对2021年山西省中考压轴题的命题思考

刘应平 乔志成

一年一度的中考数学压轴题，既是命题者头痛的“磨难”命制，更是考生心有余悸的“伤痛”.如何处理好命题人的出题心理和考生的答题心理，对中考压轴题的命题研究就是一件必不可少的实践活动.本文以2021年山西省中考数学压轴题为载体，回顾命题过程，暴露命题思维，展示命题艺术，思考命题导向和教学改革.

【命题思考】

1.命题设想

为了充分发挥中考压轴题的考查功能和选拔作用，命题组确定了“用广度、深度、梯度来增加试题区分度和难度”的出题思路，以及突出考查学生核心素养水平的目标为宗旨.通过布局点和线实现空间图形与函数问题的结合;通过由静到动的探索过程拓展试题的深度;通过具有内在联系的问题串逐步引导学生思考，铺设合理的梯度;采用探究性题型达到思维路径、解题方法的开放性.于是形成如下出题方案：

（1）布局点和线等基本元素，形成常见的几何图形，有利于考查学生的几何直观能力.另外，兼顾运算量，避免繁难计算造成的解题思维障碍.

（2）先设置关于定点、定线的问题，引导学生建了立方程模型解决问题，再围绕动点、动线设置问题以探索万变中的“不变量"或“不变关系"，并利用函数模型分析解决.

（3）关注问题串的层次，强化知识间的内在联系，优化对学生抽象、逻辑推理的考查.

2.搭建框架

命题组决定选取2018年山西省中考数学试卷第23题作为题源，围绕考点进行改编.不改变开口方向的情况下，适当改变抛物线解析式的表达式，同样将它与x轴、y轴交点作为基础条件，确定直线AC、BC的函数表达式，运算量低，抛物线的形状宽窄适度.这三点与原点结合形成了常见的直角三角形，可以考查学生的运算能力.接下来选择抛物线和直线搭配，让问题更丰满.可是让直线运动还是让抛物线运动呢？命题组经历几番讨论，选取两者交点“两定两动”的模型.

3.琢磨完善

动态问题对学生的思维是极富挑战性的，怎样为学生放置指示思维方向的路标成为命题思考的焦点，命题者从山西省近几年的考情分析入手，着重如下三方面考虑，一是改变动点P的位置，由第四象限转入第三象限，转换角度以调整思路;二是存在性问题，山西五年分别考了线段中点、三等分点、等腰三角形、全等三角形、平行四边形等数学模型，确定考查特殊四边形模型为命题的思考方向，即选择“菱形存在性”.那么怎样设置命制这类考题呢？需要命题组弄清楚“菱形存在性”问题的本质是等腰三角形的存在性.这类菱形存在性问题，首先要引导学生回顾复习菱形的性质，又只是教材上关于菱形的边、角、对角线的性质，还要把菱形与等腰三角形联系起来，思考菱形的对角线将菱形分成的三角形都为等腰三角形这一性质，这样就可以把菱形存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题，而探究等腰三角形们存在，往往是已知两个定点，第三个顶点待定，这时需要以两个定点的连线段为边、对角线分别讨论，确定第三个顶点的不同位置;在此基础上再研究菱形的第四个顶点的位置.等学生都熟练掌握了菱形的存在性问题如何探求之后，再把原问题中的无关线条、图形通过删减和重新画图的方法，引导学生学会排除干扰，开展目标解析，逐个突破，攻克这类问题;三是结合命题设想寻找运动过程中的不变量.由于抛物线的解析式确定，顶点坐标、对称轴的表达式以及△ABC的图形也被唯一确定，这些都成为题目的不变量.于是命题组抓住△ABC的面积是定值这一条件，紧紧围绕过点P作BC的平行线l运动过程中，得到的动态△DMN，若其面积与△ABC的面积相等时，则线段DM之长为多少.这样，命题组集体逐小题共同审核，从试题的表述到试题的格式再到试题的解答等逐一审核，确保无误.使本试题进一步得到完善，变得更为科学规范.

通过以上三方面的考虑，针对学生的差异性，从搭建破题阶梯思考，有效设置了三个小问题，其中第（1）问针对全体学生提出考查较低要求的数学抽象和运算能力，只要积极思考动笔，90%的学生都可获得该分值;第二问的两小题是为学业水平较高的学生提供的考试路标，即让学生会处理动手和动脑之间的关系，通过作图构造几何模型，来考查学生动手操作图形的能力，通过分类讨论的思想方法，考查学生思维的周密性，通过建构方程模型，有意向学生渗透“动中有静、静中有动”对立的辩证思想.总之，本考题将“方程—函数—几何—动点（线）”相结合，综合创新命题，全面考查学生核心素养.

【答题分析】

从学生答题心理分析：由于題中给出不带参数的二次函数解析式，降低了试题的难度，学生很容易从图像与坐标轴的交点，获得A、B、C三点的坐标，这样直线AC、BC的函数表达式就一目了然;对于第（2）两小题，一方面考生必须明白它属于"两定十两动”菱形模型的存在性问题.解答时，应着眼于虚拟一个动点，围成一个三角形，过三角形的每一个顶点画对边的平行线，三条线两两相交，就可以确定菱形的第四个顶点，但是题中明确告知过动点D的动直线l∥BC，所以第四个顶点不外乎与动直线l∥BD或l∥CD的情况下获取的;另一方面考生能通过对称轴方程和两直线方程与已知图形面积相等条件确定M、D两点的坐标，再通过两点间的距离公式或勾股定理求得线段DM之长.这不但有效地考查了数形丶方程、函数、分类讨论等多种数学思想提炼数学模型的能力，而且考查了学生综合分析丶判断、解决问题的能力.

【命题导向】

1.核心素养的考查

经过数次的反思与修改，围绕学生核心素养的考查，形成了这样一道压轴题.从中笔者感悟到省命题组所展示的中考压轴题通过探究能更好地凸显对学生核心素养的考查，而且这样的探究性题目最好采用“选择基本图形，研究变化规律，适度调整条件，探究设问方向”的方法，通过不断尝试，形成试题，体现了以下三点要义：

“选择基本背景.”选择一个具有良好数学结构的背景，改变适当的图形条件，就可以创造出一个新的试题.在二次函数、一次函数的组合背景中，分别选择三角形、特殊四边形作为研究角度进行尝试，在尝试中发现拋物线对称轴的研究价值，将动直线与对称轴的存在性联系起来，增加题目分析过程的复杂性，从而给出全新的形式，加大考查探究与发现能力的力度.

“设置考查问题.”试题的问题设置应该呈现问题研究的过程.在最后一问确定后，应该设置研究这一问题的思维台阶或知识铺垫，使试题呈现出问题解决的研究过程，即试题问题的设问呈现循序渐进的爬坡感，让不同水平的学生充分展示自己不同的探究深度.如直线AC、BC的函数表达式的求解，为第（2）提供研究的基础.第（2）①问的求解，一方面关注BD、DC的研究，另一方面解决过程中，需要利用线段的等量关系转化为方程解决，也为最后一问利用基本图形中蕴含的基本结论转化为方程解决提供了解题思路，以利于学生展示自己在数学学习方面所取得的成就.

“体现教学导向.”选择学生熟悉的图形来立意综合题，以菱形、拋物线对称轴的判断为载体，将一次函数与二元一次方程组、二次函数与一元二次方程、三角形与勾股定理丶平行四边形与菱形、面积与方程、点的位置与坐标等核心知识，通过图形变化联系在一起，借助分类讨论、建构方程等形式，很好地实现了知识的整合，突出考查了学生分析问题及解决问题的思维过程，从而发挥评价的导向功能，引导教学关注核心知识，关注学生学习方式、教学方式的转变，学习活动中重视自主探究，在观图、识图、用图及推理计算中建立教学活动的过程，关注数学思想方法的形成教学.

2.命制目标的达成

命制中考试题能体现命题者的学科智慧和专业素养，更能体现命题者的人文关怀和工匠精神.特别是数学学科核心素养提岀之后，怎样让学生用数学方法研究世界，用数学的眼光认识世界成为数学教师研究的新命题.本考题命制过程中，“紧扣基础、拓展广度、调节深度、考查适度”的理念贯穿始终.初中阶段研究坐标系中问题往往以“点”为依托，通过几个特殊位置的点搭建线和形是初中生研究坐标系问题的基础所在.同时，我们还关注了两个方面：一是知识的广度，方程、一次函数丶二次函数三角形、平行四边形、菱形、方程模型、函数建模等;二是数学模型、转换与化归，特殊与一般、数形结合、方程与函数、分类讨论、类比等思想方法，三是初高中知识衔接的拓展，一条明线是引入参数解决动点问题，一条暗线是直线束问题.调节深度、考查适度与我们常说的难度是两回事.如考题中的第（2）问的运算数据就非常简洁，重点考查学生的符号意识、数感、直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养，而不是考查运算能力.因此，就要降低运算的难度，使得考查更加适度合理.

【总结评价】 中考数学压轴题的命制方法很多，本文只探讨其通常性、一般性的命题方法.纵观近年来出现的中考数学压轴题，主要考查學生的阅读理解能力、思考辨别能力及运用知识和方法解决问题的能力.总之，压轴题的命制对命题者的要求越来越高，需要命题者以独特的视角看每一个数学问题，发现数学背景、数学素材，“别出心裁”地命制出与时俱进的好题;还应继承传统，深入研讨经典考题的命题思路及解法，深入挖掘经典题型的隐形关系，使“老题”发出“新方法”，长出“新知识”，永久保持活力，实现压轴题命制的新突破.

作者简介 刘应平（1964—），男，山西柳林人，正高级教师，山西省中学数学特级教师，吕梁市优秀专家.发表论文百余篇，其中被中国人大资料中心《初中数学教与学》全文转载15篇.

乔志成（1978—），男，山西离石区人，中学数学二级教师，主要从事数学教学研究.基于确定性下的尺规作图伊犁州2019—2021年度教育科研规划项目立项课题——初中学生利用数学作业进行自主学习的教学研究（YLJYKT2019-095）.