美国早期代数教科书中的分式方程

1 引言

在初中数学教学中，方程是一条重要的主线.分式方程作为方程模型的一种，在现实生活中具有广泛应用，是初中阶段数学学习的重要内容之一，也是难点之一.课堂教学中，教师需要引导学生回答以下问题：什么是分式方程？为什么要学习分式方程？为什么会产生增根？为什么不用通分而要用去分母的方法解分式方程？在提倡学科育人的今天，教师还应思考：如何实现分式方程的育人价值？

回溯历史，我们发现关于分式方程的问题也困扰过一代又一代的数学家，人们对分式方程的认识经历了从不完善到完善的过程，经过几代数学家的不懈努力，才形成了今天的严谨认识.因此，分式方程的历史既为教学提供了思想启迪，也提供了丰富的素材.

目前，虽然已有少数教师从HPM的视角开展过分式方程的教学实践[1][2][3]，但他们只是利用了斐波那契《计算之书》中的问题以及涉及增根的部分史料，数学史的运用方式局限于复制式和附加式，未能采用重构式.究其原因，HPM专业学习共同体对于分式方程的历史还缺乏深入的研究.鉴于此，本文聚焦分式方程的定义、解法、增根及验根的方法，对美国早期代数教科书进行考察，以期为分式方程的教学提供更多的参考.

2 教科书的选取

本文以分式方程为关键词，对有关数据库中出版于19世纪至20世纪中叶的247种美英代数教科书进行检索，发現仅有73种教科书中涉及分式方程，且都出版于美国.这73种教科书的时间分布如图1所示.其中，对于同一作者再版的教科书，若内容无明显变化，则选择最早的版本，若内容有显著变化，则将其视为不同的教科书.

分式方程主题所在章节具体分布见表1.其中，“分式方程”章的占比最高，但直到1880年之后才开始出现分式方程独立成章的情况.

3 分式方程的定义

虽然13世纪初意大利数学家斐波那契在《计算之书》中已涉及分式方程问题，18世纪英国数学家桑德森在《代数基础》中已讨论了分式方程的解法，但分式方程的定义却出现得很晚.在1893年出版的一本教科书中，我们首次发现分式方程的明确定义，而在此之前的教科书则往往将分式方程和分数系数方程混为一谈.

73种教科书中，共有29种给出了分式方程的定义，表2列出了其中一些典型例子.

其二，关于分式方程的解法，教师应给予学生自主探究的机会，避免灌输式教学.目前很多教师认为该课题的重点就是让学生掌握用去分母法解分式方程，并记得要验根即可.因此，在课堂上，学生并没有机会去体验探究新知的乐趣.教师可以借鉴并改编早期教科书中的例题，引导学生用不同的方法去求解.同时，可以挑选一些特殊形式的分式方程，让学生自主选择最合适的方法，并互相交流，比较不同方法在求解过程中工作量的大小，进而体会“去分母法”的优劣，解决“为什么不用通分而要用去分母的方法解分式方程？”的问题.

其三，分式方程课题的教学难点之一是理解产生增根的原因.关于增根，国内现行教材都只在分式方程范围内给出定义.但据Durell（1914）的观点，只要在方程的求解过程中引入的新根都是增根，这一定义更有利于学生掌握增根的本质.此外，在解释产生增根的原因时，教师可以借鉴早期教科书中的解释，也可参考Comstock（1922）的做法，通过列表和数形结合，让学生直观感受原分式方程与整式方程的联系与区别，深入理解产生增根的原因.

其四，教师在进行HPM教学设计时，应充分挖掘史料的德育价值，充实分式方程教学的人文内涵.具体来说，可以通过展示分式方程曲折的发展过程，介绍数学家们走过的弯路和犯过的错误，鼓励学生积极地去探索和发现，树立学习数学的信心和勇气，养成坚持不懈的优秀品质。

参考文献

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作者简介 杨孝曼（1997—），女，华东师范大学教师教育学院硕士研究生.