数学归纳法视角下“杨辉三角”斜列的性质探究

秦帅

【摘要】本文利用数学归纳法对杨辉三角斜列的性质进行探究，得出一般化的通项公式，同时让学生体验数学发现与探究的过程，培养他们对数学的兴趣.

【关键词】杨辉三角;数学归纳法;数学探究

一、背 景

“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫作帕斯卡三角形.帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，“杨辉三角”是中国古代数学的杰出研究成果之一.在高中数学学习中，“杨辉三角”被用于探究二项式系数的一些性质，主要是对每行数的探究，但“杨辉三角”中还蕴含了许多其他有趣的性质，值得我们对其进行探究.

“数学归纳法”是高中课程中十分重要的内容，在高中阶段常用于处理与无穷自然数有关的命题.它有助于促进学生对“特殊”与“一般”的理解，在未来高等数学的学习中也是十分重要的一种方法.

二、基本概念

定义1 数学归纳法：一般的，证明一个与正整数n有关的命题，如果：

三、性质探究

高中阶段的教材探究了“杨辉三角”各行数字的和并给出了通项公式，其是先列出每行数字，然后通过观察前几行数字的共同规律猜想出一般化的通项公式，最后运用数学归纳法验证.本文将运用类似的方法探究每列的性质.

观察下面的规律：

第一行 1+1=2，

第二行 1+2+1=4，

第三行 1+3+3+1=8，

第四行 1+4+6+4+1=16，

第五行 1+5+10+10+5+1=32，…

容易发现前几行数字的和可表示为21，22，23，24，25，于是可以猜想：

“杨辉三角”的第n行数字之和为2n，此猜想可用数学归纳法证……