常数变易法在高中数学中的应用

潘晓琳

摘要：举例说明常数变易法在高中数学多变量问题中的使用策略。

关键词：常数变易法;多变量问题;高中数学

高中数学中经常会遇到多变量问题，所谓多变量问题就是一个问题中涉及多个可变因素，变量不仅多，而且还在变化，并且相互制约、相互影响。这类问题内涵丰富、综合性强、方法灵活，是高考数学中常见的一类难题，学生在面对此类问题时，最大的困扰就是不知从何处下手，介于此，笔者通过几个例题来谈谈解决此类问题的一种策略：常数变易法。

所谓常数变易法，是指在解常微分方程时，从对应的其次线性方程的通解结构出发，把常数C变易为一个待求的函数，由此得到非齐次线性方程的通解。它为我们提供了一种看待常量和变量的新角度，如果我们淡化变量的运动性，突出常量的运动性，认为静中有动，就可以以静制動，得到常数变易法的初等化应用，在这种思想的指导下，我们可以对高中数学中的多变量问题有一个更深入的认识，以此来探寻这一类题目的解法，构建起此类问题的解题框架.

一、参变分离，以动制动

例如：对于任意实数和，若不等式

恒成立，则实数x的取值范围是 ____________.

思路：参变分离，转化为恒成立问题，实现以动制动的目的。

解法：因为，所以两边同时除以，于是等价转换为恒成立。利用绝对值三角形不等式，进而得到于是得到x的取值范围是

二、反客为主，辩证统一

例如：若存在实数b，使不等式对任意恒成立，则（ ）

A b的最小值为4 B b的最小值为6

C b的最小值为8 D b的最小值为10

思路：题目中涉及多个量，对于函数，如果变量是x，那么这里就是一个含有绝对值的二次函数最值问题;如果变量是a，那么就是含有绝对值的一次函数最值问题。显然，这里我们会选择将参数a变易成变数的方法。

解法：问题等价于求 在上的最大值。结合一元一次函数的图形特征，只需满足且，即且 ，在上恒成立。再结合函数和在图像，进而求得。所以选择答案是B。

常数变易法解决多变量问题的本质就是变量和常量的相互转化与表征，常量和变量之间没有固定的界限。所以我们在教学的时候不要固化方法，应该着眼于培养学生从多角度看待事物，透过现象看本质，将思想方法融会贯通，避免固化观念，强调技巧。

参考文献：

[1]崔士襄.“常数变易法”来历的探讨.邯郸农业高等专科学校学报[N]，1998，15（1）：40-41.

[2]谢伟，王丹.例析多元数学问题的求解策略[J].中学数学研究，2012（3）.

[3]李英明.常数变易两例.中学数学月刊[J]，2003（2）.

[4]徐章韬.《中学数学教材核心内容分析》[M].北京：科学出版社，2021.32-34