全概率公式对后继试验的限制

王佳祺

摘 要：指出了全概率公式对后继试验的限制，通过一道例题的两种解法加以具体说明，分别运用公式算法和文氏图法进行深入剖析，从而详细地阐述了全概率公式存在这种限制的原因，方便解题时有效避免误区，对教学和实践有一定意义.

关键词：全概率公式;条件概率;文氏图

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）03-0020-02

全概率公式是概率论中常用且重要的公式，对样本点的判断及对概率的计算一直是概率论中的难点，全概率公式通过简单易知的概率计算复杂的概率，化繁为简，大大降低了判断与计算的难度.然而在使用时应当注意，全概率公式不仅要求确定先行试验的完备事件组，对后继试验也存在限制，下面将以一道例题的两种解法为引，对全概率公式的这种限制进行详细的说明.

一、全概率公式及相關定理

定义1 设有样本空间Ω及其随机试验E，空间内有随机事件A1，A2，…，An，如若满足下列条件：

（1）Ai∩Aj=（i≠j）;

（2）A1∪A2∪…∪An=Ω.

则A1，A2，…，An对样本空间进行了分割，并称为样本空间的完备事件组.

定义2 设样本空间Ω内有随机试验E，A，B是其中两个随机事件，P（A）>0，则称P（B|A）=P（AB）P（A）为A发生的条件下B发生的概率，称为条件概率.

为方便论述，称事件A条件下的事件B即（B|A）为条件事件.

定理1 全概率公式.设有样本空间Ω的完备事件组A1，A2，…，An，其中P（Ai）>0（i=1，2，…，n），B为任意事件，则

P（B）=∑ni=1P（Ai）P（B|Ai）①

我们称事件Ai所对应的试验为先行试验，事件B所对应的试验为后继试验，全概率公式就是通过先行试验的概率计算后继试验的概率，证明这里不再论述.二、全概率公式对后继试验的限制

下面请看这样一道例题以及它的两种解法：

例 有三个一模一样的抽屉，每个抽屉中分别装有球的个数为10个、20个、25个，每个抽屉中有红球和白球，球只有颜色不同，其中红球个数分别为4个、10个、15个.先随机选取一个抽屉，再从抽屉中依次摸两个球.求在第一次摸到红球的条件下，第二次还是摸到红球的概率.

解法1 记Ai={选中第i个抽屉}，i=1，2，3，C={第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球}.

P（Ai）=13

P（C|A1）=39，P（C|A2）=919，P（C|A3）=1424

由全概率公式得

P（C）=P（A1）P（C|A1）+P（A2）P（C|A2）

+P（A3）P（C|A3）

=13×39+13×919+13×1424

=317684

②

解法2

记Ai={选中第i个抽屉}，i=1，2，3，Bj={第j次摸到红球}，j=1，2.

P（Ai）=13

P（B1|A1）=410，

P（B1|A2）=1020，

P（B1|A3）=1525

由全概率公式得

P（B1）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B1|A2）

+P（A3）P（B1|A3）

=13×410+13×1020+13×1525

=12

P（B1B2|A1）=4×310×9=215，

P（B1B2|A2）=10×920×19=938，

P（B1B2|A3）=15×1425×24=720

由全概率公式得

P（B1B2）=P（A1）P（B1B2|A1）+P（A2）P（B1B2|A2）+ P（A3）P（B1B2|A3）

=13×215+13×938+13×720=8213420

由条件概率公式得

P（B2|B1）=P（B1B2）P（B1）=821342012=8211710.

其中解法1是同济版概率论习题全解中用到的方法.两种方法同样是运用条件概率和全概率公式解题，然而却得到不同的结果，这是为什么呢？其实解法1是存在问题的，它隐含了一个公式：P（C|Ai）=P（（B2|B1）|Ai）=P（B2|AiB1），这并非定理，只是人们从理解上约定俗成的公式，而解法1在计算时用到了这一公式.虽然②形式上它是符合全概率公式的，可是我们换种方式就可以发现这种问题了.

由于P（C）=P（B2|B1），事件C与事件（B2|B1）是等价的，故P（C|Ai）=P（B2|AiB1）=P（AiB1B2）P（AiB1），于是②公式左侧为P（C）=P（B2|B1）=P（B1B2）P（B1），公式右侧为

∑3i=1P（Ai）P（C|Ai）=∑3i=1P（AiB1B2）P（AiB1）×P（Ai）=∑3i=1P（Ai|B1B2）P（B1B2）P（Ai|B1）P（B1）×P（Ai）公式左侧和右侧只有在∑3i=1P（Ai|B1B2）P（Ai|B1）×P（Ai）=1时成立，一般情况下都不成立.

我们也可以通过文氏图观察这个问题：

图1

整个矩形是样本空间Ω，Ω={选中第i个抽屉并摸两个球}，它被事件A1、A2、A3平分成三部分，由图1可知，所求概率P（C）=P（A1B1B2）+P（A2B1B2）+P（A3B1B2）P（A1B1）+P（A2B1）+P（A3B1）=P（B1B2）P（B1），而公式②右端∑3i=1P（Ai）P（C|Ai）=∑3i=1P（AiB1B2）P（AiB1）×P（Ai）在图中可知是没有意义的.

综上，全概率公式中后继试验所对应的事件B不能是条件事件，或者说在P（B）为条件概率时全概率公式不成立，须直接应用条件概率公式解题，全概率公式只可间接应用于非条件事件.

当定义后继试验的事件B为某一条件下的事件时，不可使用全概率公式，这一点我们用例题中的方法对全概率公式两端计算即可得知，这里不再赘述.最本质的原因在于：若P（B）=P（B2|B1），我们计算时通常认为P（B|A）=P（B2|AB1），而条件事件的运算并没有被定义，这个公式用于计算时就会发生错误，造成全概率公式两端不相等.所以，我们在解题时应当注意只把条件事件用于条件概率，避免形式正确而实质错误的情况.

参考文献：

[1]同济大学数学系.概率论与数理统计[M].北京：人民邮电出版社，2017（20）.

[2]李全忠，刘长文，王希超.全概率公式的不足与改进[J].大学数学，2011，27（2）：173-176.

[3]杨筱菡，王勇智.概率论与数理统计习题全解与学习指导[M].北京：人民邮电出版社，2018：26.

[责任编辑：李 璟]