行列式定义的相关注解

王子晗 黎 雄

(北京师范大学数学科学学院 100875)

1 引言

行列式起源于人们解线性方程组时分离系数的需要，其作为一种速记的数学符号极大地简化了人们求解多元线性方程组的繁杂过程. 我们所熟知的克莱姆，也就是创立解线性方程组的克莱姆法则的数学家首次给出了行列式的计算定义，详细地阐述了如何计算行列式. 在很长一段时间内，人们对于行列式的理解仅仅是一个工具，简化求解线性方程组的工具.

范德蒙是首次将行列式与线性方程组分开单独研究的人，以他命名的范德蒙行列式也曾在线性代数课上被反复提及. 他给出了行列式展开的详细法则，此后拉普拉斯在他的基础上对于行列式的相关计算性质加以推广和扩充. 自那以后行列式自成一体，成为一个独立的分支.

行列式的性质很多，那么到底哪几条性质是成为行列式所必备的呢？或者说，哪几条性质可以作为根源进而推导出其他更加复杂的性质呢？人们最终提炼出了行列式最为基本而且简单的三条性质，从而导出了行列式的公理化定义.

行列式不仅仅可以用于解线性方程组，重积分中换元积分法的雅可比矩阵，解析几何中立体图形的体积也都与行列式有关. 事实上，这一结论在三维空间中并不陌生. 我们知道，三个向量的混合积就是这三个向量张成的平行六面体的有向体积，而混合积恰好可以表示成一个3阶行列式. 那么更高维的情形呢？……