基于阻抗法的径向均压槽气浮支承承载力研究*

夏巨兴 于普良 胡 回 姜 庆 鲜小东

(1.武汉科技大学冶金装备及控制教育部重点实验室 湖北武汉 430081;2.武汉科技大学机械传动与制造工程湖北省重点实验室 湖北武汉 430081;3.武汉科技大学精密制造研究院 湖北武汉 430081)

气浮支承具有工作精度高、无磨损等特点，已经被广泛应用于精密测量设备、精密机床及光刻机等制造装备中[1-3]。目前，研究气浮支承的方法主要包括解析计算和数值模拟。解析计算[4-7]使用方便，但求解精度不足，数值模拟[8-10]求解精度高但计算规模大，求解时间长。如何快速获取气浮支承力学性能并应用于工程设计已成为气浮支承的重点研究方向。

LI和DING[11]提出一种多孔气浮支承简化计算方法，从理论上解释了气浮支承各参数之间的相互关系。HUANG等[12]提出一种迭代算法来分析真空预加载多孔气浮支承静态特性，该算法可减小有限差分法的迭代步数。于普良等[13]利用CFD研究了椭圆截面均压槽对气浮支承静态特性影响，杨涛等人[14]通过建立气膜压力分布等效电路模型来计算阵列节流器气膜承载力。李加福、CHENG等[15-16]利用阻抗法分析多微通道气浮支承的承载特性，利用实验来验证其方法的可靠性。CHEN等[17-18]利用网络阻抗法和牛顿迭代法分析了矩形气浮支承的静、动态特性。

综上，目前国内外对于表面布置均压槽结构气浮支承承载力的计算方法较为复杂、计算效率低。为此，本文作者提出了阻抗法来简化气浮支承承载力的计算，通过建立径向均压槽气浮支承阻抗模型来求解其承载力，研究均压槽结构参数对气浮支承阻抗模型的影响，为简化气浮支承计算并应用于工程设计提供参考。

1 阻抗模型

1.1 气浮支承物理模型

气体轴承采用小孔节流，并增加均压腔节流，同时在气膜表面布有均压槽节流，径向方向截面为扇形，周向方向截面为矩形，其结构如图1所示。

图1 气浮支承结构示意Fig 1 Schematic of aerostatic bearing

供气压力ps通过半径为Rt，长为ht的小孔节流器后,在节流孔末端产生压降pd。气体沿均压腔径向扩散，均压腔中形成压力pd1，均压腔半径为Rp，深为hp。pd1沿着径向槽和支承面径向方向扩散，在均压槽末端处形成压力pd2，均压槽的槽半径为Rg，均压槽高度为hg，均压槽的数量为n,pd2沿着均压槽以外区域的气膜的径向方向逐渐降低，直至气浮支承出口压力变为环境压力pa,其中气膜厚度为hf，轴承外径为Rf。

1.2 阻抗模型的提出

流体流过节流器时，节流器对流体会产生阻抗。因此，在设计节流器时要确定各节流器阻抗大小，使之与静压系统阻抗相匹配。在电路中存在欧姆定律，在气路中也存在类似规律，其关系式如下：

(1)

式中：Rex为气体阻抗；Δp为气体流过节流器两端压力差;q为体积流量。

根据矩形均压槽气体轴承结构，可将气体轴承分为小孔、均压腔、等效均压槽及气膜等四部分，每一部分建立其阻抗模型。在不考虑节流器中气体的周向运动的前提下，径向均压槽气浮支承的阻抗分布如图2所示。

图2 气浮支承阻抗分布Fig 2 Impedance distribution of aerostatic bearing

图2中R1为节流孔阻抗，R21～R2n相等，R31～R3n相等，R41～R4n相等。

1.3 气浮支承阻抗模型的建立1.3.1 节流孔阻抗的建立

根据气体理论力学,气体流过小孔可认为是等熵流动，气体流过节流器间隙视为等温流动。根据小孔流动假设，流过小孔的质量流量可简化[4]为

(2)

式中:φ为流量函数;k为等熵指数，对于空气而言，k=1.4;Cd为小孔的流量系数;A为节流孔截面积;p为气体压力；ρ为气体密度。

对于不可压缩流体，质量流量计算公式[4]为

(3)

体积流量计算公式为

(4)

式中：α为膨胀系数；Δp为节流孔前后压力差。

对于不可压缩流体ρ为常数，α值为1。

对于理想气体状态方程如下：

p=ρRT

(5)

式中：R为气体常数；T为温度。

将气体视为等温、绝热流动状态，流过节流孔的体积流量可简化为

(6)

故节流孔阻抗为

(7)

1.3.2 均压腔阻抗的建立

对于圆形气浮支承，其压力p与θ和z无关,故压力与半径关系[1]为

(8)

对式(8)进行积分，由边界速度条件便可得气体流动速度表达式：

(9)

由式(9)可得均压腔向外流动的体积流量：

(10)

(11)

故均压腔的阻抗为

(12)

1.3.3 等效均压槽区域阻抗的建立

均压槽布置在气膜表面改变了气膜表面压力分布，同时也给求解气膜表面压力分布带来困难。在求解带有均压槽的气膜压力分布，文中采用将气膜分块的方法。以均压槽末端为划分边界，将气膜划分为两部分，有均压槽区域气膜和无均压槽区域气膜。将均压槽和有均压槽区域气膜进行等效处理，求解等效均压槽的阻抗。等效均压槽的质量流量为m，流过有均压槽下方气膜区域的质量流量为m1，流过均压槽的质量流量为m2。由气体流入流出质量守恒知：

m=m1+m2

(13)

利用边界条件：r=Rp处p=pd1和r=Rg处p=pd2,可求得m1的质量流量：

(14)

同理可推导出流过均压槽的质量流量m2的表达式。根据式(13)可推导出：

(15)

由式(15)得等效气膜he的表达式：

(16)

等效均压槽体积流量表达式如下：

(Rp≤r≤Rg)

(17)

故均压槽等效阻抗为

(18)

1.3.4 气膜阻抗的建立

由边界速度条件可求得均压槽以外区域的气膜的体积流量：

(Rg≤r≤Rf)

(19)

均压槽以外区域气膜阻抗的表达式：

(20)

1.4 气浮支承阻抗模型承载力的计算

气体经过各节流器后在气浮支承间隙间流动，节流器间各节点的压力和阻抗关系可用图3表示。

根据流体静压原理及电学欧姆定律知：

(21)

由式(21)可得节流孔的出口压力:

(22)

则均压腔和等效均压槽出口压力：

(23)

(24)

利用阻抗模型求解承载力，需要求出气体流过各节流器的压力分布，利用压力在承载面积上积分求解气浮支承承载力，气体流过各个节流器其压力分布如图4所示。

图4 气浮支承压力分布Fig 4 Aerostatic bearing pressure distribution

图4中p2、p3表达式为

(25)

根据径向均压槽气浮支承压力分布及边界条件可推导出承载力表达式为

(26)

对式(26)化简得：

(27)

(28)

式中：s1，s2分别为等效均压槽和气膜的有效节流面积;Rza和Rzb为系统的阻抗比。

2 阻抗模型理论验证及结果分析

2.1 阻抗模型承载力验证2.1.1 矩形截面均压槽模型的验证

利用阻抗模型求解了气浮支承承载力，为验证阻抗法所求的承载力的准确性，同时利用CFD求解了相同结构参数下的气浮支承承载力，比较2种方法所得结果。气浮支承的主体结构参数如下：Rt=0.1 mm，ht=0.3 mm，Rp=2.5 mm，hp=0.1 mm ,Rf=50 mm。均压槽结构参数如下：Rg=35 mm，hg=0.1 mm,θg=4°,n=4。ps分别为0.3和0.5 MPa，pa=0.1 MPa，hf为10～40 μm。由于文中对流量函数进行了简化处理，当hf低于10 μm及hf为10～40 μm时，流量函数中分别加入0.41和0.62的修正系数。利用阻抗模型所计算的结果与CFD数值仿真的结果对比如图5所示。

由图5可知，利用阻抗法求解出的承载力与CFD数值仿真方法求解出的承载力具有较好的一致性，承载力随气膜厚度增大而逐渐减小，最后趋于平稳，且误差逐渐减小。当ps为0.3 MPa时阻抗法所得结果与CFD数值仿真结果最大误差为7.43%。当ps为0.5 MPa时其最大误差为4.23%，总体误差均在允许范围内，说明利用阻抗模型计算气浮支承承载力是具有可行性的。

图5 不同供气压力下的有均压槽气浮支承承载力对比Fig 5 The bearing capacity comparison of aerostatic bearing with pressure groove under different air supply pressure (a) ps=0.3 MPa;(b) ps=0.5 MPa

2.1.2 三角形截面均压槽模型验证

为验证文中所建立的阻抗模型对其他截面形式均压槽具有通用性，以三角形截面均压槽为例，利用公式(13)—(15)的方法推导三角形截面均压槽的等效气膜厚度：

(29)

三角形截面均压槽等效阻抗：

(30)

利用上述同样方法可求出三角形截面均压槽气浮支承的承载力。选择验证的气浮支承主体结构参数与上述相同，均压槽的结构参数如下：Rg=35 mm，hg=0.1 mm,θg=6°,n=4。ps为0.5 MPa，pa=0.1 MPa，hf为10～40 μm。流量函数的取值与上述相同，利用阻抗模型所计算的结果与CFD数值仿真的结果对比如图6所示。

图6 三角形截面均压槽气浮支承承载力对比Fig 6 The bearing capacity comparison of aerostatic bearing with triangle section pressure groove

由图6可知，利用阻抗模型计算三角形截面均压槽与CFD数值仿真的结果具有较好的一致性，说明文中所建立阻抗模型对其他截面形式均压槽仍然具有适用性。

2.2 阻抗模型的适用性验证

为验证阻抗模型对无均压槽具有普适性，文中采用文献[10]中气浮支承模型，将阻抗模型和CFD数值仿真得出数据与之进行对比分析。文献[10]所研究的气浮支承模型如图7(a)所示，节流孔直径dt为0.2 mm，节流孔长度L为1 mm，均压腔的直径dp为2 mm，均压腔高度hp为0.1 mm，轴承外径为Rf为90 mm，气膜厚度hf为4～22 μm。进气压力ps为0.6 MPa，外部环境压力pa为0.1 MPa。图7(b)为分别采用阻抗法和CFD数值仿真得到气浮支承承载力对比图，可以发现利用阻抗法和CFD数值仿真方法计算出承载力与文献实验中得出的数据具有一致性，CFD数值仿真方法结果与文献[10]的仿真结果和实验数据最大误差分别为4.24%和3.36%，阻抗法的结果与文献[10]的仿真结果和实验数据最大误差分别为9.81%和7.41%。由此可说明，文中所提出的阻抗模型对无均压槽模型也适用。

图7 气浮支承结构示意和承载力对比Fig 7 Schematic of aerostatic bearing structure (a) and bearing capacity comparison (b)

2.3 阻抗模型的计算效率

分别利用阻抗法和CFD数值仿真计算以上3种气浮支承模型，其计算时间对比如表1所示。

由表1可知，利用阻抗法计算3种不同气浮支承模型的时间远远小于CFD计算时间，故利用阻抗法来求解气浮支承的承载力可大大缩减其计算周期。

2.4 阻抗模型结果分析

为探究均压槽结构参数变化对气浮支承阻抗模型的影响，以矩形截面均压槽为例，分析不同均压槽深度、角度及半径等参数对阻抗模型的影响。

2.4.1 均压槽深度对阻抗模型的影响分析

取Rg=35 mm，θg=4°，n=4，ps=0.5 MPa，其他结构参数不变，hg分别为0.02、0.04、0.06、0.08、0.1 μm时，探究均压槽深度对阻抗系数的影响，结果如图8所示。可知，当均压槽深度一定时，阻抗系数随气膜厚度增大而逐渐减小；当气膜厚度在10～18 μm时，均压槽深度增大，阻抗系数增大；当气膜厚度高于18 μm时，均压槽深度增大，阻抗系数逐渐减小。由公式(18)可知，均压槽深度增大，阻抗R3减小，阻抗比Rza增大，Rzb减小；由公式 (28)可知，阻抗系数取决于Rza、Rzb及有效节流面积的大小，而承载力取决于阻抗系数的大小。故当气膜厚度较小时，减小阻抗R3可提高系统阻抗系数，进而提高承载力。

图8 均压槽深度对阻抗系数的影响Fig 8 The influence of the depth of pressure groove on impedance factor

2.4.2 均压槽半径对阻抗模型的影响分析

取hg=0.1 mm，θg=4°，n=4，ps=0.5 MPa，其他结构参数不变，Rg分别为5、15、25、35 mm时，探究均压槽半径对阻抗系数的影响，结果如图9所示。可知，当均压槽的半径一定时，阻抗系数随气膜厚度增大而逐渐减小;当气膜厚度在10～25 μm时，均压槽的半径增大，阻抗系数先增大后减小；在气膜厚度为10 μm，均压槽半径为25 mm时，阻抗系数能取到最大值。由公式 (18)、 (20)及 (28)可知，均压槽半径增大，Rza、Rzb及对应的节流面积发生变化，所对应的阻抗系数存在最佳值使得气浮支承获得最大承载力。

图9 均压槽半径对阻抗系数的影响Fig 9 The influence of the radius of pressure groove on impedance factor

2.4.3 均压槽角度对阻抗模型的影响分析

取hg=0.1 mm，n=4，ps=0.5 MPa，Rg=35 μm,其他结构参数不变，θg分别为2°、4°、6°、8°、10°时，探究不同均压槽角度对阻抗系数的影响，结果如图10所示。可知，当均压槽角度一定时，阻抗系数随气膜厚度增大而逐渐减小；当气膜厚度一定时，不同均压槽角度对阻抗系数影响较小。由公式 (18)、(28)知，均压槽角度增大，阻抗R3增大，但对阻抗比Rza、Rzb影响较小，故对阻抗系数影响较小，进而对其承载力影响较小。

图10 均压槽角度对阻抗系数的影响Fig 10 The influence of the angle of pressure groove on impedance factor

3 结论

(1)提出一种计算气浮表面布置径向均压槽的气浮支承承载力的阻抗模型，与CFD数值仿真相比，简化了气浮支承承载力的计算过程，提高了计算效率。

(2)提出一种阻抗模型适用表面布置径向槽结构模型，同时也适用于无均压槽模型。

(3)在气膜厚度较小时,气浮支承表面布置均压槽结构可减小等效均压槽的阻抗，能提高节流系统的阻抗系数，进而可有效提高气浮支承的承载力。此外，均压槽深度、半径对系统的阻抗系数影响较大，均压槽角度对其影响不明显。