双均值逼近屈服准则解析含腐蚀缺陷管道爆破压力

邓 磊， 章顺虎， 覃诗卉， 刘欣滢

(苏州大学 沙钢钢铁学院，苏州 215021)

1 引 言

随着现代工业的迅速发展，管道在石油和天然气的运输中起着重要作用。随着我国西气东输和川气东送等重大工程的实施，各大单位对管道的技术要求也越来越严苛，既希望可以提高管道的安全性，同时也期望尽可能发挥材料的承载能力以节省材料。因此，准确预测管道的爆破压力对于管道的选材、结构设计以及安全评估具有重要意义。

需要指出的是，长时间服役的管道，将不可避免地会出现腐蚀缺陷，使得自身承载能力下降。在此方面，国内外开展了不少关于腐蚀管道极限压力的研究工作。Kiefner等[1]通过一系列的试验研究，提出了一种评估含腐蚀缺陷管道爆破压力的方法。其后，以Kiefner的研究为基础，美国标准协会[2]率先建立了评估含腐蚀缺陷管道爆破压力的准则，即ASME B31G准则。然而，在实际应用中发现，ASME B31G准则所预测的爆破压力远小于实际压力，预测保守。为此，Cunha等[3,4]导出了受内压作用的含腐蚀缺陷管道爆破压力的解析解。但由于忽略了管材的应变硬化效应，导致预测精度仍然不足。Ma等[5]考虑材料的应变硬化指数，基于Mises屈服准则获得了适用于含缺陷高强度钢的爆破压力解析解，但该解析解高于实验结果。

随着计算机技术的快速发展，有限元模拟因其具有解决复杂问题的能力得到广泛应用。Yang等[6]使用有限元法模拟出了含沟槽形缺陷管道爆破压力的数值解。该数值解与实测值较接近，具有一定的精度。Yeom等[7]利用非线性有限元法模拟了包含单个腐蚀缺陷的管道，建立了爆破压力的评估方程。与试验结果比较发现，该评估方程具有较高的预测精度。罗懿[8]借助ANSYS Workbench软件，模拟了含有不同形状缺陷管道的等效应力，分析了缺陷参数对管道失效压力的影响。然而，需要指出的是，以上有限元模拟只能给出具体材料与结构参数下爆破压力的数值解，难以拓展到其他情况。

综合以上研究可见，含腐蚀缺陷管道的研究主要集中在数值模拟上，为数不多的解析研究还不能满足精度的要求。为此，本文拟建立一个逼近非线性Mises屈服准则的线性屈服准则，并利用该准则进行塑性极限分析，以期导出一个较为合理的爆破压力解析解。

2 双均值逼近屈服准则

2.1 新轨迹的几何描述

在π平面上，如图1所示，Mises轨迹是一个圆，Tresca为圆的内接正六边形，TSS轨迹为圆的外切正六边形。由于对称性，将其中的1/12进行局部放大，可得误差三角形OB′B，如图2所示。可以看出，上述准则的偏差应力矢量在OB′共线且模长相等，在OB上共线但模长不等。图2中，B′F和B′B分别为Tresca轨迹和TSS轨迹的边，而OF和OB′分别为Tresca轨迹和TSS轨迹的边心距。对其边和边心距的均值同时逼近，则可确定新的屈服边长B′E与边心距OI。根据这一设想，可以建立如下方差形式的数学表达式。

(1)

(2)

图1 π平面上的双均值屈服轨迹

图2误差三角形内的双均值屈服准则

(3)

x=B′E=0.415σS

(4)

于是，OE,DE,OI,EF以及∠FB′E,∠OB′E,∠OEB′,∠B′OI可确定为

(5)

(6)

由式(5,6)可知，新轨迹是一个边长为0.415σS的等边非等角十二边形，6个内接顶角为140.71°，另6个伪内接顶角为159.29°。

新轨迹与Mises弧在E点与I点的误差分别为

(7)

同时，新轨迹的周长和面积与Mises圆相比，相对误差分别为

(8)

由此可见，新轨迹居于Tresca轨迹与Mises轨迹之间，从内侧靠近Mises圆。

图3 σ1在π平面上的投影

2.2 新准则的数学表达式

根据主应力σ1在π平面上的投影关系[9]，如图3所示，可得

(9)

假设A′E满足式(10)，即

σ1-a1σ2-a2σ3-c=0

(10)

当材料屈服时有c=σs，a1+a2=1，将式 (9)代入式(10)可得

a1=0.191，a2=0.809

(11)

于是，式(10)可确定为

(12)

同理，轨迹B′E可确定为

(13)

式(12,13)即为新准则的数学表达式，称为双均值逼近屈服准则，或简称为DM屈服准则。该准则表明，若应力分量σ1，σ2和σ3按系数1，0.191，0.809 或0.809，0.191，1进行线性组合，则材料发生屈服。

2.3 屈服准则的验证

当约定σ1≥σ2≥σ3时，为评价中间主应力的影响，Lode[10]引入的应力参数表达式为

μ=(2σ2-σ1-σ3)/σs

(14)

将式(14)分别代入Tresca,Mises,TSS以及DM屈服准则，可得其相应的Lode应力参数转换式为

(15，16)

(17)

(18)

利用转换式(15～18)，并结合已有的实验数据[10-13]，可得图4所示结果。可以看出，Tresca屈服准则为实验数据的下界，而TSS屈服准则为上界；DM屈服准则介于TSS准则与Tresca准则之间，位于Mises准则下方。总体而言，DM屈服准则与实验数据较一致，提供了较为合理的中间结果。

图4 屈服准则实验结果对比

3 管道爆破压力

3.1 材料硬化模型

当管道受内压作用而超过屈服强度时，管道进入塑性状态。继续加压，管材发生应变硬化，管道的承载能力提高；同时，壁厚变薄，又使承载能力下降。当内压达到一定值后，管道将发生爆破，此时的极限内压力称为爆破压力。对此情况，通常使用幂律应变硬化曲线来描述管道的应力-应变关系[14,15]

σ=Kεn,K=(e/n)nσT

(19)

式中σ为单向拉伸时的真应力，ε为单向拉伸时的真应变，K为强度系数，σT为抗拉强度，n为应变硬化指数，e=2.71828为自然对数。

屈强比(σY/σT)，即材料的屈服强度与抗拉强度的比值，决定材料的应变硬化指数。Zhu等[16]曾给出各种不同管材的拟合表达式，即

(20)

式中σY为屈服强度，σT为抗拉强度。

3.2 爆破压力

假设某一无缺陷且两端封闭的薄壁长管道，承受内部压力，其主应力可表示为[17]

(21)

式中θ，r和z代表管道的周向、径向以及轴向；D为管道瞬时直径，t为瞬时壁厚，P为管道内压。将式(21)代入式(12)，可得基于DM屈服准则的等效应力为

(22)

对应的管道主应变可表示为

(23)

式中D0和t0分别为管道初始内径和初始管壁厚度。在塑性变形时，满足体积不变条件，即ε1+ε2+ε3=0，则由式(23)可得

(24,25)

根据Hill塑性功假设[18]有

(26)

将式(22)代入式(26)得

(27)

将式(27)代入式(25)得

(28)

由式(19,22,28)可得

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

式中f为缺陷几何形状和材料的函数，L为缺陷长度,C≈-0.157[19]，R=D/2为管道半径。

联立式(20，33，34)，腐蚀管道爆破压力的表达式为

(35)

从式(35)可看出，当缺陷深度比d0/t0=0时，Pd与式(30)表示的Pb相同。

3.3 对比与验证

为了验证式(35)的合理性，对比文献[5]含腐蚀缺陷X70管道的模拟结果，其中材料参数、管道几何参数以及缺陷参数列入表1。对比结果如图5所示。

表1 X70管道的几何参数和缺陷参数Tab.1 Geometirc defect and defect parameter for X70 pipeline

图5 本文爆破压力与模拟值的比较

式(35)预测的爆破压力与爆破压力模拟结果较接近，且最大误差不超过10.11%，具有较高的预测精度。

为进一步验证，也将式(35)的预测结果与已有关于X80和X100两种管线材料的实验结果[5]作了对比。同时，为反映不同屈服准则的影响，也给出了按照本文推导方法得到的Tresca准则预测值和TSS准则预测值。以表2为两种实验材料的实验条件，表3为实验值以及不同准则计算值的对比结果，其中ΔTSS，ΔTresca和ΔD M分别表示3准则计算值与实验值的相对误差。

由表3可知，使用TSS屈服准则得到的管道爆破预测值普遍偏大，而使用Tresca屈服准则的预测值则偏小。使用本文提出的DM屈服准则所得的预测值不仅介于TSS和Tresca之间，而且更加靠近实验结果，最大误差不超过12.7%，可见双均值逼近屈服准则在实际应用中具有较大的应用潜力，对于求解其他金属结构件的力学参数具有参考意义。

表2 X80和X100管线爆破实验条件Tab.2 Experimental conditions of the burst tests for X80 and X100 pipelines

表3 实验值与不同准则预测值的比较Tab.3 Comparison between the predicted value and the experimental one

4 结果与讨论

图6为式(30)在σT=614 MPa下确定的爆破压力。可以看出，当t0/D0不变时，管道的爆破压力随σY/σT的增大而增大；当σY/σT不变时，管道的爆破压力随t0/D0的增大而增大。

图6 爆破压力与σY/σT和t0/D0的关系

图7 爆破压力随径厚比与屈强比的变化规律

5 结 论

(1) 建立了双均值逼近屈服准则，其表达式是主应力分量的线性函数，其轨迹介于Tresca轨迹与TSS轨迹之间。在π平面上，双均值逼近屈服准则是一个边长为0.4150σS的等边非等角十二边形，顶角分别为140.71°和159.29°。通过对比发现，该屈服准则的预测结果与实验数据吻合较好，给出了较为合理的中间结果。

(2) 基于双均值逼近屈服准则对管道进行塑性极限分析，导出了含腐蚀缺陷管道的爆破压力解析解。与已有实验数据对比表明，该解析解预测的爆破压力与实验实测数值吻合较好，最大误差不超过12.7%。

(3) 影响参数的定量分析表明，爆破压力随屈强比(σY/σT)的增加而增加，随缺陷深度比(d0/t0)的增加而降低。