三维分数阶不确定混沌系统的自适应滑模同步

毛北行, 张又林

(郑州航空工业管理学院 数学学院, 郑州 450015)

目前, 混沌同步已引起人们广泛关注[1-4], 随着分数阶微积分建模方法的引入, 分数阶混沌系统的同步研究已取得了较多成果[5-15], 其中文献[8]基于终端滑模控制研究了不确定Duffling分数阶系统同步, 给出了分数阶终端滑模函数的设计与构造原则； 文献[9]研究了分数阶Genesio不确定混沌系统的反演滑模同步, 给出了反演滑模同步的一般方法； 文献[10]研究了Newton-Leipnik不确定分数阶混沌系统滑模同步的两种方法, 得到主从系统滑模同步的充分条件； 文献[11]基于滑模控制技巧研究了纠缠混沌系统的比例积分滑模同步, 给出了比例积分滑模面的设计与构造； 文献[12]研究了分数阶超混沌Bao不确定混沌系统的比例积分滑模同步. 在实际应用中, 由于存在建模的不确定性、被控对象的结构变化、测量误差以及外部扰动, 使系统性能遭到破坏, 因此必须考虑这些因素的影响: 文献[13]研究了分数阶Genesio-Tesi混沌系统的滑模混沌同步； 文献[14]研究了分数阶不确定Genesio-Tesi混沌系统的转移函数滑模同步； 文献[15]研究了不确定非线性分数阶Sprott系统的滑模同步. 本文利用自适应滑模控制方法研究带有模型不确定性和外扰下一般三维混沌系统的同步问题, 通过设计合适的滑模函数、控制器和自适应律得到三维混沌系统自适应滑模同步的充分条件.

1 主要结果

定义1[16]Caputo分数阶导数定义为

考虑三维分数阶混沌系统[3]:

(1)

以系统(1)为主系统, 设计从系统为

(2)

其中Δf(y1,y2,y3,t)为不确定项,d(t)为有界的外部扰动,u(t)为控制器, 定义ei=yi-xi, 可得

(3)

假设1设不确定项Δf(y1,y2,y3,t)和外部扰动d(t)有界, 即存在未知参数m,n>0, 使得

|Δf(y1,y2,y3,t)|

引理1[16]若x(t)为连续可微的函数, 则对任意的t≥0， 有

定理1在假设1条件下, 设计滑模面s=e3(t)-ke1(t), 其中k>0. 控制器

(4)

适应律为

(5)

根据Laplace终值定理, 有假设2q-1>0, 由

当不在滑模面上时, 构造函数

(6)

利用引理1, 求分数阶导数得

根据引理2, 从而s→0.

考虑三维整数阶混沌系统

(7)

以系统(7)为主系统, 设计从系统为

(8)

其中Δf(y1,y2,t)为系统的不确定项,d(t)为有界的外部扰动,u(t)为控制器, 定义ei=yi-xi, 可得

(9)

定理2在假设1条件下, 设计滑模面s=e3(t)-ke1(t), 其中k>0. 控制器(4)适应律为

(10)

当不在滑模面时, 构造函数(6)， 由引理1, 求分数阶导数得

根据引理3, 从而s→0.

2 数值仿真

考虑三维分数阶Genesio-Tesi混沌系统

(11)

图1 三维分数阶混沌系统的吸引子相图Fig.1 Attractor phase diagram of three-dimensional fractional-order chaotic system

当b1=-2,b2=3.5,b3=0.3,b4=1,q=0.928时, 三维分数阶混沌系统的吸引子相图如图1所示.

以系统(11)为主系统, 设计从系统为

(12)

其中Δf(y1,y2,y3,t)为系统的不确定项,d(t)为有界的外部扰动,u(t)为控制器, 定义ei=yi-xi, 可得

(13)

设计滑模面s=e3(t)+ke1(t),k>0. 控制器

适应律为式(4), 当Δf(y1,y2,y3,t)+d(t)=-0.1cos(t)y1+0.1cos(t)时, 定理1中的系统误差曲线如图2所示.

图2 定理1中的系统误差曲线Fig.2 Systematic error curves in theorem 1

考虑三维整数阶Genesio-Tesi混沌系统

(14)

图3 三维整数阶混沌系统的吸引子相图Fig.3 Attractor phase diagram of three-dimensional integer-order chaotic system

当b1=-2,b2=3.5,b3=0.3,b4=1时, 三维整数阶混沌系统的吸引子相图如图3所示.

以系统(14)为主系统, 设计从系统为

(15)

其中Δf(y1,y2,y3,t)为系统的不确定项,d(t)为有界的外部扰动,u(t)为控制器, 定义ei=yi-xi, 可得

(16)

设计滑模面s=e3(t)-ke1(t). 控制器

适应率为式(10), 当

Δf(y1,y2,y3,t)+d(t)=-0.1cos(t)y1+0.1cos(t)

时, 定理2中的系统误差曲线如图4所示.

图4 定理2中的系统误差曲线Fig.4 Systematic error curves in theorem 2

综上, 本文研究了具有不确定项和外扰下的三维分数阶不确定混沌系统的自适应滑模同步, 通过设计合适的滑模函数、控制器和自适应律, 得到三维混沌系统自适应滑模同步的两个充分条件, 在满足一定的假设条件下, 不确定混沌系统可取得自适应滑模同步.