加强概念理解 提升思维品质

顾宏萍

一元二次方程是初中数学“方程家族”最后一个亮相的方程，同学们有前面学习方程的基础，会感觉非常容易上手，但在解题的过程中经常会出现“不明原因”的错误。其实这是对方程概念理解得不够透彻，在解题过程中缺乏思考导致。

一、忽视对一元二次方程概念的理解

例1 若关于x的一元二次方程（m-1）·x2-3x+m2-1=0有一个根是0，则m的值为。

【错解】把x=0代入方程得m2-1=0，解得m=±1，∴m的值为±1。

【正解】同上解得m=±1。∵此为一元二次方程，∴m-1≠0，m≠1，∴m=-1，即m的值为-1。

例2 若关于x的一元二次方程（k-1）·x2-2kx+k-3=0有实数根，则k的取值范围为。

【错解】因为此一元二次方程有实数根，根据根的判别式得Δ≥0，即Δ=（-2k）2-4（k-1）×（k-3）≥0，解得k≥[34]。∴k的取值范围为k≥[34]。

【正解】同上解得k≥[34]。又∵k-1≠0，k≠1，∴k的取值范围为k≥[34]且k≠1。

【剖析】这两个例题虽然看似不同，例1考查的是方程的概念，例2考查的是根的判别式，但是做错的原因却是相同的。一元二次方程的概念强调，二次项系数必须不为0，在解题过程中如果忽略这个重要前提，解答就会出错。

【点评】我们在学习一元二次方程概念的时候，不能只关注概念的表象，更要关注概念的内涵，在解题过程中要加强思维的深度和广度，关注每个已知条件，以免出错。

二、忽视对一元二次方程有实数根的理解

例3 下列一元二次方程中，两根之和为1的是（）。

A.x2+x+1=0 B.x2-x+3=0

C.2x2-x-1=0 D.x2-x-5=0

【错解】由一元二次方程根与系数关系x1+x2=[-ba]，部分同学看到选项B满足条件即完成解答，选择了B。

【正解】由根与系数的关系可得x2-x+3=0与x2-x-5=0的两根之和为1，选项B、D均符合条件。但B选项的方程x2-x+3=0中Δ<0，无实根，D选项的方程x2-x-5=0有实数根且两根之和为1，所以只能选D。

例4 关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于-4，则k的取值范围是（）。……