加权犹豫模糊优先级算子的群决策方法

苗 妙，王拥兵

（安庆师范大学数理学院，安徽 安庆 246133）

自1965年Zadeh[1]提出模糊集合概念后，模糊集广泛应用于各个领域。随着研究的深入，研究者发现模糊集合理论在处理不确定信息问题时存在一定的局限，进而模糊集的各种拓展形式相继被提出[2-5]。作为模糊集的一种重要拓展形式，犹豫模糊集[5]的优点是将元素的隶属度推广到[0,1]区间的子集上。因此，犹豫模糊集可以有效地刻画决策过程中信息的不确定性。多属性群决策是基于模糊信息集成算子来确定最优备选方案，被广泛应用于模式识别、医疗诊断和市场预测等领域[6-7]。Xu和Yager提出了直觉模糊算数集成算子和直觉模糊几何集成算子[8-10]。Xia等讨论了犹豫模糊集的运算法则和得分函数，提出了几类犹豫模糊集成算子，并将其应用于不同类型的决策和群决策问题中[11-12]。针对决策信息中属性优先级关系，Wei等提出了犹豫模糊优先级加权平均算子和犹豫模糊优先级几何平均算子[13]。文献[14]针对文献[13]中的算子存在的不足，提出了具有有界性和幂等性的犹豫模糊集成算子。此外，刘小弟等考虑在犹豫模糊多属性决策过程中优化属性权重[15]，Xu等引入了概率犹豫模糊集，有效地考虑每个隶属度发生的概率[16]，Li等在概率环境下提出了概率犹豫模糊优先级集成算子[17]。犹豫模糊集成算子尽管能很好地刻画决策过程中信息的不确定性，但为了更全面地表达决策者的偏好，备选方案属性信息的隶属度需要被充分考虑。曾文艺针对每个可能作为属性信息的隶属度赋予相应的权重，提出了加权犹豫模糊集的概念和运算法则，讨论了两类加权犹豫模糊集的集成算子，该方法充分体现了决策者的偏好信息[18]。考虑到决策过程中备选方案属性信息的评估值在分布时存在一定差异，Yager定义了属性信息的优先关系，提出了模糊优先级聚类算子[19]。

以上研究都只考虑了某一个方面对最终决策结果的影响，为此，本文基于决策过程中备选方案属性信息隶属度的权重和优先级双重影响，提出利用加权犹豫模糊优先级平均算子和加权犹豫模糊优先级几何算子构建多属性群决策方法，并通过具体案例阐明该方法的有效性。

1 预备知识

1.1 犹豫模糊集及其运算

定义1[5,11]给定论域X，称A={x,hA(x)|x∈X}为X上的犹豫模糊集（HFS），其中hA(x)是[0,1]中一些数值的集合，表示元素x关于集合A的一些可能的隶属度，并称hA(x)=h(x)为犹豫模糊元。用Θ表示所有犹豫模糊元素的集合。

定义2[5]给定犹豫模糊元h(x)、h1(x)和h2(x)，定义它们的交、并、补分别为

定义3[20]设h(x)为犹豫模糊元，则称为h(x)的得分函数，其中lh为h(x)中元素的个数。对于两个犹豫模糊元h1和h2，若s(h1)＞s(h2)，则h1优于h2，记为h1＞h2；若s(h1)=s(h2)，则h1和h2无差别，记为h1～h2。

在实际问题中，常常会出现s(h1)=s(h2)的情况，难以判断优劣，为了更好地描述这个问题，Chen等引入了偏差度的概念。

定义4[21]对于给定的犹豫模糊元h(x)，称

为h(x)的偏差度。

对于两个犹豫模糊元的大小比较，Liao[22]等给出如下法则：

（1）如果s(h1)＞s(h2)，则h1＞h2；

（2）如果s(h1)=s(h2)，则当σˉ(h1)＞σˉ(h2)时，有h1＜h2；当σˉ(h1)=σˉ(h2)时，有h1=h2。

定义5[11]给定3个犹豫模糊元h(x)、h1(x)和h2(x)，则

若hi(x)(i=1,2,3,…,n)为犹豫模糊元，则Liao[24]给出如下推广：

1.2 加权犹豫模糊集及其运算

定义6[18]给定论域X，称为X上的加权犹豫模糊集，并称hw(x)为加权犹豫模糊元，其中hw(x)={γ1,w1,γ2,w2,γ3,w3, …,γm,wm}，这里γi∈[0,1](i=1,2,3,…,m)是对象x相对于模糊集合Ew所有可能的隶属度组成的集合，wi为隶属度γi的权重，并满足wi∈[0,1](i=1,2,3,…,m)，。

为了比较不同加权犹豫模糊集和加权犹豫模糊元，引入以下得分函数。

定义7[18]设hw(x)为加权犹豫模糊元，则称为hw(x)的得分函数。

定义8[18]设hw(x)为加权犹豫模糊元，则称为hw(x)的离散度。

根据定义7中的得分函数和定义8中的离散度，文献[18]给出了加权犹豫模糊元的比较法则：

基于加权犹豫模糊集之间的关系，结出如下运算。

定义9[18]给定加权犹豫模糊元和，则

2 加权犹豫模糊优先级算子

充分考虑隶属度重要性的模糊信息和属性信息优先级关系的重要影响，基于优先级平均算子，提出了新的犹豫模糊决策方法。

定义10(x)(i=1,2,3,…,n)为一组加权犹豫模糊元，设，如果满足：

则称fWHFPWA为加权犹豫模糊优先级平均算子（简称WHFPWA算子），其中，σ1=1，2,3,4,…,n)，且是(i=1,2,3,…,n)的得分值。

定义11(x)(i=1,2,3,…,n)为一组加权犹豫模糊元，设，如果满足：

则称fWHFPWG为加权犹豫模糊优先级几何算子（简称WHFPWG算子），其中，σ1=1，2,3,4,…,n)，且是(i=1,2,3,…,n)的得分值。

基于加权犹豫模糊元的运算法则，进一步给出与WHFPWA和WHFPWG算子相关的定理。

定理1（i=1,2,3,…,n）为一组加权犹豫模糊元，则有

其中，σ1=1，(i=2,3,4,…,n)，且是(i=2,3,4,…,n)的得分值。

证明利用数学归纳法证明，当n=2时，

假设当n=k-1时结论成立，即

当n=k时，有

即当n=k时，结论也成立，从而定理3得证。

定理2(i=1,2,3,…,n)为一组加权犹豫模糊元，则有

其中，σ1=1，(i=2,3,4,…,n)，且是的得分值。

注定理2的证明类似于定理1。

在构造犹豫模糊集的集成算子时，应注意该集成算子是否具有幂等性、有界性和单调性等性质。根据加权犹豫模糊集的运算性质，WHFPWA算子和WHFPWG算子的有界性和单调性是显而易见的。下面给出幂等性的证明。

定理3（幂等性）(x)(i=1,2,3,…,n)为一组加权犹豫模糊元，若=hw(i=1,2,3,…,n)，则。

证明已知，根据定义10可得

其中，σ1=1，，且是的得分值。

定理4（有界性）(x)(i=1,2,3,…,n)为一组加权犹豫模糊元，若(i=1,2,3,…,n)，则。

定理5（单调性）(x)(i=1,2,3,…,n)和(x)(i=1,2,3,…,n)为两组加权犹豫模糊元，若，则

基于上述WHFPWA（WHFPWG）算子构造的决策模型可以在犹豫模糊环境下为决策者提供一个选择最优的决策方案。

假定Ai(i=1,2,3,…,m)为m个备选项，Gj(i=1,2,3,…,n)为Ai的n个属性，且不同属性存在优先级关系G1≻G2≻G3≻…≻Gn，专家组E={e1,e2,e3,…,et}，根据属性对备选项进行评估（这里只考虑专家权重未知的情况，专家权重已知的情况同理），具体步骤如下。

Step1专家组E={e1,e2,e3,…,et}，根据不同属性Gj(i=1,2,3,…,n)对方案Ai(i=1,2,3,…,m)进行评估，评估信息用犹豫模糊元素hij(i=1,2,3,…,m;j=1,2,3,…,n)给出。在评估过程中，一般会遇到两类不同的属性：1）效益型属性；2）成本型属性。前者值越大越好，后者值则越小越好。当数值H=(hij)n×m为成本型属性，需要将其转化为效益型属性数值B=(bij)n×m，转化公式如下，

Step2根据(i=1,2,3,…,m;j=2,3,4,…,n)计算出σij(i=1,2,3,…,m;j=2,3,4,…,n)的值，σi1=1(i=1,2,3,…,m)。

Step3利用WHFPWA（WHFPWG）算子对每一个属性信息进行集成。

Step4计算或，对备选方案进行排序。

3 实例分析与结论

某企业董事会策划未来5年的大型项目发展计划，根据项目的投资价值和投资风险，考虑下面4个属性（均为效益型属性）：x1，财务面；x2，顾客满意度；x3，内部程序面；x4，学习和成长面。董事会邀请4名专家对5个备选项目Ai(i=1,2,3,4,5)进行评估，进而排序和择优。4名专家的评估结果分别见表1～4。这里只考虑了专家权重未知的情况，专家权重已知的情况同理。

表1 专家e1的评估

表2 专家e2的评估

表3 专家e3的评估

表4 专家e4的评估

下面利用本文决策方法对数据进行处理，具体步骤如下。

Step1为了消除彼此影响，专家们根据给出的4个属性对5个备选项目进行匿名打分，得到决策矩阵表（表1～4），根据这4个表的数据构造加权犹豫模糊矩阵（表5）。

表5 加权犹豫模糊矩阵

续表5

Step2根据(i=1,2,3,…,m;j=2,3,4,…,n)计算出σij(i=1,2,3,…,m;j=2,3,4,…,n)的值，σi1=1(i=1,2,3,…,m)。

Step3利用WHFPWA集成所有的加权犹豫模糊元hwij(i=1,2,3,…,m;j=2,3,4,…,n)。

Step4利用得分函数公式s(hw(x))计算出每个备选项目的得分：

若利用WHFPWG算子来求解，得分和备选项目排序为

5个备选方案的得分排序结果为A4＞A1＞A3＞A5＞A2。用WHFPWG算子计算，得分最高的项目是A4，即最终选择项目A4的可能性最大。

为了更为直观地比对结果，分别运用文献[18]中的WHFWA算子和文献[13]中的HFPWA算子对该实例进行计算，结果见表6。

表6 各算子结果对比

从表6可以看出，文献[18]的运算结果是项目A1的得分最高，这与实际不符，因为从表5中属性的隶属度和属性权重关系来看，A4方案明显优于A1。文献[18]的决策模型没有考虑到属性之间存在优先级关系，所以计算结果存在偏差。文献[13]与本文方法结果基本一致。本文方法利用属性的优先级关系重新计算了属性权重向量，且加入了隶属度的权重，例如在上述案例中，充分利用了4名专家对同一项目的评分数据来计算隶属度的权重，保留了数据的完整性，也正是因为加入了隶属度的权重，每一个专家的评估信息都变得重要，这使得最后的结果更具有可信度。本文所提出的两种加权犹豫模糊优先级算子是合理有效的。