准天顶卫星系统广播星历精度评定和拟合精度分析

寇瑞雄，杨树文

( 1. 兰州交通大学 测绘与地理信息学院，兰州 730070；2. 地理国情监测技术应用国家地方联合工程研究中心，兰州 730070；3. 甘肃省地理国情监测工程实验室，兰州 730070 )

0 引 言

随着四大全球卫星导航系统(GNSS)的建成与升级换代，日本建设的准天顶卫星系统(QZSS)和印度区域卫星导航系统(IRNSS)也在逐步推进. 其中日本建设的QZSS 是服务于亚太地区的区域卫星导航系统[1-2]，也是美国的GPS 在亚太区域的星基增强系统. 由于多系统融合导航定位是卫星定位发展的一个重要方向，文献[3-4]评估了QZSS 在中国和日本及周边区域的定位性能. 结果表明：QZSS 系统对GNSS定位导航精度有所提高，在GNSS 可用性方面也具有一定补充作用.

在卫星实时导航定位数据处理中，广播星历计算导航卫星位置是一个重要环节. 广播星历文件中发布轨道参数的时间间隔一般为1 h 甚至更长，与观测文件秒级的采样间隔不一致，为了保证卫星位置计算精度且能减少重复迭代次数，需要对卫星位置按需插值或拟合. 目前对GNSS 广播星历插值和拟合的研究较多，但对RNSS 的研究较少，且QZSS 的J01、J02 和J03 采用了大椭圆非对称“8”字形倾斜地球同步轨道(IGSO)卫星，与目前现有的GNSS 卫星轨道都不一样，所以QZSS 广播星历具有一定的研究意义. 针对GNSS 广播星历拟合或插值方法包括牛顿多项式、拉格朗日多项式、五次样条插值法和埃尔米特多项式等，如文献[5]讨论了滑动式和非滑动式拉格朗日多项式在北斗卫星导航系统(BDS)精密星历中的应用；文献[6]利用五次样条拟合法在GPS 卫星轨道拟合中的应用；文献[7]对比分析了牛顿多项式和埃尔米特多项式在GNSS 广播星历中的拟合精度. 为了研究切比雪夫多项式对QZSS 广播星历拟合精度，本文首先评定QZSS 广播星历的精度，然后利用切比雪夫多项式拟合法对QZSS 卫星坐标拟合并评定拟合精度.

1 QZSS 广播星历

1.1 计算QZSS 卫星位置

QZSS 广播轨道采用的坐标系统是日本卫星导航大地测量系统. QZSS 的时间系统称为QZSST，它的秒长与国际原子时间(TAI)的秒长相等，但落后TAI 19 s[8]. 目前系统在轨卫星有4 颗，包括3 颗IGSO卫星和1 颗地球同步轨道(GEO)卫星[9]. QZSS 广播星历计算卫星位置与GPS 广播星历计算卫星位置方法一致，文献[10]详细介绍了根据直接法使用广播星历计算卫星位置的过程，因此本文不再赘述直接法QZSS广播星历计算卫星位置的方法.

1.2 QZSS 广播星历精度评定

QZSS 广播星历每1 h 提供一组开普勒轨道数据，通过广播星历轨道参数计算一定时间内任意时刻QZSS 卫星的空间坐标. QZSS 精密星历每组卫星坐标的时间间隔为15 min，目前精密星历是精度最高的卫星星历，因此在广播星历精度评定时将精密星历提供的卫星三维(3D)坐标设定为真值.

本文在https://sys.qzss.go.jp/dod/en/archives/pnt.html 网址上下载了自2020-04-27—2020-05-06 (年积日第118—127 天)的广播星历和精密星历. 由于广播星历的时间间隔与精密星历的时间间隔不一致，为方便对比，利用广播星历计算历元前后半小时之间的15 min 间隔卫星位置，然后以精密星历为真值，计算10 天内所有历元的广播星历在空间大地坐标系(X、Y、Z) 三个方向和卫星轨道坐标系(R、T、N) 三个方向的误差. 分别统计两个坐标系下的广播星历误差，使用最大绝对误差(Max)、平均绝对误差(Mean)和均方误差(Std)来评定广播星历精度，具体结果如表1和表2 所示.

表1 空间大地坐标系误差统计m

表2 卫星轨道坐标系误差统计m

由表1 可知，在空间大地坐标系中QZSS 广播星历的Max 在J03 卫星Y方向最大，其余都小于5 m.GEO 卫星在X和Y方向的平均绝对误差大于IGSO卫星，但在Z方向比IGSO 卫星的都小. J01 卫星Z方向的Std 较大，其余卫星的Std 大部分小于1 m.

由表2 可知，在卫星轨道坐标系中，GEO 卫星R方向的Mean 大于IGSO 的，T和N方向的Mean平均绝对误差也大于其中2 颗IGSO 卫星的. GEO卫星在R和N方向的Std 均大于IGSO 卫星，在T方向仅小于J03 卫星.

从整体上看，GEO 卫星的广播星历误差大于IGSO卫星. 在两个坐标系统中，QZSS 广播星历精度均处于米级.

2 切比雪夫拟合法原理

对QZSS 广播星历，在 [t0,t0+Δt] 时间间隔内使用n阶切比雪夫拟合法进行拟合，其中t0为初始历元，Δt为拟合区间长度. 首先将t∈[t0,t0+Δt] 处理成τ ∈[−1,1]的形式，即

以卫星X坐标为例，使用间接平差原理求解切比雪夫多项式系数，将式(2)的第1 个式子列出误差方程并整理为式(4)：

同理，使用上述方法可以求得Y和Z坐标的切比雪夫多项式系数，根据计算得到的多项式可以计算拟合区间内任意时刻的3D 坐标.

3 QZSS 广播星历拟合精度分析

继续使用上述10 天的QZSS 广播星历数据，因为QZSS 卫星轨道有IGSO 和GEO 两种轨道，不同轨道类型的拟合结果可能不相同，所以选取轨道误差较大且分别代表不同轨道的卫星J01(IGSO)卫星和J07(GEO)卫星对广播星历进行实验分析. QZSS 广播星历每1 h 发布1 次，每颗卫星1 天内提供24 组轨道参数，为了增加统计量，使用J01 和J07 卫星10 天数据进行统计分析.

使用QZSS 广播星历轨道参数，计算出每个历元前后30 min 时间段内，时间间隔为30 s 的卫星空间3D 坐标，作为真值检核切比雪夫多项式的拟合结果.为了拟合精度评定，需将对应时刻的拟合值与采用轨道参数方法求得的卫星坐标求差，对残差进行统计，用Max、Mean 和Std 作为拟合精度的评价指标. 考虑到切比雪夫拟合法的拟合精度与时间间隔、节点个数和拟合阶数都有关系，下面分两部分进行分析：一是在固定时间间隔下，不同节点个数和拟合阶数对精度的影响；二是在不同时间间隔下，达到所需拟合精度时节点个数和拟合阶数最优组合的变化情况.

3.1 不同节点和拟合阶数下的拟合精度

选用QZSS 系统中J01 和J07 卫星10 天的广播星历数据，在单历元前后各30 min 的时间段内，设节点时间间隔为240 s，则1 h 共有16 个已知点；每30 s设置1 个检核点，则总共有121 个检核点，通过选取不同节点个数和拟合阶数对广播星历进行拟合，并统计X、Y、Z三个方向的拟合误差. 本节共使用了240个参考历元拟合区间，检核点最多时达到29 040 个，分别统计在不同节点个数和拟合阶数下J01 和J07卫星广播星历X、Y、Z方向的拟合误差，J01 卫星的统计情况如表3～5 所示，J07 卫星的如表6～8 所示，需要注意的是节点个数要大于等于拟合阶数，所以表3～8 给出了表格的上三角部分.

表3 X 方向上节点个数与拟合阶数不同组合的拟合误差mm

表4 Y 方向上节点个数与拟合阶数不同组合的拟合误差mm

表5 Z 方向上节点个数与拟合阶数不同组合的拟合误差mm

表6 X 方向上节点个数与拟合阶数不同组合的拟合误差mm

表7 Y 方向上节点个数与拟合阶数不同组合的拟合误差mm

表8 Z 方向上节点个数与拟合阶数不同组合的拟合误差mm

针对J01 卫星分析表3～5，当节点个数为7，拟合阶数为7 时，X、Y、Z三个方向的Max 分别为12.48 mm、12.64 mm 和3.14 mm；当节点个数为10 和13，拟合阶数为9 时，拟合精度指标在三个方向上均小于1 mm；当节点个数为16 时，精度随着拟合阶数的增加迅速提高，拟合阶数为10 时，Max 在三个方向均为小于1 mm；当拟合阶数超过10 时，存在所有拟合误差不同程度上变大的情况，且耗时较长.

表6～8 是切比雪夫拟合法对J07 卫星广播星历拟合精度的统计结果，当节点个数为7，拟合阶数取6 时，三个方向的误差指标都小于1 mm，其中Z方向Max 最小；当节点个数为10 和13，拟合阶数取7 时，Max 达到亚毫米级. 当节点个数为16 时，精度随着拟合阶数的增加迅速提高，拟合阶数为7 时，Max 在三个方向均为小于1 mm；当拟合阶数在8～12 时，拟合精度远小于QZSS 广播星历米级的误差，但随着阶数的增大计算耗时也逐渐增多.

3.2 不同时间间隔最优拟合阶数

固定时间间隔下，拟合节点较多时，随着拟合阶数增大拟合误差减小后增大，因此将三个方向Max 小于1 mm 且拟合阶数最小的拟合阶数定义为该时间间隔下的最优拟合阶数. 继续使用J01 和J07 卫星10 天的广播星历，在参考历元前后30 min区间里，依次设置时间间隔为120 s、180 s、240 s、300 s和360 s，统计两个卫星在最优组合拟合阶数下的拟合精度如表9～10 所示.

表9 J01 卫星不同时间间隔下最优组合的误差统计

由表9 和表10 可得，在固定拟合区间时，不同时间间隔下节点个数不同，当J01 卫星拟合阶数取10 阶和J07 卫星拟合阶数为7 阶的情况下，Max、Mean 和Std 都小于1 mm，满足精度需求. 同时，对比分析J01 和J07 卫星的拟合情况可得，在节点个数相同时，达到亚毫米级精度所需的J07 卫星的拟合阶数小于J01 卫星阶数.

表10 J07 卫星不同时间间隔下最优组合的误差统计

3.3 直接法与拟合法精度和效率对比

为比较直接法和拟合法的精度差异，图1 和图2 给出了J01和J07 卫星在时间间隔为360 s 拟合最优组合时三个坐标方向在240 个参考历元区间内所有检核点拟合法与直接法之间的差值.

由图1 和图2 可知，Z方向的拟合误差小于X和Y方向的拟合误差，但三个方向的拟合误差均小于1 mm，所以拟合法对广播星历的精度影响可以忽略. 由于轨道类型不同，拟合误差的分布也不完全一致，GEO 卫星拟合误差明显具有周期性.

图1 360 s 时间间隔最佳拟合阶数下J01 卫星拟合误差

图2 360 s 时间间隔最佳拟合阶数下J07 卫星拟合误差

在计算效率方面，使用拟合法时，只需将时间参数代入J01 和J07 卫星在X、Y、Z三个方向分别提供一个10 阶和7 阶的切比雪夫多项式计算卫星位置，而直接法计算过程中需要迭代计算. 经统计，J01 卫星使用10 阶切比雪夫拟合法比直接法时间效率提高了15%，J07 卫星使用7 阶切比雪夫拟合法比直接法时间效率提高了24%.

4 结束语

本文首先使用2020 年年积日第118—127 天的QZSS 广播星历数据计算了卫星坐标，然后以精密星历为参考值，使用10 天计算所得的卫星坐标数据评定了广播星历的精度，最后利用切比雪夫多项式拟合法对10 天的卫星坐标进行拟合，得出以下结论：

1)在空间大地坐标系中，广播星历在X、Y、Z方向的Max 都小于7 m，Mean 不大于2.5 m，Std 最大值为1.728 m. 卫星轨道坐标中，N方向误差大于R和T方向误差. 总之，GEO 卫星的广播星历误差大于IGSO 卫星，且所有卫星误差均处于米级.

2)在固定时间间隔时，不同节点个数下拟合精度小于1 mm 的最优拟合阶数不完全相等；节点个数较多时，拟合阶数过低或过高拟合误差都大于最优拟合阶数的拟合误差. 当拟合区间固定时，不同时间间隔的最优拟合阶数变化不大. 相同拟合条件下，GEO卫星的最优拟合阶数小于IGSO 卫星的最优拟合阶数. 当三个方向的拟合误差均小于1 mm 时，X和Y方向的拟合误差大于Z方向的拟合误差.

3)最优拟合阶数下切比雪夫拟合法的拟合误差不大于1 mm. 与直接法相比，运算效率也有所提高.因此，最优拟合阶数的切比雪夫拟合法可作为一种QZSS 广播星历计算卫星坐标的方法.