关于广义Sylvester矩阵方程反自反解的有限迭代算法

邓 勇

(喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844006)

0 引言

众所周知，若矩阵P∈Rn×n满足条件PT=P和P2=I，则称其为广义反射矩阵.若矩阵A∈Rn×n满足条件A=-PAP，则称其为关于广义反射矩阵P的反自反矩阵[1].

关于广义反射矩阵的反自反矩阵已广泛应用于工程和科学计算中.[2-3]文献[4-10]分别研究了不同形式的线性矩阵方程的自反和反自反解；文献[11]在MHSS方法的基础上，获得了一种求解具有非Hermitian矩阵和对称复正定(半正定)矩阵的大型稀疏Sylvester方程的广义MHSS方法；文献[12]基于求线性矩阵方程约束解的修正共轭梯度法，通过修改某些矩阵的结构，建立了特殊类型的多变量线性矩阵方程的广义自反解的迭代算法；文献[13]讨论了广义耦合Sylvester矩阵求解的迭代算法；文献[14]建立了一类Riccati矩阵方程广义自反解的双迭代算法；文献[15]研究了矩阵方程组存在广义自反和反自反解的充要条件.在上述文献研究的基础上，本文将给出计算一类新广义Sylvester矩阵方程反自反解的有限迭代算法.

考虑广义Sylvester矩阵方程

AX+BY=EXF+C.

(1)

其中：A，E∈Rm×p，B∈Rm×q，F∈Rn×n，C∈Rm×n是给定矩阵，X∈Rp×n和Y∈Rq×n是待定矩阵.

1 预备知识

(2)

的形式，其中U=[U1，U2]是正交矩阵(UUT=UTU=In)且U1∈Rn×r，U2∈Rn×(n-r)[2].

定义1.1 线性或非线性矩阵方程组称为相容的，如果至少有一组未知量的值满足其每个方程.否则，称矩阵方程组不相容，即不存在满足其所有方程的一组未知量的值.

(3)

其中：A2∈Rr×(n-r)，A3∈R(n-r)×r，U和UT如(2)式所示.

设A，B，E，C∈Rm×n，F∈Rn×n，并且两个n阶广义反射矩阵P和S可表为

(4)

其中U=[U1，U2]和Z=[Z1，Z2]是正交矩阵，U1，Z1∈Rn×r，U2，Z2∈Rn×(n-r).现给出如下分解：

AU=(A11，A12)，A11∈Rm×r，A12∈Rm×(n-r)；EU=(E11，E12)，E11∈Rm×r，E12∈Rm×(n-r)；

则可证得如下定理：

定理1.1 设A，B，E，C∈Rm×n，F∈Rn×n.若P和S是两个n阶广义反射矩阵，则下列陈述等价：

(b) 矩阵方程

A11X12U12+A12X13U11-E12X13F11-E11X12F12+B11Y12Z12+B12Y13Z11=C

(5)

有反自反解.在有解的情况下，广义Sylvester矩阵方程(1)的反自反解可表为

(6)

其中：X12，Y12∈Rr×(n-r)；X13，Y13∈R(n-r)×r；U，UT，Z，ZT如(4)式所示.

2 矩阵方程(5)的迭代算法

问题2.1 对给定的矩阵A11，B11，E11∈Rm×r，A12，B12，E12∈Rm×(n-r)，F11，U11，Z11∈Rr×n，F12，U12，Z12∈R(n-r)×n和C∈Rm×n，求X12，Y12∈Rr×(n-r)和X13，Y13∈R(n-r)×r，使其满足

A11X12U12+A12X13U11-E12X13F11-E11X12F12+B11Y12Z12+B12Y13Z11=C.

(7)

(8)

2.1 问题2.1的算法程序

第一步输入矩阵A11，B11，E11∈Rm×r，A12，B12，E12∈Rm×(n-r)，F11，U11，Z11∈Rr×n，F12，U12，Z12∈R(n-r)×n和C∈Rm×n.

第二步选择任意的X12，Y12∈Rr×(n-r)和X13，Y13∈R(n-r)×r.

第三步计算

R(1)=C-A11X12(1)U12-A12X13(1)U11+E11X12(1)F12+E12X13(1)F11-B11Y12(1)Z12-B12Y13(1)Z11，

第四步若R(k)=0，则X12(k)，X13(k)，Y12(k)，Y13(k)就是矩阵方程(5)的解，于是终止步骤；若R(k)≠0，而P1(k)=P2(k)=Q1(k)=Q2(k)=0，则矩阵方程(5)不相容，为此需转到下一步.

第五步令‖P1(t)‖2+‖P2(t)‖2+‖Q1(t)‖2+‖Q2(t)‖2=λ(t)，μ(t)=‖R(t+1)‖2/‖R(t)‖2，计算

X12(k+1)=X12(k)+(‖R(k)‖2/λ(k))·P1(k)；X13(k+1)=X13(k)+(‖R(k)‖2/λ(k))·P2(k)；

Y12(k+1)=Y12(k)+(‖R(k)‖2/λ(k))·Q1(k)；Y13(k+1)=Y13(k)+(‖R(k)‖2/λ(k))·Q2(k)；

第六步由第五步得到上述序列后再转到第四步.如此循环反复.

2.2 算法2.1的收敛性分析

引理2.2.1[2]若线性方程组Ax=b有解x*∈R(AT)，则x*是其唯一的最小Frobenius范数解.

算法2.1具有下列重要性质：

引理2.2.2 设序列{R(i)}，{P1(i)}，{P2(i)}，{Q1(i)}，{Q2(i)}由算法2.1给出.若R(i)≠0，则有

(9)

证明显然，只需证明对1≤i

第一步证明当j=i+1时，有

(10)

事实上，由数学归纳法，当i=1时，有

此外，

假设对1

此即

tr(RT(t+1)R(t))=0.

(11)

同样有

(12)

第二步证明当1≤i≤s-1和1≤l≤s时，有

(13)

成立.由于l=1的情况已在第一步中证明，所以只需证明当l≤v≤s时，(13)式成立即可.

由数学归纳法分两步证明

(14)

首先，当i=1时，由算法2.1和第一步，(14)式中第1式的左边可写为

(14)式中第2式的左边也可写为

由归纳原理可知，(14)式正确.

其次，利用第一步的证明结果和算法2.1，可得

(15)

以及

(16)

重复(15)和(16)式的上述推导过程，对确定的α和β，可得

利用这两个关系并结合(14)式可知，当l=v+1时(13)式正确.

综合上述结果，由数学归纳法可知引理2.2.2成立.证毕.

(17)

其中R(i)，P1(i)，P2(i)，Q1(i)，Q2(i)，X12(i)，Y12(i)，X13(i)，Y13(i)是由算法2.1得到的序列.

证明利用数学归纳法.当i=1时，通过直接计算可得

假设当i=t时(17)式成立，即有

(18)

于是，当i=t+1时，就有

现将在算法2.1中得到的X12(t+1)，Y12(t+1)，X13(t+1)，Y13(t+1)代入上式，可得

最后，利用(18)式得到

根据数学归纳法，对所有的i=1，2，…，引理2.2.3均成立.证毕.

注1引理2.2.3表明：若存在正数i，使得P1(i)=P2(i)=Q1(i)=Q2(i)=0但R(i)≠0，则矩阵方程(5)不相容.因此，在没有舍入误差的情况下，矩阵方程(5)的可解性可由算法2.1自动确定.

定理2.2.1 设问题2.1相容.于是，在没有舍入误差的情况下，对任意初始矩阵X12，Y12∈Rr×(n-r)和X13，Y13∈R(n-r)×r，利用算法2.1，问题2.1的解可通过有限步迭代而获得.

(19)

(20)

因此，R(1)，R(2)，…，R(mn)是矩阵空间Rm×n的一组正交基且R(mn+1)=0.这意味着，X12(mn+1)，Y12(mn+1)，X13(mn+1)，Y13(mn+1)是问题2.1的反自反解.证毕.

证明矩阵方程(5)关于广义反射矩阵反自反解的可解性等价于线性方程组

的可解性[15].现在，任取矩阵D，由于

3 问题2.2的最佳逼近反自反解

设问题2.2是相容的，从而其解集S3≠∅.对给定的矩阵X12，Y12∈Rr×(n-r)和X13，Y13∈R(n-r)×r，显然，矩阵方程

A11X12U12+A12X13U11-E11X12F12-E12X13F11+B11Y12Z12+B12Y13Z11=C

(21)

等价于矩阵方程

于是，问题2.2的最佳逼近反自反解等价于矩阵方程

4 数值算例

给定广义Sylvester矩阵方程(1)，取

求其最佳逼近反自反解.

将矩阵P，S分别表示为

容易证明，PXP=-X，SYS=-Y，即X和Y分别是关于广义反射矩阵P和S的反自反矩阵，并且矩阵方程存在关于广义反射矩阵P，S的反自反解.通过计算，其反自反解为

现在，利用算法2.1求解矩阵方程(11).由定理1.1知，线性矩阵方程(11)等价于矩阵方程

A11X12U12+A12X13U11-E11X12F12-E12X13F11+B11Y12Z12+B12Y13Z11=C.

(22)

其中：

选择任意初始迭代矩阵X12(1)=Y12(1)=X13(1)=Y13(1)=0.由算法2.1，可得方程(5)的近似解为

并且，其相应的残差为

其中

表1给出了方程(22)的最小Frobenius范数解的迭代次数k和相应残差的范数.

表1 最小Frobenius范数解的迭代次数和相应残差的范数

并且，其相应的残差为

并且，其相应的残差为

表2 最佳逼近解的迭代次数和相应残差的范数