对称迟后-超前校正的一体化设计方法

张 颖，吴爱国，董瑞琦，黄 芩

（哈尔滨工业大学（深圳），深圳518055）

0 引言

在单输入单输出系统的频率设计方法中，迟后-超前校正设计是最复杂的。在频率设计方法中，单位增益迟后校正环节主要作用于未校正系统的低频段，利用迟后环节的高频衰减功能降低系统剪切频率，进而通过自身的相位储备提高系统的相角裕度；而带有增益的迟后环节则可增大系统的开环增益；超前环节主要作用于未校正系统的中频段，通过校正环节在其高频段的正相角提高系统的相角裕度［1］。由于迟后环节和超前环节作用的频段不同，设计参数之间的影响很小，在校正设计时可以对它们分开设计。基于这样一种思想，很多教材在通过迟后-超前环节对系统校正时，都是将迟后环节和超前环节分开设计的。比较有代表性的是文献［2］和文献［3］。在文献［2］中，先采用迟后校正使系统的剪切频率略小于设计要求，再对迟后校正后的系统进行超前校正设计。在文献［3］中，先设计超前环节满足系统的稳定性能，再设计迟后环节满足系统的稳态精度。文献［3］在进行超前环节设计时，需要将未校正系统的开环增益降低以满足剪切频率的要求。开环增益如何降低需要试探，如果选择的开环增益不合适，就不能设计出满足稳态要求的超前环节。在采用这种迟后-设计方法时，经常需要对这个开环增益进行纠正。文献［4］和［5］所给出的迟后-超前校正设计方法，也是先设计超前-环节再设计迟后环节，但设计思想与文献［3］不同。在文献［4］和［5］的超前环节设计步骤中，超前环节用于提高目标剪切频率处的相角，并没有使用剪切频率的概念。

可以看到，在前面的设计方法中，没有把超前环节和迟后环节作为一个整体。设计的主要思路是利用这两个环节的不同作用频段分开设计两个部分，设计过程所付出的工作量相当于一个迟后校正和一个超前校正的整体工作量。而且在设计过程中也存在一些人为选择的中间变量，如文献［2］中迟后校正后系统的剪切频率的选择，文献［3］中进行超前校正时的开环增益的选择。这两个量的选择并没有明确的标准，主要是靠设计者的经验进行大致的估计，并根据校正后系统的性能进行调整。一般来说，很难一次设计成功。本论文将把迟后环节和超前环节作为一个整体进行考虑，先给出对称迟后-超前校正环节的频率特性，再根据频率特性给出迟后-超前校正的一体化设计方法。

1 对称迟后-超前校正环节的频率特性

本节讨论如下迟后-超前环节的频率特性

在使用时，其低频特性和高频特性完全分开，因此有αT＜t。在此条件下，迟后-超前环节（1）的渐近对数幅频特性?为：

由此容易得到迟后-超前环节（1）的渐近频率特性如图1所示。可以看到，迟后-超前校正环节（1）的渐近幅频特性曲线关于对称。进一步，若ω1和ω2是关于对称的两个频率点，即。对这两个频率有

于是有201g|Gc（jω2）|=201g|Gc（jω1）|。这说明迟后-超前校正环节（1）的精确对数幅频特性曲线201g|Gc（jω）|也是关于对称的。迟后-超前校正环节的相频特性为

在低频段，主要是迟后环节起作用，相角为负值；在高频段，主要是超前环节起作用，相角为正值。由于相频特性的连续性，一定会存在某频率点迟后-超前校正环节（1）的相角为零。相频特性（4）的半对数曲线如图1所示。式（4）可等价地写为

这说明迟后超前校正环节（1）的半对数相频特性曲线是关于点中心对称的。关于迟后-超前校正环节（1）频率特性曲线的对称性我们有如下命题。

命题1 对于迟后-超前校正环节（1），如果频率用对数表示，则幅频特性曲线关于直线轴对称，相频特性曲线关于中心对称的。

正是引用命题1中的结论，为方便起见，我们称迟后-超前校正环节（1）称为对称迟后-超前校正环节的原因。对于τ＞αT的迟后-超前校正环节（1），其对数幅频特性在整个频段是负值；其相频特性在低频段表现为迟后特性，具有负相位，在高频段表现为超前特性，具有正相位。在进行设计时，迟后-超前环节（1）的低频段和高频段离得足够远，在分析迟后-超前环节（1）的最大正相角时，可以认为迟后环节所产生的相角是常值-Δd，此时迟后-超前环节（1）在其高频段的相频特性可近似表示为附近，迟后-超前环节（1）最大相角为：

考虑到超前环节中的结论，在频率

命题2 对于α＞1的迟后-超前校正环节（1），定义

则有

进一步，如果时间常数τ满足

则迟后-超前环节（1）的最大相角φm可在ω=ωm附近取得，且有

而Δd的取值在6°～12°之间。

2 对称迟后-超前校正一体化设计原理

第1节给出了对称迟后-超前校正环节作为一个整体的频率性质，在迟后环节与超前环节所在频段离得足够远的情形下，给出其最大相角和取得最大相角的频率点。由命题2可知道，对称迟后-超前环节在其高频段与超前环节一样，都能提供正相角。但对称迟后-超前环节的幅频特性与超前环节不一样，其幅值在整个频段都是衰减的。在给出具体设计步骤之前，需要提及迟后-超前校正主要用于这样一种情形：所要求的剪切频率小于未校正系统的剪切频率，并且在所要求的剪切频率处未校正系统自身的相位储备达不到所要求的相位裕度。在进行迟后-超前校正设计时，既要利用超前校正环节的相位超前功能，也要利用未校正系统本身的相位储备。

我们结合图2给出相位裕度优先的迟后-超前校正一体化设计方法的原理。细实线是未校正系统G0（s）的频率特性曲线，所要求的剪切频率ωc小于未校正系统的剪切频率，所要求的剪切频率ωc附近未校正系统的相位储备又不够。拟采用对称迟后-超前环节（1）对系统G0（s）进行校正。为达到相位裕度为γ的要求，期望由未校正系统自身的相位储备γ0c和校正环节的相角φp共同提供，于是有如下关系

图2 对称迟后-超前校正设计原理图

对于最小相位系统，γ0c满足γ0c＜180°+∠G0（jωcL），其中ωcL为所要求频率的下界。由于校正环节最优频率与校正后系统剪切频率不一致会带来相角损失，需要对所要求的相位裕度附加一定的裕量Δ0，于是有

将式（8）代入上式可得

令：

则有

事实上，φm即为迟后-超前校正环节（1）超前部分提供的相角。为了让迟后-超前校正环节（1）能提供最大的相角，其近似最优频率ωm应该与要求的校正后系统的剪切频率ωc一致。在此频率处，未校正系统的幅值是201g|G0（jωc）|，该幅值需要由迟后-超前校正环节（1）的负幅值补偿，使得校正后系统的对数幅频特性201g|G0（jω）Gc（jω）|在ω=ωc处穿过0 dB线。在图2中，即为表示校正后系统幅频特性曲线的粗实线在ω=ωc处与0 dB线相交。由命题2知，在该频率处，迟后-超前校正环节（1）的幅值是-101gα，于是有201g|G0（jωc）|=101gα。由此即可确定校正后系统的剪切频率。

根据前面的论述可以给出相位裕度优先的迟后-超前校正设计方法设计校正环节（1）的步骤。

设计方法1：相位裕度优先迟后-超前校正设计

第1步.根据所要求的稳态性能指标确定系统的开环增益。

第2步.利用已知的开环增益，绘制未校正系统G0（s）的Bode图，并计算未校正系统的剪切频率ωc0，相角裕度γ0和幅值裕度Lg0。

第3步.根据相角裕度的要求确定超前-迟后校正环节的α。为使相角裕度达到要求值，计算超前环节所需提供的超前相角φm，即

式中γ为要求的相角裕度；γ0c是期望未校正系统提供的相位储备，其满足γ0c＜180°+∠G0（jωcL），其中ωcL为所要求频率的下界；Δ为附加角。迟后-超前校正环节的参数α由下式确定

第4步.确定校正后系统的剪切频率ωc。在校正后的剪切频率处，未校正系统的正幅值由迟后-超前校正环节拉回到0dB线，因此校正后系统的剪切频率ωc由下式确定

如果求得的剪切频率满足要求，则进行下一步；否则返回第3步调整Δ和γL。

第5步.确定超前校正环节。让超前校正环节取得最大值的频率对准校正后系统的剪切频率，即ωm=ωc。根据确定校正装置的转时间常数，进而确定超前环节的传递函数。

第6步.确定迟后校正环节。为了减小串联迟后校正对系统相位裕度的影响，要求校正环节在剪切频率ωc处的迟后相移在6°～12°以下，应进而确定超前环节的传递函数。

第7步.检验系统的性能指标，若不满足要求，可增大Δ的值，从第3步起重新计算。

说明1：在上面的设计方法中，附加相角Δ是考虑到迟后环节的相位延迟Δd和校正装置的近似最优频率与剪切频率ωc不一致而产生的附件相角Δ0两方面的因素。如果迟后环节的转折频率之间，相位延迟Δd在6°～12°。另外，由于校正后的剪切频率ωc比未校正系统的剪切频率ωc0小。一般来说，未校正系统在剪切频率ωc附近不会产生大的相位衰减，附加相角Δ0不用太大，甚至是0都可以。综合两方面的因素，附加相角Δ一般取10°～15°即可。如果选择，可选取Δ=10°。

3 算例

以下通过一个例子说明说明该设计方法。

例1 某控制系统的开环传递函数为

要求满足下列性能指标：

（1）单位斜坡输入r（t）=t时的稳态误差ess≤

（2）相角裕度γ≥35°；

（3）剪切频率ωc≥20 rad/s。

试用频率法设计对称迟后-超前校正装置的传递函数G0（s）。

第2步.在K=126的情形下，未校正系统的渐近对数幅频特性为

令201g|G0（jωc）|=0可以确定未校正系统的剪切频率

相角裕度为

未校正系统是最小相位的，而且相角裕度小于零，因此是不稳定的。

第3步.根据设计要求，校正后系统的剪切频率的下界是ωcL=20rad/s，在此频率处相位储备为180°+∠G0（jωcL）=8.2°。取期望未校正系统提供的相位储备γ0c=7°。另外，取裕量Δ=10°。为使校正后系统的相角裕度达到要求，超前环节应提供的超前相角为

φm=γ+Δ-γ0c=35°+10°-7°=38°

因此迟后-超前校正环节的参数α为

第4步.按下式确定校正后系统的剪切频率ωc

101gα=201g|G0（jωc）|

采用渐近幅频特性简单求解得ωc=24.80rad/s。满足设计要求ωc≥20rad/s。

第5步.取ωm=ωc进行设计，超前校正环节的转折频率为

满足设计要求。对校正前后的系统特性进行仿真验证，所得到的Bode图如图3所示，由图3可知加入所设计的迟后-超前校正装置后能使原系统的剪切频率减小，相位裕度增加，达到了设计要求。

图3 相位裕度优先对称迟后-超前校正前后系统Bode图

设计方法1是优先考虑校正后系统相角裕度的要求。类似于超前校正的设计方法，也可以先考虑校正后系统剪切频率的要求。这就是以下设计方法。

设计方法2：剪切频率优先迟后-超前校正设计

第1步.根据所要求的稳态性能指标确定系统的开环增益。

第2步.利用已知的开环增益，绘制未校正系统G0（s）的Bode图，并计算未校正系统的剪切频率ω0c，相角裕度γ0和幅值裕度Lg0。

第3步.根据设计要求确定校正后系统的ωc，并让超前校正环节取最大相角的频率对准该剪切频率，即ωm=ωc。

第4步.根据幅值补偿确定迟后-超前环节的参数α。在校正后系统的剪切频率处，未校正系统的正幅值由迟后-超前校正环节拉回到0 dB线，因此校正后系统的剪切频率ωc由下式确定

为满足相角裕度的要求，需要验证确定在此α值下，超前环节是否能提供足够的相角。按下式计算φm

如果

式中γ为要求的相角裕度；γL是期望未校正系统提供的相位储备，其满足γL＜180°+∠G0（jωcL），其中ωcL为所要求频率的下界。Δ是附加相角，一般取Δ=10°～25°。

第5步.确定超前校正环节。由第3步和第4步确定的ωm和α，根据确定校正装置的时间常数，进而确定超前环节的传递函数。

第6步.确定迟后校正环节。为了减小串联迟后校正对系统相位裕度的影响，要求校正环节在剪切频率ωc处的迟后相移在6°～12°以下，应选择

进而确定迟后-超前校正装置的传递函数。

第7步.检验系统的性能指标，若不满足要求，可增大Δ的值，从第3步起重新计算。

以下对例1中的系统，按照剪切频率优先的方法再次设计迟后-超前校正装置的传递函数。

例2：再次考虑例1中的系统和设计指标要求，设计对称迟后-超前校正装置。

第1步和第2步同上述的设计方法1、2.

第3步.根据设计要求取校正后系统的剪切频率ωc=23rad/s。

第4步.由式（18）计算α，得α=5.67

第5步.超前校正装置的转折频率为

则超前校正装置为：

即

简单求解该方程可得ωc=22.11rad/s。校正后系统的相位裕度为

满足设计要求。对校正前后的系统特性进行仿真验证，所得到的Bode图如图4所示，由图4可知加入所设计的迟后-超前校正装置后能使原系统的剪切频率减小，相位裕度增加，达到了设计要求。

图4 剪切频率优先对称迟后-超前校正前后系统Bode图

该例设计的校正环节与未校正系统产生了零极点对消。

4 结语

本文分析了一类具有对称特性的迟后-超前校正环节的频率特性，并由此提出了两种一体化迟后-超前校正环节设计方法。在校正环节的参数满足一定条件下，所提出的对称迟后-超前校正环节能在超前环节作用的频段内提供正的相角和负的幅值。算例验证了所提出的迟后-超前一体化设计方法的有效性。丰富了单输入单输出系统的频率设计方法。