曲面积分中关于面积定义的探讨

施 云 胡晓雪

（浙江科技学院理学院 浙江杭州 310023）

大部分国内高等数学以及数学分析教材中曲面积分的定义为：

一、Schwarz反例

上述定义方法无法推广到求曲面的面积上去。Schwarz曾经给出过一个反例，现在把它称为Schwarz反例。这里简要地叙述一下Schwarz反例的内容。一些教材中也有对Schwarz反例的描述，参见[4]等。

二、曲面面积的定义

接下来，来探讨一下如何定义曲面的面积。简便起见，这里我们主要讨论三维空间中的二维曲面的面积。局部的可以用二重积分来定义二维光滑或者分片光滑曲面的面积。

更一般的曲面面积的定义可以参见论文[6]，以及几何测度论[4，7]等相关专业书籍，这里就不加赘述了。

三、曲面积分教学建议

最后，简要地给出关于曲面积分教学的一些建议。在这里笔者们建议在高等数学课程中，讲授第一型曲面积分时只需要直接给出曲面积分的定义，如文中的定义1。在数学分析课程中可以简要的提到曲面面积的概念，并简要介绍Schwarz反例，或者建议同学们课后自学，引导学生思考曲线长度和曲面面积定义之间的异同。