燕尾全等三角形模型的构建与应用

2021-09-29 07:11崔成进齐共云
初中生学习指导·提升版 2021年9期
关键词:等腰三角理由解析

崔成进 齐共云

[原题再现]

如图1,点D在AB 上,点E在AC上,AB = AC,∠B = ∠C. 求证:AD = AE.  (此题为人教版八年级上册第40页例3)

[模型提炼]

如图1,△ACD和△ABE是一对燕尾三角形,其中,△BDF和△CEF称为燕尾三角形,∠BAC为燕头角,∠B和∠C为燕尾角. 燕尾三角形有如下基本性质:(1)全等性:△ACD ≌ △ABE,△BDF ≌ △CEF;(2)等角:燕头角相等,燕尾角相等;(3)等线:AB = AC,AD = AE,DB = EC,DC = EB,FD = FE,FB = FC.

[变式应用]

1. 条件开放

例1 如图2,在等腰三角形ABC中,点D,E分别在腰AB,AC上,添加下列条件,不能判定△ABE ≌ △ACD的是( ) .

A. AD = AE B. BE = CD C. ∠ADC = ∠AEB D. ∠DCB = ∠EBC

解析:根據“SAS”可得△ABE ≌ △ACD,已知AD = AE,添加选项A能判定三角形全等;由∠ADC = ∠AEB, ∠A = ∠A,AB = AC,根据“AAS”可证△ABE ≌ △ACD,则添加选项C能判定三角形全等;由∠DCB = ∠EBC,∠DBC = ∠ECB,得∠ABE = ∠ACD,根据“ASA”可证△ABE ≌ △ACD,则添加选项D能判定两个三角形全等;由选项B不能判定三角形全等. 故选B.

2. 探索位置

例2 如图3,已知BD和CE相交于点O,且OB = OC,OE = OD. (1)求证:△BOE ≌ △COD;(2)你能在点O的同旁找一点A,使得△ABC是等腰三角形吗?说明理由.

解析:(1)∵OB = OC,∠BOE = ∠COD,OE = OD,∴△BOE ≌ △COD(SAS);

(2)能. 理由:如图4,延长BE,CD交于点A,则AB = AC.

由(1)知,△BOE ≌ △COD,∴BO = CO,∠EBO = ∠DCO,∴∠DBC = ∠ECB,

∴∠DBC + ∠EBO = ∠ECB + ∠DCO, ∴∠EBC = ∠DCB,∴AB = AC.

  [能力提升]

如图5,在△ABC中,∠ACB = 90°,点E在AC的延长线上,ED⊥AB于点D,若BC = ED,BC,ED交于点O. 写出图中所有的全等三角形,并选择你喜欢的一对给出证明.

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