勾股定理与面积计算

陈德前

我们知道，勾股定理是通过计算面积来证明的，因此将勾股定理的运用与面积计算相结合成为中考命题的一种新趋势.现举例来说明这类问题的特点与解法.

例1 如图1，已知Rt[△ABC]中，[CD]是斜边[AB]上的高，[AC=4]，[BC=3]，则[AD=] .

分析：根据勾股定理求出[AB]，再利用面积法求出CD，然后用勾股定理列式计算求出AD.

解：在[Rt△ABC]中，∵AB2 = AC2 + CB2 = 42 + 32 = 25，∴AB = 5.

∵S△ABC = [12]AC·BC = [12]AB·CD，∴3 × 4 = 5CD，∴CD = [125].

在Rt△ACD中，AD2 = AC2 - CD2 = 42 - [1252]= [1652].

∵AD>0，∴AD = [165]. 故应填[165].

点评：这里运用同一个三角形面积的两种表示方法，得到关于CD的方程，求得CD，进而为运用勾股定理求AD创造了条件.

例2 如图2，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的点G处，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为 .

分析：设BF与AE交于点H. 由折叠及轴对称的性质可知△ABF ≌ △GBF，BF垂直平分AG.先证△ABF ≌△DAE，得到AF的长，再利用勾股定理求出BF，最后在Rt△ABF中利用面积可求出AH，进而求出AG和GE.

解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°.

由折叠及轴对稱的性质可知△ABF ≌ △GBF，BF垂直平分AG，

∴BF⊥AE，AH=GH，∴∠FAH + ∠AFH=90°.

又∵∠AFH + ∠ABH=90°，∴∠FAH=∠ABH，

∴△ABF ≌ △DAE（ASA），∴AF=DE=5.

在Rt△ABF中，∵AB = 12，AF = 5，∴BF2=AB2 + AF2 = 122 + 52 = 169，∴BF = 13.

∵S△ABF=[12]AB·AF=[12]BF·AH，∴12 × 5=13AH，∴AH=[6013]，∴AG=2AH=[12013].

∵AE=BF=13，∴GE=AE - AG=13 - [12013]=[4913]. 故应填[4913].

点评：本题考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积等知识，解题关键是能灵活运用同一个三角形面积的两种表示方法，得到关于AH的方程，求出AH，进而为求GE值创造条件.