质等知识的整体掌握情况. 此题对学生的抽象概括能力提出了一定要求，对学生空间观念的发展情况进行了有效考查.

类似试题还有湖南常德卷第15題、江西卷第12题、重庆A卷第11题、山东威海卷第16题等.

例5 （福建卷）如图5，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P.

（1）求∠BDE的度数;

（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF = ∠DAC.

① 判断DF和PF的数量关系，并证明;

② 求证：[EPPF=PCCF].

【评析】此题中各小题考查的重点有所不同，在考查学生几何基础知识的同时，把空间想象能力、逻辑推理能力较好地融入了其中. 设问由易到难、层层递进，给不同基础的学生提供了不同层次的思维平台，对不同认知水平的学生分别进行了考查，有一定的区分度. 第（1）小题考查的是利用旋转的基本性质进行简单的几何计算，考查了学生最基本、最通用的数学知识与技能. 第（2）小题第①问给学生提供了一个探究的平台，利用外角性质，可以得到∠DPF = ∠PDF，由此判断了DF和PF的数量关系，考查了学生观察、想象、转化等灵活运用知识的能力;第②问需要学生调用高度的推理能力解决问题，思维含量大，所要证明的比例线段在现有的图形中很难直接获得，因此需要添加辅助线解决问题，而不同的切入点会产生不同的添加辅助线的方式. 例如，可以过点P作PH∥ED交DF于点H（如图6），由[EPPF=DHHF]和△HPF  ≌ △CDF完成证明，也可以过点P作PG∥DC交DE于点G（如图7），由[EPPC=EGDG， EGGP=EDDC]和△DEF ∽ △CDF完成证明. 不同的解法、合理的坡度，都是为了尊重学生个性的差异，这样的问题设计具有一定的推广性.

类似试题还有湖北荆州卷第22题、重庆A卷第26题等.

例6 （安徽卷）如图8，[△ABC]和[△DEF]都是边长为2的等边三角形，它们的边[BC，EF]在同一条直线[l]上，点[C，E]重合. 现将[△ABC]沿着直线[l]向右移动，直至点[B]与点[F]重合时停止移动. 在此过程中，设点[C]移动的距离为[x，] 两个三角形重叠部分的面积为[y，] 则[y]随[x]变化的函数图象大致为（    ）.

【评析】此题以学生熟悉的等边三角形为背景进行命制. 在图形平移的过程中，重叠部分的面积与移动的距离这两个变量按照某种规律在进行变化，从而出现了函数关系. 在三角形平移的过程中，重叠部分面积先增加后减少，因此先要找到分段点，然后分段进行计算. 此题考查了学生运用平移、等边三角形和函数的相关知识解决问题的能力，较好地体现了数学知识间的联系与综合. 此题以选择题的形式进行命制较为合理，将学生对“重叠部分面积”表示可能性的估计作为选项，有效避免了各选项对学生解答试题的提示.

类似试题还有湖南湘西州卷第17题、宁夏卷第26题等，其都是在图形的运动变化的过程中，借助基本图形的性质和平移变换的性质分析重叠部分面积的变化情况.

例7 （内蒙古·通辽卷）如图9（1），在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC = x，PA + PE = y. 图9（2）是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点. 那么a + b的值为____________ .

【评析】此题需要根据已知条件将两张图结合在一起思考，文字、图象需要在问题的分析过程中互相转化，考查学生从文字和图象中获取信息的能力. 根据图9（2）呈现出的点P在运动过程中y与x之间的函数图象，推断出函数值[33]表示的是当点P与点B重合时PA + PE的值，由此可求得[AB=23.] 在此基础上将所要求的a + b的值转化为求PA + PE的最小值问题. 学生在解决这个问题的过程中，需要经历观察、思考、推理、操作等一系列数学活动，感悟数形结合、转化等数学思想.

像这样在知识的交会处设计问题的还有湖北荆门卷第12题等.

（2）在方法的联系与融合中关注几何直观.

例8 （河南卷）将正方形[ABCD]的边[AB]绕点[A]逆时针旋转至[AB′，] 记旋转角为[α]. 连接[BB′]，过点[D]作[DE]垂直于直线[BB′，] 垂足为点[E，] 连接[DB′，CE.]

（1）如图10（1），当[α=60°]时，[△DEB′]的形状为____________，连接[BD，] 可求出[BB′CE]的值为____________;

（2）当[0°<α<360°]且[α≠90°]时，

① （1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，试仅就图10（2）的情形进行证明;如果不成立，试说明理由;

② 当以点[B′，E，C，D]为顶点的四边形是平行四边形时，试直接写出[BEB′E]的值.

【评析】此题是多种题型的复合，采用了“填空 + 证明 + 解答”的题型设计，三种题型选用恰当，通过线段AB旋转角度的不同构造问题情境. 第（1）小题是在旋转了特殊的角度后得到的结论，难度不大，这个问题的解答为第（2）小题提供了一定的支持，相当于为学生搭设了“脚手架”. 由于第（1）小题论述的过程与更具有一般特征的第（2）小题第①问很类似，因此第（1）小题以填空的形式出现，只要求写出结论，而后者则需要写出完整的解答过程，以展示学生的思维过程. 这样的设计既能考查学生解决问题的策略，又能考查学生对知识、方法的迁移能力和探究能力. 在此题的三道小题中，[BB′CE=2]始终成立，这一“不变性”源自“正方形[ABCD，AB=AB′，DE]垂直于直线[BB′]”这三个条件，因此总有[△B′DB]∽[△EDC，] 反映了有公共顶点的两个相似三角形的性质. 在解决最后一道小题时，由于以点[B′，E，C，D]为顶点的四边形是平行四边形没有现成的图形，学生需要在尝试操作、检验和探究的过程中，猜想、推断点[B′]与E的位置，结合前面的“不变性”，再对问题进行整体性的思考与理解. 此题体现了从特殊到一般的探究过程，渗透了类比、化归、分类讨论等数学思想，体现了高阶思维.

类似试题还有黑龙江鹤岗卷第26题、浙江嘉兴卷第23题等.

例9 （江西卷）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图11中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究.

类比探究：

（1）如图12，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1 = ∠2 = ∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为____________;

推广验证：

（2）如图13，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1 = ∠2 = ∠3，∠D = ∠E = ∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，试证明你的结论;若不成立，试说明理由;

拓展应用：

（3）如图14，在五边形ABCDE中，∠A = ∠E = ∠C = 105°，∠ABC = 90°，AB =[23，] DE = 2，点P在AE上，∠ABP = 30°，PE[=2，] 求五边形ABCDE的面积.

【评析】此题体现了探究问题的整体过程. 首先，在原有方法基础上进行类比;其次，在类比的基础上做进一步的推广;最后，运用推广的方法与结论探究在新背景下问题解决的策略与方法. 综观整个过程，要求依序增加，需要学生抓住所用方法的本质，通过观察、归纳、类比、拓展等数学思维活动，综合运用勾股定理、相似三角形等知识进行探究、推理、计算，蕴含着用数学模式化功能发现数学结论和方法的策略，有利于考查学生的数学综合素养. 此题设计巧妙，有继承也有创新，体现了回归教材和考查不同能力层次学生的特点，有较好的区分度. 在第（1）小题和第（2）小题的图形中，学生容易发现△ADB ∽ △BFC ∽ △AEC，从而利用相似三角形的性质与勾股定理得到S1 + S2 = S3;而在第（3）小题的求解过程中，需要观察条件与图形特征，从刚刚获得的新结论、新方法中得到启示，添加相应的辅助线，转化成第（2）小题的形式. 学生解决此题，经历了“探究—归纳—应用”的过程，这个过程中既有合情推理，又有演绎推理，具有较高的思维含量.

以这样的方式呈现试题，促进了学生对数学问题进行深度和广度的思考，类似试题还有贵州安顺卷第25题、广东深圳卷第22题、山东烟台卷第24题、江苏淮安卷第26题等.

3. 借助现实情境，关注数学应用

在试题载体的选择上，2020年全国各地中考数学试题比较关注数学与社会、生活、经济、科技等方面的关联，以恰当的现实情境为背景，运用数学思考，引导学生应用数学的意识，在一定程度上彰显了数学的育人价值，体现了《标准》中所描述的“认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决”.

（1）融合生活特色的数学应用.

例10 （浙江·金华卷）图15（1）是一个闭合时的夹子，图15（2）是该夹子的主视示意图，夹子两边为[AC，BD]（点[A]与点[B]重合），点[O]是夹子转轴位置，[OE⊥AC]于点[E，] [OF⊥BD]于点[F，] [OE=OF=1 cm，AC=][BD=6 cm，] [CE=DF，] [CE∶AE=2∶3.] 按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点[O]转动.

（1）当[E，F]两点的距离最大时，以点[A，B，C，][D]為顶点的四边形的周长是____________.

（2）当夹子的开口最大（即点[C]与点[D]重合）时，[A，B]两点的距离为____________.

【评析】此题以生活中的资源为素材，关注数学与生活的联系，增加了试题的趣味性与现实意义. 如何将这个实际问题转化为数学问题，需要学生具备较强的抽象能力和知识迁移能力. 当点[E，F]的距离最大时，[E，O，][F]三点共线，此时四边形[ABCD]是矩形，求出矩形的长和宽即可解决问题. 当夹子的开口最大时，点C与点D重合，EF∥AB，根据相似形中的基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，得到[EFAB=CECB=25，] 由此可解决该问题. 在问题解决的过程中，需要学生根据试题要求确定旋转过程中的某一状态，灵活运用所学知识分析问题. 此题将观察、猜想、推理、计算融为一体，体现了“问题情境—数学模型—合理推断”的数学应用模式.

像这样融合生活特色的试题出现在了多地的中考数学试卷中. 例如，浙江湖州卷第19题计算“熨烫台支撑杆的长度”，浙江绍兴卷第21题计算“遮阳棚的棚宽”，湖南常德卷第22题计算“自动卸货汽车卸货时的支撑顶杆”，江苏盐城卷第26题计算“木门图案周长”，江西卷第20题计算“手机平板支架中支撑板转动的角度”，浙江宁波卷第19题计算“三角车位锁底盒长”等.

（2）融合地域特色的数学应用.

例11 （湖南·娄底卷）如图16的实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”. 该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如图16的示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端点E距地面5 m，从点E处测得点D俯角为30°，斜面ED长为4 m，水平面DC长为2 m，斜面BC的坡度为1∶4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长.（结果精确到0.1 m，[2≈]1.41，[3≈]1.73.）

【评析】此题以当地的鲜活素材——人行天桥引桥底部计算的问题为情境，具有一定的地方特色，当地学生读题时具有亲切感，能够促进学生在日常的学习生活中关注家乡的发展，进而引发家国情怀和责任担当的精神. 学生需要利用问题中所提供的信息，从实际问题抽象出几何模型，根据俯角、坡度的意义，正确作出辅助线构造直角三角形和矩形，从而运用三角函数的知识与矩形的性质解决问题. 此题考查了空间观念和分析图形、问题转化的能力.

全国各地中考数学试卷中出现融合地方特色的数学题还有很多. 例如，河南卷第18题“测量登封市境内元代观星台的高度”，四川成都卷第18题“测量当地电视塔的高度”，湖北黄冈卷第22题计算“遗爱湖公园临摹亭与遗爱亭之间的距离”，湖南岳阳卷第22题计算“市中心城区污水管道的长度”，湖南张家界卷第21题计算“航拍无人机拍摄南天一柱美景时的安全距离”等. 这些试题情境创设新颖，再加上素材熟悉，可以激发学生解答问题的兴趣.

（3）融合时代特色的数学应用.

例12 （贵州·遵义卷）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门. 如图17为该测温门截面示意图，已知测温门[AD]的顶部[A]处距地面高为[2.2 m，]为了解自己的有效测温区间，身高[1.6 m]的小聪做了如下实验：当他在地面[N]处时测温门开始显示额头温度，此时在额头[B]处测得[A]的仰角为[18°;]在地面[M]处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头[C]处测得[A]的仰角为[60°]. 求小聪在地面的有效测温区间[MN]的长度.（额头到地面的距离以身高计，计算精确到[0.1 m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32.）]

【评析】此题以疫情期间需要测量体温的真实情境为背景进行命制，引导学生关注社会热点，培养学生的社会责任感. 在问题解决的过程中，需要学生借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，很好地实现了获取和解读信息、调动和运用知识的关键学科素养.

类似地，湖南郴州卷第21题将“为我国载人空间站研制的长征五号运载火箭”入题，贵州安顺卷第21题对脱贫攻坚工作中建造的房屋予以了关注. 这些试题都较好地挖掘了问题情境的教育功能，体现了时代性.

4. 渗透数学史，关注数学文化

数学是人类文化的重要组成部分，它是推动人类文明前进的重要力量. 在部分地区的中考数学试卷中，恰如其分地融入了数学史，关注了数学与思维、美学、社会等方面的联系，体现了数学的人文精神.

例13 （湖南·衡阳卷）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ）.

【评析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念. 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合;中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后图形完全重合. 此题以数学史上几个著名的图形为背景，不仅呈现了数学抽象、简洁的结构美，更体现了数学是用人类高级的语言形式传播思想的文化特征，激发了学生对数学的热爱.

类似地，江苏扬州卷第14题选取的背景是古代运用于建筑、器物、绘画、标识等方面的作品，浙江绍兴卷第3题选取的是七巧板拼搭出来的图案，这些优美的图案增加了试卷的可读性和亲和性.

例14 （上海卷）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法. 如图18所示，在井口[B]处立一根垂直于井口的木杆[BD]，从木杆的顶端[D]观察井水水岸[C]，视线[DC]与井口的直径[AB]交于点[E，] 如果测得[AB=1.6]米，[BD=1]米，[BE=0.2]米，那么井深[AC]为____________.

【评析】此题通过[ACBD=AEBE]便可求得[AC]的长，既考查了学生对相似三角形的应用能力，又能让学生受到古代数学文化的熏陶.《九章算术》是我国古代经典的数学著作，包含有很多精彩的案例，蕴涵了浓厚的数学思想. 中国古代的数学在很多领域居于世界领先地位，将中国古代数学素材融入到中考试题中，不仅考查了學生的学科知识，还体现了数学的人文价值，培养了学生的民族认同感.

类似地，四川泸州卷第11题以“古希腊数学家欧多克索斯提出的分线段‘中末比’”为背景，自然而然地在比例线段的相关知识中融入了数学史. 这类试题在潜移默化中渗透了学科德育，对初中数学教学有一定的导向作用.

三、教学启示

1. 聚焦核心知识

“图形的变化”的核心知识在初中阶段的作用是毋庸置疑的，教学中要关注学生对数学概念、性质、定理的深刻理解. 以核心知识为中心，加强与相关知识的多维联系，注重引导学生对所学核心知识与方法的理解和感悟，同时通过建立知识之间的联系，使学生能够连点成线地将核心知识相互融合，理解知识内部的关系，帮助学生建立良好的认知结构.

2. 夯实数学基础

在教学中，教师需要理清学生在学习“图形的变化”这部分内容和应用这部分知识解决问题的过程中必须掌握的基础知识和基本技能，所必需获得的基本思想和基本活動经验. 从学力结构的“冰山模型”看，对数学基础知识和基本技能的掌握是显性学力，基本思想和基本活动经验的获得则是隐性学力. 为此，教师要研究《标准》和初中数学教材，以此明确教学目标与内容，处理好显性学力与隐性学力之间的关系. 同时，要研究练习的有效性，明确练习的目的，注重通性、通法，淡化技巧. 根据学情有针对性地选择和组织习题，让不同层次的学生“练”中有“思”、“思”中有“得”，尊重不同层次学生的认知水平差异.

3. 提升思维能力

教师要研究课堂教学中对学生思维能力的培养，帮助学生认识并掌握数学思考的基本方法，如归纳、类比、转化、猜想与论证等，突出对逻辑推理、空间观念等数学素养的掌握;指导学生进行数学阅读、数学交流与表达，会根据已有事实进行数学推测和解释，养成“推理有据”的习惯;指导学生反思自己的思考过程，提炼、概括思维过程与思想方法. 而问题是思维培养的利器，学生学习“图形的变化”的过程实际上就是一个发现问题、分析问题、解决问题的思维过程. 在日常教学中，教师要研究数学课堂中关键问题的设计，让学生有实质性的数学思考，使学生的思维处于积极状态，以提升学生的思维能力.

四、模拟试题

1. 如图19，在△ABC与△ADE中，∠BAC = ∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（    ）.

（A）[ACAD=ABAE] （B）[ACAD=BCDE]

（C）[ACAD=ABDE] （D）[ACAD=BCAE]

参考答案：C.

2. 如图20，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，其中点B，C分别与点D，E对应，如果B，D，C三点恰好在同一直线上，那么下列结论错误的是（    ）.

（A）∠ACB = ∠AED （B）∠BAD = ∠CAE

（C）∠ADE = ∠ACE （D）∠DAC = ∠CDE

参考答案：D.

3. 如图21，小丽晚上站在路灯AB下的C处时，测得影子CD的长为1米;继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米. 已知小丽的身高是1.5米，那么路灯AB的高度是（    ）.

（A）7.5米   （B）6米

（C）5米 （D）3米

参考答案：B.

4. 如图22，从图形甲到图形乙的运动过程可以是（    ）.

（A）先翻折，再向右平移4格;

（B）先逆时针旋转90°，再向右平移4格;

（C）先逆时针旋转90°，再向右平移1格;

（D）先顺时针旋转90°，再向右平移4格.

参考答案：A.

5. 如图23，在长方形ABCD中，AB = 8 cm，BC = 10 cm，现将长方形ABCD向右平移[x]cm，再向下平移[x+1]cm后到长方形[A′B′C′D′]的位置，长方形ABCD与长方形[A′B′C′D′]重叠部分的面积是S，那么S与[x]的函数关系式是____________ .

参考答案：[S=x2-17x+70].

6 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”. 在梯形ABCD中，AD∥BC，AD = 4，BC = 9，点E，F分别在边AB，CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么[DFFC]的值为 ____________ .

参考答案：[23].

7. 如图24，有一菱形纸片ABCD，∠A = 60°，将该菱形纸片折叠，使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，连接EF，那么cos ∠EFB的值为____________ .

参考答案：[17].

8. 在正方形[ABCD]中，点O是正方形ABCD的中心，[E]是对角线[AC]上的动点（点[E]与点[A，C]不重合），线段DE绕点E逆时针旋转，使得点D的对应点F落在射线BA上，射线DF与射线CA交于点G.

（1）如图25，当点E在线段CO上时，

① 写出EC与BF的数量关系，并说明理由;

② 求证：[AB · DG=EF · CG.]

（2）当AB = 2AF时，求∠DGE的正切值.

参考答案：（1）①[BF=2EC];② 略.

（2）[13]或3.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]章建跃. 章建跃数学教育随想录[M]. 浙江：浙江教育出版社，2017.