倾听思考的声音

黄振华

【摘 要】数学思考作为数学教学的内核，是源于过程性的知识和方法，但又高于知识和方法的具有本质属性的活动过程。教学中对学生数学思考的重视与有效培养，可以帮助学生奠定真正的数学学习基础。小学数学教材中设计了大量需要学生思考的活动，数学教师应该引领学生充分感悟数学思考的力量，培养其一生的思考习惯。

【关键词】数学思考 内涵 教学建议

数学学习是从解决问题开始的，但更重要的是起步后持续的思考过程。可以说，没有数学思考，就没有数学学习。数学思考类似于数学本体与头脑本体的和谐互动，透过数学思考的“头脑泵”，学生训练自己的数学头脑肌肉，构建自己的数学头脑网络，架构自己的数学头脑模型，并在恰当的时候展示出数学思考带来的价值和魅力。数学思考指向了学生头脑深处最需要学习和磨炼的区间，它构建了学生数学学习和操练的路径属性，使数学学习变得绵长而深刻，使学数学的人更立体而充实。

一、数学思考的内涵

思考是针对某一个或多个对象进行分析、综合、推理、判断等思维的活动，是头脑对外在和内在事物本质属性和规律的内在关照与外在阐释。笔者认为：数学思考是对数学所研究的对象外在与内涵科学性、规律性和反思性的整体把握及学习，是间接、深刻和机智的数学头脑运作，是对数学思维过程、数学思想运作和数学经验积累的反思。它具有一定的路径，也包含具体的目标。数学思考渗透在数学学习的方方面面，影响着學生学习数学的精神层次。数学思考强调了作为头脑参与数学思考的路径作用，凸显了数学学习的深刻化头脑作用。不同的数学思考就是一条条不同的路，就是一条条问题解决之路的假设。数学思考类似于间接、深刻的数学头脑运作过程。

对于数学思考，有三种理解很重要：一是数学思考不同于数学思想。数学思想主要是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。而数学思考是指针对数学相关问题进行分析、综合、推理、判断等思维的活动过程。它是一个数学思想碰撞形成的过程。数学思想是数学思考的衍生品，没有思考就没有思想。二是数学思考不同于数学思维。数学思考包括数学思维，在概念的外延上比思维的范围更宽泛。思维是对本质和规律性的理性认识，是一个科学的思考过程。而数学思考就没那么高级和严苛，有关数学的外在和内部的头脑活动都可以看作数学思考，包括浅层次的数学选择、数学加工和思考反思等内在头脑活动路径和头脑网络运作品质。三是数学思考在数学的世界里是居于下位的，思维是居于中位的，思想是居于上位的。无序散状的有关数学头脑活动都可用于思考或它本身就是一种思考。数学思考的作用不同于数学思维和数学思想，数学的思考更利于构建数学血脉。建立数学血脉是学生学习数学的一个实践要求，是一种学习的思维路径和数学智慧产生的源头。数学思考可以帮助学生建立数学血脉，并对数学问题和数学现象进行思考并解决问题。

二、数学思考的成长实践

1.指向数学思考的精神成长实践

丰富的数学思考需要质感的数学精神去灌溉。没有数学精神的人很难有实质性的数学思考。为此，在实际教学中，教师应当用饱含精神的语言引导学生走入问题解决的数学梦，逐渐带领着学生自愿、自信和自省地搭建一层层的数学思考链，在一次次的思考搭建中实现数学思考的精神成长。具体体现在：

（1）理性精神引发理性数学思考。富有理性精神的引导问题语言最能启发并培养学生的理性思考，在教师的一环环转化中改变学生的思考路径，促进其思考能力的发展。如在“平行四边形面积的推导及计算”一课中，教师从两个不规则图形的面积引入，随后在教学中不断用核心问题来引领学生的数学思考：这两个图形的面积相等吗？你是怎么知道的？这个平行四边形的面积是多少？你是怎样转化的？转化前后什么变了，什么没有变？为什么要沿着高来剪？是不是所有的平行四边形都能转化成长方形？转化后的长方形与转化前的平行四边形有什么关系？根据长方形的面积计算方法，平行四边形的面积该怎么算？我们刚才是怎样推导出平行四边形的面积计算公式的？一个个引导性问题就像一颗颗珍珠，穿起了一条指向核心本质要义的美丽项链，避免了学生非理性的散漫思考。理性解决问题使数学思考顺畅、有序，避免了少部分学生陷入数学非理性思考“沼泽地”。刚开始学习数学或许还有些感性，但深入下去必定是理性的世界。

（2）求实精神引发实效数学思考。数学知识来不得半点虚假。数学如此，数学思考的精神更是如此。如“分米和毫米”的教学中有一道实践活动题：蒜叶生长情况记录。教师布置任务时，讲清了要种大蒜，再仔细观察，最后发现好多学生一周下来每天记录的毫米数都是一样的。这样的结果肯定是有问题的。之后，引导学生每人带大蒜来班上，就种在自己的旁边，每天记录，这才刹住班上数学记录不正之风。数学的思考是伴随数学的生活实践的。就简单的长度统计而言，倘若刮起了虚假风，那学生学习数学的附属精神衍生品就是有问题的。

（3）创造精神引发创新数学思考。学生是属于未来的，学生的数学思考也应是面向未来的。而未来是新的，而非循规蹈矩的旧。为此，教师教学时就需要借助各种“小意外”来打破学生固有的思考路径，从而突破演化出一种新的思考方向和路径。如教学“认识角”，突破“角的大小和边的长短无关”这一难点的时候，教师直接拿剪刀剪去大红角边的一段，就在这剪刀一剪而落的当下，教师随即问：“红角变大了没有？”随之学生的数学思考随着感官和头脑的运作，得出原来边的长短不会影响角的大小。这一难点也在这一剪中被突破了，学生坚定了思考。此外，学生学的不仅是知识，更是教师的创新方法。为此，循规蹈矩的课固然没有问题，但如果不去跨越可以逾越的数学思考边界，就是一种落后。

2.指向数学思考的思维成长实践

（1）丰富数学思考的直接性思维教学。低、中年级学生的数学思考方式是以具象化和直接性为主的。为此，教师的数学思考教学就必须以学定教，用学生便于理解的方式和形式来支撑学生的数学思考，在学生思考的最近发展区内大做文章。教学“认识方向”：小刚家在图书馆的南面600米，小芳家在图书馆的北面700米，小刚家到小芳家一共多少米？讲解这道题时可以用画线段图的方法：两家分别在图书馆的两侧，图书馆在中间。通过观察清晰的图，学生一眼就能发现这是一道应该用加法计算的题目。当然，问题的解决是次要的，其间用到的转化方法和思维方式才是主要的。

（2）丰富数学思考的操作性理解教学。数学思考的过程毕竟是隐性的，难以具象的。而操作性的理解过程则能很好地将看不见的过程变成看得见的过程。比如在教学“认识角”时，在初步认识角的环节中，教师先让学生摸一尖点，问：“这是角吗？”学生说：“不是。”教师再让学生从尖点开始分别往两边摸，感受边的本质，随后让学生说说感受，说说想法，最后让学生闭上眼睛想一想。这一整条链的设置，把学生关于角的特征与形状的思考深深地变成了模型锚，沉淀在了学生的脑海里。为此，思考不仅是纯脑力劳动，有时恰当的操作对思考的深化和升华是很有益的。

（3）丰富数学思考的成长性生成教学。数学思考是有生命的成长体，不是一道道无生命的数学题。为此，数学中解决变式问题就成了锻炼数学思考的有效路径，可以让学生形成较强的数学思维，成为提炼数学思想的关键战场。学习“数的次方”时，教师引出一个问题——国王重赏一个功臣，功臣提出：“请您在这张国际象棋的第一个小格内赏给我一粒麦子，第二个小格内赏两粒，第三个小格内赏四粒，依此类推，接下去的每一小格中赏的麦子都是前面的2倍。陛下，棋盘上所有64格都摆好后，您就把这些麦子赏给我吧！”……教师问：“国王能兑现承诺吗？”有的学生说能，有的学生说不能。随即实践验证，最后证明是不可能的。从尝试到最终的证明，从数学的思考到数学成长，教学有时是需要跳出教材教教材的，或是基于教材的超越教材。

叩问数学思考的内涵本质，数学教学需要数学思考的理性回归，实现数学教学实践中生命成长的本真样态。