把脉方程与不等式问题中的易错点

文／张田田

方程与不等式是刻画现实世界数量关系的有效模型，反映的是数学中“相等”与“不等”两种基本的数量关系，是解决数学问题和生活实际问题的有力工具，是中考考查的重要内容。在做题的过程中，不少同学觉得，有的题明明会做，可还是错了；有的题看着挺眼熟，可就是不知如何下手……接下来，本文从中考中寻找易错的题型，抓住考查的要点，揭秘方程与不等式易错题背后的错因。

例1解方程：x（x-7）=8（7-x）。

【典型错误】方程两边同时除以（x-7），得x=-8。

【错因分析】运用等式的基本性质，等式两边同除以一个不为零的数或式子，但除以（x-7）时未考虑x-7=0的情况，所以方程“失”去了一个根。

【正解】x（x-7）-8（7-x）=0，

（x-7）（x+8）=0，

x-7=0或x+8=0，

所以x1=7，x2=-8。

【点评】解一元二次方程时，若方程有实数根，一定有两个（相等或不相等）实数根。如遇到x（x-7）=8（7-x）这种形式的方程时，不能两边同除以（x-7），而应先移项、再提公因式，一边因式分解为两个一次因式的乘积，另一边是0，谨防失根的情况出现。

例2解方程

【典型错误1】方程两边同时乘（x+1）·（x-1），得2（x-1）+1=x（x+1）。

方程无解。

【典型错误2】方程两边同时乘（x+1）（x-1），得2（x-1）+（x+1）（x-1）=x·（x+1）。

解得x=3。

【错因分析】根据等式的基本性质，方程两边同时乘最简公分母（x+1）（x-1），应乘方程的每一项，而“典型错误1”中的常数项1没有乘（x+1）（x-1），与原方程不是同解方程。“典型错误2”是没有将求出来的根进行检验，不确定其是否为增根，这样解出的根可能导致分母为0。

【正解】方程两边同时乘（x+1）·（x-1），

得2（x-1）+（x+1）（x-1）=x（x+1）。

解得x=3。

检验：当x=3时，（x+1）（x-1）≠0。

所以，原方程的解为x=3。

【点评】由于解分式方程需要去分母，转化为整式方程求解，所以可能会产生增根，因此需要进行检验。同时，应用等式基本性质时，不要漏乘。碰到类似题目时，一是不要图快而遗漏，二是一定要记得检验。

例3以下是圆圆解不等式组的解答过程：

解：由①，得2+x＞-1，所以x＞-3。

由②，得1-x＞2，所以-x＞1，

所以x＞-1。

所以原不等式组的解是x＞-1。

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程。

【错因分析】在去括号的过程中，需要与括号里的每一项相乘，所以解不等式①不对；不等式两边同时除以-1时，不等号的方向要改变，所以解不等式②不对。

【正解】圆圆的解答过程有错误。

正确过程如下：由①，得2+2x＞-1，

∴2x＞-3，

由②，得1-x＜2，

∴-x＜1，∴x＞-1。

∴不等式组的解集为x＞-1。

【点评】解不等式时，两边同乘负数，不等号的方向要改变；不等式组的解集可以借助“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”，也可以画数轴求解。

例4已知关于x的一元二次方程x2-mnx+m+n=0，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）。

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

【典型错误】C或D。

【错因分析】虽然根据数轴可以判断m、n的符号，但是不一定联想到m+n、mn的符号，从而不能判断根的判别式。也有同学直接去求方程的根，但随后却无从下手。

【正解】由数轴，得m＞0，n＜0，m+n＜0，

∴mn＜0，

∴b2-4ac=（-mn）2-4（m+n）＞0，

∴方程有两个不相等的实数根。故选A。

【点评】判断一元二次方程根的情况，我们首先想到根的判别式，然后根据题目所给条件进行判断。