利用频率定义推导多普勒效应公式

杨军伟

(浙江金华第一中学 浙江 金华 321015)

多普勒效应首先由奥地利物理学家多普勒研究，发现波源与观察者互相靠近或者远离时，接收到波的频率会发生变化.本文通过频率定义导出波源频率与观察者接收到的频率之间的关系，得到多普勒效应的定量公式.

1 非相对论情形下多普勒效应公式

图1 推导多普勒效应公式示意图

由几何关系得

u[(t+dt)-(t0+dt0)]=u(t-t0)-vSdt0cos α+vPdtcos β

(1)

式(1)整理得

(u-vPcosβ)dt=(u-vScosα)dt0

(2)

根据频率定义，波源发出波的频率和观察者测得波的频率分别为

(3)

式(2)、(3)联立可得

(4)

式(4)即为非相对论情形下多普勒效应公式.

在应用式(4)直接观察者感受到的频率时，特别注意SP为不同时刻的波源与观察者位置，因为α,β并不能直接从初或末时刻获得，从而导致在很多情形下直接应用公式并不方便.反而从式(4)推导的基础，即频率的定义出发，倒不失一般性，且方便.譬如如下实例场景.

【实例】(第22届全国中学生物理竞赛复赛试题)如图2(a)所示，两辆汽车A与B，在t=0时从十字路口O处分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进.汽车A持续地以固定的频率ν0鸣笛，已知声速为u，且有u>vA,vB，求解任意时刻汽车B的司机所检测到的笛声频率[1].

(a)

解析：如图2(b)所示，t时刻时笛声传播到汽车B，汽车B位于B(t)处，距O点的距离为vBt.汽车A发出此笛声时为t0时刻，位于A(t0)处，距O点的距离为vAt0.此笛声由发出点到接收点(t时刻B车所在点)所传播的路程为u(t-t0)，由几何关系可知

(vBt)2+(vAt0)2=[u(t-t0)]2

解得

两边取微元

因此

2 相对论情形下多普勒效应公式

(5)

根据式(2)、(5)，得

注：式(2)中u为介质中的光速，因此

(6)

式(6)即是相对论情形下多普勒效应公式，其中α,β为介质参考系中光源发出光时其速度与发光方向的夹角,观察者接收光时其速度与光束的夹角.

同样我们可以依照式(6)推导过程来解决如下问题.

问题：如图3所示，惯性系中的宇宙飞船A,B同时从P处出发，A沿直线lA方向以匀速度vA运动，B沿直线lB方向以匀速度vB运动，直线lA与lB的夹角为锐角φ，两者在两直线交点P同时出发之后，A向对方连续地发射本征系计时系统频率为ν0的球面光波.对方B可连续地接收到光波.考虑相对论效应，探讨B于固有时时刻τB接收到的频率νB(τB)[1].

图3 宇宙飞船发射信号接收信号过程

解析：由几何关系可得

(vAtA)2+(vBtB)2-2vAtAvBtBcosφ=

[c(tB-tA)]2

解得

对上式两边微分得

根据频率定义

综合解得

3 结束语

多普勒效应在生产生活中有非常重要的应用，从频率定义出发，我们可以从本质上去理解多普勒效应的实质，更加深刻地理解其机制.