数学归纳法视角下“杨辉三角”斜列的性质探究

秦帅

【摘要】本文利用数学归纳法对杨辉三角斜列的性质进行探究，得出一般化的通项公式，同时让学生体验数学发现与探究的过程，培养他们对数学的兴趣.

【关键词】杨辉三角;数学归纳法;数学探究

一、背 景

“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫作帕斯卡三角形.帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，“杨辉三角”是中国古代数学的杰出研究成果之一.在高中数学学习中，“杨辉三角”被用于探究二项式系数的一些性质，主要是对每行数的探究，但“杨辉三角”中还蕴含了许多其他有趣的性质，值得我们对其进行探究.

“数学归纳法”是高中课程中十分重要的内容，在高中阶段常用于处理与无穷自然数有关的命题.它有助于促进学生对“特殊”与“一般”的理解，在未来高等数学的学习中也是十分重要的一种方法.

二、基本概念

定义1 数学归纳法：一般的，证明一个与正整数n有关的命题，如果：

三、性质探究

高中阶段的教材探究了“杨辉三角”各行数字的和并给出了通项公式，其是先列出每行数字，然后通过观察前几行数字的共同规律猜想出一般化的通项公式，最后运用数学归纳法验证.本文将运用类似的方法探究每列的性质.

观察下面的规律：

第一行 1+1=2，

第二行 1+2+1=4，

第三行 1+3+3+1=8，

第四行 1+4+6+4+1=16，

第五行 1+5+10+10+5+1=32，…

容易发现前几行数字的和可表示为21，22，23，24，25，于是可以猜想：

“杨辉三角”的第n行数字之和为2n，此猜想可用数学归纳法证明，这里不过多赘述.

类似的，我们对“杨辉三角”每一斜列用同样的思路做探究和证明.

我们将每一斜列的数字看作一个数列，通过观察这些数列与“杨辉三角”可以得到一些性质与特点：

性质3.1 后一斜列的每一项与前一项之差为前一斜列的对应项的值.

四、思考与感悟

首先，在高中阶段的教学中，无论是“杨辉三角”还是数学归纳法，都是只在各自的章节中出现，但是通过对“杨辉三角”中列的性质的探究，以及对教材内容的二次发掘与联想，能够创造出引导学生观察、猜想、探究的创造性学习情境.

其次，选用数学归纳法对“杨辉三角”进行探究，将数列以及数学归纳法串联起来，有助于学生感受两者的差别与共性，体会数学的整体性.同时，“杨辉三角”中还蕴含着许多其他的性质，此探究不会止于课堂，学生在课后还可以自主地去探究和总结更多的性质.

最后，教材內容的二次发掘的主要目的就是服务于教学，立足于培养学生的数学能力，所以其中还可以融入更多的要素来培养学生的合作探究、逻辑推理、数学抽象等能力，而且这个探究设计还可以更加完善与深入.

【参考文献】

[1]陈碧文.“杨辉三角中的一些秘密”教学设计[J].中国数学教育，2015（4）：48-52.

[2]蔡秀芸.“数学归纳法”单元教学设计研究[D].兰州：西北师范大学，2015.

[3]李学雷.杨辉三角与高阶等差数列的求和[J].新课程学习（下），2013（7）：266.