2021年高考数学文化试题统计与分析

摘   要：2021年高考数学真题中有很多数学文化试题，这类试题很好地考查了考生的阅读理解能力，也很好地考查了数学运算、逻辑推理、数据分析、直观想象、数学抽象和数学建模的数学学科核心素养，落实了《中国高考评价体系》“一核四层四翼”的考查要求，凸显了综合性、应用性和创新性。赏析2021年高考数学文化真題，以更好地梳理数学文化问题所涉及的知识和方法，引导学生经历深度学习，提升学习能力。

关键词：数学文化试题;试题特征与分析;备考建议

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2021）26-0004-05

一、引言

教育部印发的《完善中华优秀传统文化教育指导纲要》指出，“高中阶段，以增强学生对中华优秀传统文化的理性认识为重点，引导学生感悟中华优秀传统文化的精神内涵，增强学生对中华优秀传统文化的自信心”。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订本）》（以下简称《课标》）在课程结构章节给出的数学文化的内涵是“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及他们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。”还提出了在数学课程中融入数学文化。

《中国高考评价体系》一书在“一核——高考核心功能”的“立德树人”部分指出“弘扬中华优秀传统文化”。

2021年高考数学真题中有很多数学文化试题，这类试题很好地考查了考生的阅读理解能力，同时很好地考查了数学运算、逻辑推理、数据分析、直观想象、数学抽象和数学建模的数学学科核心素养。2021年高考数学试卷中出现的数学文化试题成为一道亮丽的风景线，落实了《中国高考评价体系》和《课标》中提出的对数学文化的考查要求，凸显了综合性、应用性和创新性。以下，笔者对2021年高考数学文化真题进行赏析，并谈谈2022年高考数学文化试题备考策略。

二、2021年高考数学文化试题特征统计与分析

2021年高考数学文化试题中，全国卷Ⅱ理科第21题是没有给出背景的隐性数学文化试题，其他都是给出背景的显性数学文化试题。老高考试卷全国Ⅱ卷中数学文化试题只出现在理科试卷中，一道是源自中国传统文化中经典著作的显性文化试题，一道是源自外国数学文化的隐性数学文化试题。实行新高考的浙江卷和新高考Ⅰ卷中的数学文化试题都源自中国传统文化。从类别来看，主要为数学史料类。总的来说，数学文化试题主要出现在选择题和填空题中，解答题中很少。这些数学文化试题主要考查考生的阅读理解能力、运算求解能力和推理论证能力，主要贯彻了理性精神、人文价值、科学价值、应用价值和美学价值，主要渗透了劳育、德育和美育。

三、2021年高考数学文化试题赏析

全国Ⅱ卷理科第9题：魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高。如图，点E、F、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC与EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”.则海岛的高AB=（   ）

A.+表高 B.-表高

C.+表距 D.-表距

【解析】解法1：连接DF交AB于M，则AB=AM+BM，设∠BDM=α，∠BFM=β，则-=MF-MD=DF，

而tanβ=，tanα=，所以

-=MB（-）

=MB（-）=MB·

所以MB==，

所以高AB=+表高.

解法2：设表高DE=FG=m，表距EG=n，表目距：GC=p，EH=q， 表目距的差为p-q，

因为Rt△EDH∽Rt△ABH，

所以-，设AE=x，

则=，①

因为Rt△GFC∽Rt△ABC，

所以=，

则=，②

所以=，解得x=，代入①，

AB===+m，

所以AB=+表高，故选答案A.

【赏析】刘徽是我国古代魏晋时期伟大的数学家，在中国数学史上做出了巨大贡献，他的经典著作有《海岛算经》和《九章算术注》。《海岛算经》是我国历史上最早的关于测量数学的一部专著，刘徽在《海岛算经》一书中选编了九个测量问题，是中国古代高度发达的地图学的数学基础。本题源自《海岛算经》中的第一个关于测量海岛的高和远的数学名题“望海岛”：“今有望海岛（AB），立两表（DE，FG）齐高三丈，前后相去（EG）千步，令后表与前表参相直.从前表却行（EH）一百二十三步，人目著地（H）取望岛峰（A），与表末（D）参合.从后表（FG）却行（GI）一百二十七步，人目著地（I）取望岛峰（A），亦与表末（F）参合.问岛高（AB）及去表（BE）各几何？”本题考查了解三角形的应用;考查了考生综合运用知识解决问题的能力;考查了考生的推理论证能力;考查了逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学建模的数学学科核心素养;考查了数学应用、数学探索和数学文化素养。虽然试题难度不大，但在设计上比较新颖，取材经典古名著，以关于测量海岛的高度的探索创新情境为载体，做到了将中国传统文化渗透进高考数学试题，让考生充分感悟我国古代数学家的聪明才智和勇攀数学高峰的理性精神。数学名题是数学史的呈现内容之一，可以提升学生的学习兴趣，有利于学生理解数学的本质，体会我国古代著名数学家探究数学知识的过程。对培养学生的爱国情操和认识中华传统文化有着深刻的教育意义，对实施高中数学新课改和落实立德树人根本任务具有积极的导向作用。

全国Ⅱ卷理科第21题：已知抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.

（1）求p;

（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.

【解析】（1）问，由已知可得，焦点F（0，）到x2+（y+4）2=1的最短距离为+3=4，所以p=2.

（2）问，抛物线x2=4y，所以y=x2，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），所以y=x，因为点P在M上，所以x02=-y02-8y0-15，

切线PA的方程y-y1=x1（x-x1），

即y=x1x-x12=x1x-y1，

同理切线PB的方程为y=x2x-y2，

因为直线PA、PB都过点P（x0，y0），

所以y0=

x1x0-y1

y0=

x2x0-y2，所以直线AB的方程为

y0=x0x-y，即y=x0x-y0，

联立y=

x0x-y0

x=4y，得x2-2x0x+4y0=0，

△=4x02-16y0，由弦长公式，

AB=·

=，

点P到直线AB的距离d=，所以

S△PAB=ABd=x02-4y0

=（x02-4y0）  =（-y02-12y0-15）  ，

因为y0∈[-5，-3]，故当y0=-5时，S△PAB达到最大值，最大值为20.

【赏析】本题第（2）问以抛物线的阿基米德三角形为背景，阿基米德是古希腊数学家和力学家，被后人誉为数学之神，他的著作有《论球与圆柱》《圆的度量》《论劈锥曲面体与椭圆体》《论螺线》《抛物弓形求积》等10部。阿基米德三角形的定义：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形。阿基米德三角形具有很多美丽的性质，本题以阿基米德三角形的性质“已知抛物线 ：x2=2py（p>0），P为抛物线C一点，过点P作C的两条切线，切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则△PAB的面积为S=”为素材，形式优美，结构简单，主要考查了抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系，也考查了数形结合的思想和化归与转化的思想。

2021年浙江卷第11题：我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。若直角三角形直角边的长分别为3、4，记大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则         .

【解析】S1=（）2=25，

S2=4××3×4=1所以=25.

【赏析】赵爽是我国东汉末至三国时代的著名数学家，“赵爽弦图”是赵爽为了采用“出入相补”证明勾股定理时绘制的图形，本题以历史名图“赵爽弦图”为依托，考查了三角形面积公式。本题难度不大，通过简单的计算就可以得出答案，体现了高考试题的基础性。

新高考Ⅰ卷第16题：某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm， 20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_______;如果对折n次，那么=Sk=______dm2.

【解析】（1）易知有20dm×dm，10dm×dm，10dm×3dm，dm×6dm，dm×12dm，共5种规格;

由题可知对折k次共有k+1种规格，且面积为，故Sk=，

则Sk=240，记Tn=，

则Tn=，

故Tn=-

=1+（-）-，

=1+-=-

则Tn=3-，

故Sk=240（3-）=720-.

【赏析】本题考查了等比数列的定义和错位相减法，同时考查了推理论证能力和运算求解能力。本题以我国传统文化剪纸艺术为背景，重点考查考生灵活运用数学知识分析问题的能力，也让考生体会了中华优秀传统剪纸文化的劳动实践过程。

2021年新高考Ⅱ卷第4题：卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度為36000km（轨道高度指卫星到地球表面的最短距离），把地球看成一个球心为O，半径为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α，该卫星信号覆盖的地球表面面积S= 2πr2（1-cosα）（单位km2），则S占地球表面积的百分比为（   ）.

A.26%

B.34%

C.42%

D.50%

【解析】

如上图，作出过地球静止同步轨道卫星轨道左右端点的竖直平面，则OB=36000+6400=42400，cosα==，S占地球表面积的百分比为=≈42%，故选答案C.

【试题评价】新高考Ⅱ卷第4题是以北斗全球卫星导航系统为试题情境设计的立体几何问题，在考查学生数学基础知识的同时，展现了我国航天等高科技事业取得的辉煌成就。题目取材真实的科学研究情境，贴近新时代，在试题之中贯穿了立德树人和爱国敬业的理念，展现了社会主义核心价值观。本题涉及到高中数学立体几何中的球的表面积和平面几何中直线与圆相切的相关知识，体现了数学内部知识之间的交汇考查，同时涉及到地理学的纬度知识，体现了地理和数学这两个不同学科的交汇考查，体现了数学与其他学科的联系，体现出高考试题基础性和综合性，反映了数学的应用价值。

四、2022年高考数学文化试题备考建议

总结2021年高考数学文化真题的命题规律，在2022年高三的高考数学备考复习中，建议在每个知识块的复习中设置数学文化微专题，具体见下表。设置高考数学文化微专题时，一线教师可以通过网络收集整理历年高考真题和近几年模考试题中的典型数学文化试题，制成导学案的形式，要求学生课前做完，教师在课堂上选择性讲解并简单介绍一些相关的数学史料，既落实了高考数学文化试题的备考，又可以激发学生的学习兴趣。数学文化试题题目普遍较长，通过做这类题目可以提升学生的阅读理解能力，培养学生的理性思维、数学应用、数学探索和数学文化等学科素养。

数学文化微专题复习具有较小的切入点、新颖的角度和较强的针对性，可以做到数学文化知识和数学方法的交汇，切合高考试题注重在知识交汇处命题的特色，对学生更好地梳理数学文化问题所涉及的知识和方法具有重要作用，真正做到引导学生经历深度学习，提升学习能力。

参考文献：

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[2]罗文军.近年高考数学文化试题的综述[J].高中数学教与学（人民大学），2018，（2）：24～27

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.