勾股定理典型易错题

李苏娟

【专 练】

1. 七巧板是大家熟悉的一种益智玩具. 用七巧板能拼出许多有趣的图案. 小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图1①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图1②）. 已知AB=40 cm，则图中阴影部分的面积为（）.

A. 25 cm2 B. [1003] cm2 C. 50 cm2 D. 75 cm2

2. 图2是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案. 现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图2的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）.

A. 1，4，5    B. 2，3，5    C. 3，4，5 D. 2，2，4

3. 如图3，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE=1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（）.

A. 5      B. 6 C. 7    D. 8

4. 阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.

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没有直角尺也能作直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图4所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？

方法一：如图4，可利用一把有刻度的直尺在[AB]上量出[CD=30 cm]，然后分别以[D]，[C]为圆心，以[50 cm]与[40 cm]为半径画圆弧，两弧相交于点[E]，作直线[CE]，则[∠DCE]必为[90°].

这种方法依据的数学定理是.

5. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，若AB - AC = 2，BC = 8，则AB的长等于 .

6. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈 = 10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图5，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 则水池里水的深度是尺.

7. 如图6，在△ABC中，已知[AB=2]，AD⊥BC，垂足为D，BD = 2CD. 若E是AD的中点，则EC = .

8. 如图7，在[△ABC]中，[∠ACB=90°，AC=BC]，点P在斜边[AB]上，以[PC]为直角边作等腰直角三角形[PCQ]，[∠PCQ=90°]，则[PA2，PB2，PQ2]三者之間的数量关系是.

9. 如图8，有一张长方形纸片ABCD，AB=8 cm，BC=10 cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为cm.

（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）

【注意事项】

1. 解题要看清要求，第1题是求阴影部分面积.

2. 要弄清勾股定理与其逆定理的区别，勾股定理是由直角三角形得到三边之间的关系;而勾股定理的逆定理是由三角形三边之间的关系得到直角三角形. 如第4、5、8题等.

3. 运用勾股定理必须寻找或构造出直角三角形，构造时有利用直角和作垂直两种方法;运用勾股定理的逆定理时，应先确定最大边，再验证两较小边的平方和是否等于最大边的平方. 如第2、3、4、5、8、9题等.

4. 要注意以直角三角形三边为边长的正方形面积与直角三角形三边的内在联系与区别，谨防混淆，如第2题谨防误选C.

5. 要善于通过几何或代数推理得出结论，灵活运用代数知识（如代数式的变形、方程及其解法等）解决几何问题，如第5、6、7、9题等.

6. 要重视数学思想方法解决与勾股定理及其逆定理相关问题的应用，如第7题的整体思想，第3、6、8、9题的转化思想，第6、8题的模型思想，第5、6题的方程思想，等等.

【参考答案】

1. C 2. B 3. B

4. 勾股定理的逆定理

5. 17 6. 12

7. 1（提示：设AE = ED = x，CD = y）

8. PA2 + PB2 = PQ2（提示：连接BQ）

9. 5