对人教版初中教材“等式性质”改良的建议

陈春涛

【摘 要】 初中数学中有很多需运用等式性质的知识，超出了现行教材对等式性质的描述范围，对教学形成了一定的阻碍.通过对多版本教材内容的梳理，发现各版本对等式性质的描述并不相同.梳理人教版初中数学教材知识体系，发现等式两边能否同乘除式子、能否同乘除零，对解释分式方程解法的依据等知识起到了关键作用，故可对初中教材中等式性质的描述适度改良，对等式性质的教学也应有所侧重.

【关键词】 等式性质;教材改良;分式方程

3 对等式性质的教学建议

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3.1 建议弱化初中教材中的天平模型

对比人教版小学和初中有关等式性质的教材内容，可发现都是通过天平模型来学习的，且小学教材中的天平模型是选择茶壶、茶杯、花瓶、花盆等生活物品[13]，更容易理解“同加减式子”，初中的天平模型则选择的是金属小球、正方体、正三棱锥[1]等实验室物品，学生结合初中生物课堂更容易将这些物品理解为代表标准质量的砝码，即“同加减数”.而且，小学更注重直观形象，对天平模型的实验教学演示更多，初中没有必要在这上面重复花费时间.

初中的等式性质对比小学内容，主要区别是同加（或减）的不再限定是一个“数”，还可以是同一个“式子”.因此，在教学现行教材时，初中教学的重点应是让学生感受等式两边同加减式子的变形.例如：根据等式性质1，如何直接将2x-3=5+3x变形为-8=x？

另一个重点应该是拓展同加减或乘除的“数”，由小学多见的正整数，拓展到含负数、分数等多种形式的有理数.

青岛版和湘教版教材是从实际问题中概括的等式性质.青岛版探索等式性质2的材料是：“一袋巧克力糖的售价是a元，一盒果冻的售价是b元，买c袋巧克力和买c盒果冻各要花多少元？如果一袋巧克力糖与一盒果冻的售价相同（即a=b），那么买c袋巧克力糖和买c盒果冻的价钱相同吗？”[9]

3.2 建议结合“逆运算”来理解等式性质

2001年版的人教版教材中提到“小学曾用加法与减法互为逆运算的方法解方程8x+9=49”，翻阅现行的2013年版人教部编版小学教材，发现小学已经在应用等式性质来解方程.

对比天平模型，“逆运算”更容易解释加减乘除“式子”的合理性.

例如：根据“一个多项式A与（2a-3）差的是（5+3a）”可列式“A-（2a-3）=5+3a”，并通过“被减数=差+减数”求得“A=（5+3a）+（2a-3）”.这可说明等式两边同加上或减去式子，结果仍相等.

根据“一个数A与（2a-3）的积是（4a-6）”，可列式为“A×（2a-3）=4a-6”，并通过“乘数=积÷另一个乘数”的逆运算思想，求得“A=（4a-6）÷（2a-3）=2”.这可说明等式两边可以同乘除式子.

根据“A×0=0”无法写成“A=0÷0”可知等式两边不能同除以零.而根据不存在“A=B÷0”可知等式兩边也不能同乘以零后，将等式化为“A×0=B”的形式.

3.3 建议融通理解等式各条性质

等式性质2是可由等式性质1推导得出的，因为“几个相同数累加，可写成乘法形式”，所以只要明确了“等式两边可同加等量”，则就可对应推导出等式性质2.

例如“2x-5=3”，在两边分别加上“2x-5”和“3”，则变为“2（2x-5）=3×2”，即两边同乘2，若累加的份数未知，设为y，则变成了“（2x-5）y=3y”.

“两边同除”也可对应通过“两边累减”来理解.

同样，也可利用“几个相同数连乘，可写成乘方形式”来理解“等式两边同时乘方，结果仍相等”.

等式性质并非仅服务于一元一次方程，它是一切等式恒等变形的基础.规范、调整等式性质内容是可行的，也是必要的.

参考文献

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书（数学 七年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2012.5：81.

[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书（数学 七年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2012.10：94.

[3]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书（数学 八年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2012.5：149.

[4]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书（数学 必修1A版第一册）[M].北京：人民教育出版社，2019.5：40.

[5]欧几里得.几何原本[M].南京：江苏人民出版社，2011.3：4.

[6]义务教育教科书数学七年级上册[M].上海：上海科学技术出版社，2012.6：86.

[7]九年义务教育三年制初级中学教科书代数第一册（上）[M].北京：人民教育出版社，2001.3：184，211.

[8]向伟.分式方程[J].中学数学教学参考（中旬），2021（1）：38.

[9]展涛.义务教育教科书（数学 七年级上册）[M].2.青岛：青岛出版社，2012.6：152.

[10]展涛.义务教育教科书（数学 八年级上册）[M].2.青岛：青岛出版社，2013.6：103.

[11]严士健，黄楚芳.义务教育教科书（数学 八年级上册）[M].2.长沙：湖南教育出版社，2013.6：87.

[12]范良火.义务教育教科书（数学 八年级上册）[M].2.杭州：浙江教育出版社，2013.6：117.

[13]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书（数学 五年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2013.5：64-65.