聚焦核心素养 凸显数学本质

【摘 要】新高考即将全面实施之际，如何备战2022年“老”高考的“压轴考”引起人们的广泛关注。文章以2021年高考数学全国乙卷为例，通过分析试题特点，窥探高考命题走势，揭示核心素养导向下的教学如何更好地适应评价的改革。

【关键词】高考试题;核心素养;数学本质;理性思维

【作者简介】郑良，高级教师，中国数学奥林匹克一级教练员，主要研究方向为高中数学教学、高中数学竞赛。

新高考即将全面实施之际，如何备战2022年“老”高考的“压轴考”引起人们的广泛关注。本文以2021年高考数学全国乙卷（以下简称2021年全国乙卷）为例，窥探高考命题走势，为教师教学提供参考。

一、整体特点

由于2021年全国乙卷的使用区域较广，考虑到学生水平的差异，试卷稳中有变，变中求新，即总体结构不变，局部稍作调整。

（一）对接新高考，为文理合卷做尝试

为对接新高考的文理合卷，全国乙卷做了诸多过渡性的尝试，如文理同题（括号前为理科试题题号，括号内为文科试题题号，下同）有第3（3）、4（9）、5（10）、10（12）、15（15）、16（16）、17（17）、22（22）、23（23）题等;姊妹题有第8（7）、11（11）、13（14）、14（13）、18（18）题等，在考查内容上体现了向新课程改革过渡的趋势。

（二）一题多解，体现思维的层次性

（三）注重理性思维，强调答题规范

二、试题分析

（一）设置一题多解，甄别思维层次

横看成岭侧成峰，远近高低各不同。对于同一对象，如果观察的视角不同，看到的风景就会不一样。数学教学的目的是培养学生的思维能力，从不同的角度考虑问题，就可以得到不同的解决方法。教师通过对各种解题方法进行比较，深化学生对问题的认知，进而提升其思维能力。

该题解题的关键是弄清两条直线所成的角的概念与范围，一般有以下两种解题思路。（1）若用向量法，侧重于数学运算，可用基底法或坐标法，解答过程略。（2）若用综合法，通过逻辑推理，得出∠PBC1是直线PB与AD1所成的角（或其补角）（圖略）。解法1在△PBC1中用余弦定理求解;解法2先判定△PBC1为直角三角形再进行求解;解法3通过补形后再在等边△A1BC1中求解。这三种解法体现出解题者对问题的认知越来越深刻。解法1为求两条直线所成的角的通性通法，解法2对所要研究的对象的性质做进一步挖掘，解法3扩大研究对象的范围，使目标与结论更加清楚直观。如学生只给出解法1，教师要引导学生观察发现解法2与解法3，让学生以退为进，要有全局视角。类似的问题还有将不共线的三点共圆转化为四点共圆，四面体的外接球重合于长方体的外接球等。

（二）基于教材内容，理论联系实际

教材是编写者集体智慧的结晶，是师生教与学的蓝本。教材内容看似浅显易懂，但内涵深厚。高考命题把教材和课程标准作为根本依据，引导师生重视教材内容，回归知识本原。回归教材不是简单地浏览，而是从教材编排中经历概念的发现、发展、抽象和完善的过程，理解例题的设计意图，并对课后习题进行探究延展。数学源于生活，应用于实践。教材为了降低难度，往往会选择背景相对简单（可能还要经过抽象与简化）的生活实例，教师要将其与数学知识进行联系，构建数学模型，让学生在问题解决中深化对数学知识的理解。

例2（理科第9题）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高。如图1所示，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=（ ）

A.表高×表距表目距的差+表高 B.表高×表距表目距的差-表高

C.表高×表距表目距的差+表距 D.表高×表距表目距的差-表距

该题源自人教A版数学必修5“1.2 应用举例”第13页例3。试题以《海岛算经》中的测量方法为背景，要求学生根据测量过程中的相关条件，推断海岛高度的计算方法。该题主要考查三角形的求解问题，需要学生具备一定的逻辑思维、数学建模、数据处理能力。可利用相似三角形的性质、比例的性质（合分比定理）、直角三角形的边角关系进行求解。

（三）模型引领方向，考查理性精神

模型是通过主观意识借助实体或者虚拟表现，构成客观阐述形态结构的一种表达目的的物件。解题时“对号入座”中的“号”就是解题的模型，如何避免模型选择的表象化与先入为主，不仅需要学生在审题时细致入微，还要深挖模型的功能与理性思辨。

（四）强化视角转换，实现以退为进

解题时，很多学生经常会因为思维定式而思维受阻，教师需要引导学生学会有序化思维，在动与静、进与退等解题策略，以及整体与局部、数与形等对象之间进行灵活转换，提高思维的敏感性与灵活性。

（五）考查内容理解，促进齐头并进

一个数学问题的解决往往会涉及很多知识，一旦某个环节出现知识空白、思维中断等情况，就会导致问题无法求解。因此，在教学中，教师要引导学生查缺补漏，齐头并进，遇到问题才能多管齐下。如立体几何问题的解决不仅需要“三法”（综合法、向量基底法、坐标法）并举，还要用到平面几何的基础知识。

在求解该题时，需考虑问题的背景是什么？已知条件中的PB⊥AM还能怎么表征？对于立体几何的常规问题，运用综合法虽然无须大量的计算，但需要根据题设和结论联想平面几何与立体几何中的相关结论并作出适当的辅助线，对学生的空间想象能力和逻辑推理能力要求较高。对于非常规空间几何体，常常需要将其化归为常见几何体（如长方体等）求解。对于该题第（1）问的求解，可将∠ADB+∠DAM=90°用tan∠ADB·tan∠DAM=1来表示。2021年全国乙卷文科第18题第（2）问与该题第（1）问的本质相同。立体几何中的向量基底法与坐标法的理论基础为综合法，但大多数理科学生学习立体几何对向量法如获至宝，忽视对综合法的深化，导致很多学生运用向量基底法与坐标法的公式时张冠李戴。因此，在教学中，教师要切实提高学生的数学能力与素养，遇到问题时能根据需要灵活运用有关知识和方法。

（六）突出问题逻辑，重视恒等变形

推理是数学的“命根子”，运算是数学的“童子功”。数学育人的基本途径是对学生进行系统的（逻辑）思维训练，训练的基本手段是让学生进行逻辑推理和数学运算，要在推理的严谨性和简洁性、运算的正确性和算法的有效性上有要求[1]。推理，在逻辑学上指思维的基本形式之一，是由一个或几个已知的判断（前提）推出新判断（结论）的过程，有直接推理、间接推理等。运算，在数学上是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量。运算的本质是集合之间的映射。解题离不开恒等变形，因何而变，变向何方？教师要让学生实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越。例如在学习中，不少学生过于强化导数的功能与作用，而忽视了初等函数的基本结论与恒等变形，导致处理一些函数问题时“小题大做”，事倍功半。教学中，教师要通过正例和反例加强对学生思想与技能的引导。

（七）数学抽象引领，重视过程体验

高考不仅肩负着为高校选拔人才的重任，还引领中学教学的方向。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。当前“重结论，轻过程”的现象比较普遍，若在教学中教师强行灌输诸多二级结论，就会导致学生虽然能得到最后答案但不能规范地写出解题过程。多数学生“记得很多，练得很勤”，运用结论时却张冠李戴。因此，若缺少情境和过程，学生就会缺乏抽象与体验的基础。教育是慢的艺术，慢的目的不是教学节奏的拖沓，而是给学生思考的时间。知识是培养数学素养的载体，活动是培养数学素养的渠道[2]。教师要对教学情境、教学内容、教学流程、教学方式等认真思考，使创设的情境真实且贴近学生认知，让学生经历数学活动的完整过程。

三、教学启示

（一）着力落实“四基”，切实提高“四能”

（二）拓展思维角度，提高运算能力

布鲁纳曾说，探索是数学的生命线，没有探索就没有数学的发展。只有发散思维才有可能质疑并创新。如2021年全国乙卷文科、理科第16题只给出正视图，要求学生选出两个图分别作为侧视图和俯视图，是一道具有开放性的试题。不同的选法对应着不同的思考方向，需要学生的思维更灵活，空间想象能力更丰富。学生的运算能力决定着学生高考的命运，如2021年全国乙卷文科、理科第17题以芯片生产中的刻蚀速率为原型，设计概率统计的应用问题，要求学生根据新旧2台设备各生产10件产品得到的某项指标数据，判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高，考查学生对平均数、方差等知识的理解和应用，同时引导学生关注科技发展，认识到科技创新的重要性。但在阅卷中发现，尽管很多学生都明确解题方向，但大多数学生因为运算能力不过关而导致丢分。

（三）深化模型理解，规范书写过程

教好数学就是落实数学学科核心素养，其内涵是引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，建立数学模型解决现实问题[3]。如2021年全国乙卷文科、理科第16、第18题均可利用长方体模型进行求解。在平时的学习时，只有熟悉常见的数学模型，遇到问题时才能透过现象看本质，从而解决实际问题。在解题中，大多数学生审题时感觉似曾相识，解题时却无从下手，或出现“会而不对”“对而不全”等现象，这是因为对问题的理解不够透彻导致的。我们只有在平时的学习中，完善认知，规范书写过程，才能避免这些现象的发生。

参考文献：

[1]章建跃.核心素养统领下的立体几何教材变革[J].数学通报，2017（11）：1-6，18.

[2]罗增儒.数学素养课堂落实的思考[J].中小学课堂教学研究，2020（11）：3-6，31.

[3]章建跃.核心素养导向的高中数学教材变革（续1）：《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J].中学数学教学参考（上旬），2019（7）：6-11.

（責任编辑：陆顺演）