平行圆柱面导热形状因子的保角变换法

师晋生，张巧珍

(1. 天津科技大学 机械工程学院，天津 300222；2. 天津科技大学 理学院，天津 300475)

热传导在传热工程学中是一个最基本的传热问题，在计算传热过程的热流量时，导热环节经常以导热形状因子的形式出现在算式中，使用导热形状因子可使传热计算过程更加简单明了从而得到广泛应用[1，2]. 在圆柱形表面参与的热交换中，圆管内外表面各自维持一个恒定温度而发生的稳态导热是有关圆柱面导热的最基础的问题，而由同心圆柱面衍生出的偏心圆管内外表面间的导热、两平行圆管表面通过它们之间介质的导热、地下水平埋管表面与地面间的导热则是传热学的一类经典问题[3-5]. 这三种情况的导热问题在实际工程里都有大量应用，如圆管表面的保温材料覆层的偏心现象、冷热管道在地面下的平行敷设、地下水平埋设的热力管道或电缆等，以上观点得自于大量的传热及过程工业的书籍及手册. 这3种情况下的稳态导热的热流量的计算早已得到研究，但相关过程讲解的都是以热源法进行[3-6]，其他则大多只是列出导热形状因子[7，8]，如何得来则付之阙如，给传热学爱好者带来困惑，对此类问题的研究也有用摄动法进行[9]情形，这提供了另一种方法.

在复变函数的保角映射里，实际情形下的平面系统里进行的符合拉普拉斯方程的物理过程，可以转换到辅助平面里且过程性质不变，边界上的第一类边界条件也保持不变. 这一特点给包括电学[10，11]和热学在内的很多物理问题的解决提供了便利，一旦实际的复杂几何形状可以变换为简单几何形状，就有可能利用简单几何条件下的已有结果，反推而得到实际的复杂几何条件下的物理问题的解.

本文关注稳定状态下两个表面各自维持等温不变的偏心圆筒壁面之间、两平行圆柱面之间、埋地圆管与地面之间的导热与同心圆管内外表面之间导热的相似性. 图1示出了3种实际工程存在的传热问题，注意到图中所示(a)、(b)、(c)3种情况都属于两个平行而不同轴的圆柱形表面之间的导热，对(c)来说，地面可当作半径为无限大的圆，因而埋管与地面之间的导热也可当作两个不同心圆面间的导热. 因此，这3种情况都可以采用保角映射变换成两个同心同轴圆柱表面，从而可以利用后者现成的结果，将辅助平面与实际平面间的关系回代，就得到与文献中相同的结果. 用保角映射解决这类问题，与文献中对相同问题的研究相比，方法殊途而结果同归，可为这类问题的研究拓广思路.

下边针对实际问题的几何圆面，先寻找公共对称点，再利用分式线性映射，将两个不同心的圆面变换成辅助平面的同心圆面. 再将实际平面与辅助平面的几何关系代入同心圆面导热的结果里，得到三种实际问题稳态导热的结果.

1 导热模型

对图1所示3种实际传热问题作以下简化：1)两圆柱面在轴线即长度方向上平行而不同心；2)沿圆管轴线方向的导热可忽略不计，因而这里的传热就简化为沿轴线任一横截面上的两个圆之间的导热；3)传热过程在稳态、无内热源、各向同性、换热两表面各自维持均匀等温的条件下进行.

图1 3种实际导热模型

1.1 圆面的公共对称点

任一圆面都有无穷多对关于其表面的对称点，两个圆面则只在其圆心连线上有一对对称点，图1中以小点示意性表示. 图1(a)中的对称点，一个在两个圆面内，一个在两个圆面外边；(b)中两个圆面内各有一个对称点；对(c)情况，一个对称点在圆面内，另一个在直线表面一侧无穷远处，此直线表面即是半径为无穷大的圆面. 求两个圆面对称点的做法是一样的，下面以图1中(a)为例，推导对称点的共同求法，得到实际平面内圆面与辅助平面内变换后圆面的几何关系.

图1(a)及变换后的图形示于图2，内外圆面及半径分别以C1、C2和R1、R2表示，R1

图2 变换后模型

按其几何关系，有下式：

(1)

(2)

对于图1(b)的情况，一个对称点在C1内，另一个对称点在C2内，都在x轴上，因而也有上述关系. 解上述方程可得

(3)

(4)

即在复平面z内，点z1(x1,0)和z2(x2,0)就是这两个偏心圆面C1和C2的共同对称点. 采用分式线性变换将平面z向复平面w变换：

(5)

这一变换将z平面上每一点都一一对应地转换成w平面上的点，具有保圆性，即将z面上的圆转换成w面上的圆，只是圆心和半径会发生变化. 通过这一变换，当在z平面上分别取点z=x1和x2时，在w平面上得到0和∞，即变换后的两个圆都以坐标原点和无穷远点为对称点，这表明两个圆都以坐标原点为圆心，从而成了两个同心圆，C1对应着C′1，C2对应着C′2，如图2(b)所示.

1.2 两同心圆面的半径

在z平面的圆C1上取一点z=R1，变换后落在w平面的圆C′1上，其坐标为

于是，圆C′1的半径即为该点坐标的模：

(6)

同理，在C2上取一点z=L+R2，变为w平面上圆C′2上的点：

于是，C′2的半径为

(7)

1.3 稳态导热的求解

在z平面内，温度是z坐标的调和函数，在圆C1上温度保持为t1，在圆C2上温度保持为t2. 变换到w平面后，温度则成了w坐标的调和函数，两个边界圆面C′1和C′2则保持原象圆面C1和C2上的温度不变. 因此在w平面上的导热方程及其边界条件为

(8)

|w|=R′1∶t=t1, |w|=R′2∶t=t2

(9)

在w平面上，导热成为两个等温同心圆面稳态径向的一维导热，因此，在两圆面之间的温度分布为

两圆柱单位长度壁面之间的传导热流量为

(10)

式中λ为两圆柱面之间介质的导热系数. 将上式中的R′1和R′2用z平面的相应半径表达，有

(11)

则式(10)成为

(12)

2 形状因子及其应用

2.1 形状因子

取单位长度做为基准，分别得出三种情况下的导热形状因子.

1) 偏心圆筒壁

由式(12)直接得到

(13)

2) 两平行圆柱面

此时，两圆圆心距与其半径的关系为L>R1+R2，式(11)中分子上的L和R前的符号反向，所以其形状因子为

(14)

3) 地面下水平埋管

此时，C1圆柱面不变，C2圆柱面半径趋于无穷大，C1圆心与地面距离为

H=R2-L

(15)

H保持不变，则有

L=R2-H

(16)

当R2趋于无穷时，L也同步趋于无穷，故

(17)

(18)

(19)

式(13)、(14)表达了两个圆面之间的距离及管径对传热的影响，式(18)表达了水平埋地圆管的埋深及管径对传热的影响. 根据实际情况，需要增大传热时，应调节相关参数使形状因子增大，反之则应使其减小.

2.2 实际应用

在实际当中，当一偏心圆筒内外壁面温度、或两个埋设于无限大固体介质中的平行圆管外壁面温度、或埋设于地面下的圆管外壁面及地表面的温度都各自保持均匀不变，管长为l时的热流量可用下式计算：

Q=SλlΔt

(20)

Δt为两传热表面间的温度差.

当传热计算的已知条件不是给出两个圆表面的温度这样的第一类边界条件，而是第三类边界条件时，对偏心圆管则管内外流体介质温度及对流传热系数要已知，对埋设于无限大介质中的两个平行圆管，则两圆管内的流体介质温度和传热系数已知，对埋设于地面下的水平圆管则是管内流体介质温度及传热系数已知，地面上空气温度及与地面的传热系数已知，在这种情况下，总的传热热流量为

Q=KAmΔt

(21)

式中K为总传热系数，Am为选定的传热面积，Δt为两个圆柱面里流体介质的温度差. 此时有

(22)

式中，α1、α2、A1和A2分别为两个圆柱面里的对流传热系数及圆筒壁面的面积，此时导热形状因子是作为热量传递路途上的一个热阻.

3 结语

三种实际工程中的导热问题看似迥然不同，而在保角映射的观点看来，却有本质上的相似性. 本文以其中的偏心圆管内外表面导热为代表，展示了对这种问题采用保角映射进行求解的过程，得到了各自的导热形状因子，利于传热爱好者对类似问题的探索. 在实际工程应用中，导热形状因子作为传热过程的一个环节，嵌进传热过程计算式十分方便.