解答数列求和问题的几种途径

彭志文

数列求和问题是同学们比较熟悉的一类题目.解答此类问题的方法有很多，如倒序相加法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、并项求和法等.如何选择合适的方法来解题是提升解题效率的关键.本文重点谈一谈解答数列求和问题的三种常见方法.

一、倒序相加

若一个数列中与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，就可运用倒序相加法来求数列的和.在求和时需要首先列出数列的前 n 项和式，然后把数列的前 n 项的顺序倒過来并相加，其和仍为数列的前 n 项的和.再将两个和式的第一项与第一项、第二项与第二项……相加，得到 .求得 的值，即可求得数列的前 n 项和.

解答本题，需首先明确 f （x）与f （1- x）之间的关系，这样与首末项等距的两项之和就等于首末两项之和，便可直接运用倒序相加法来求和.

二、分组求和

分组求和法是指将数列分成几个组，然后分别对每组进行求和的方法.运用分组求和法解答数列求和问题的关键在于把数列中的各项进行合理分组.可根据数列各项之间的特点将数列分成几个不同的组，如将周期数列按照周期进行分组，将奇偶项不同的数列按照奇偶性来分组等.

例 2.已知数列{an}是等比数列，a1= 1，a4=8， {bn}是等差数列，b1=3，b4=12.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式;（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn.

解：（1）an=2n-1，bn=3n（过程略）

（2）因为数列{an}的前n项和为  ，数列 的前 n 项和为  ，所以 .我们由题意知，{cn}由一个等差数列和一个等比数列构成，于是可将其分成两组，分别利用等差数列和等比数列的前 n 项和公式求出它们的和，再综合所得的结果即可.

三、裂项相消

裂项相消法是指将数列的通项裂为两项之差的形式，然后再求和的方法.常见的裂项形式有 等.在裂项之后，将各项相加，和式中的前后项会相互抵消，化简剩下项的和便可求得 Sn的值.

例3.已知数列 是首项 a1= 0，公差为 p 的等差数列，且前 n 项和为 ，求证： .

.我们在求得数列{bn}的通项之后，将其裂为两项之差的形式，然后对其进行求和.在求和时，除了最前面的2项和末尾的2项，其他的项每隔两项便会出现绝对值相等的正负数，通过正负抵消这些项便会将其转化为0.

数列求和问题的形式多种多样，与之所对应的求和方法也多种多样.因此，同学们要熟练掌握一些常见的数列求和问题的形式以及求和的方法，这样，在面对新的求和问题时，便能快速找到解题的思路.

（作者单位：江苏省南京市第二十九中学）