用活动开启数学探究之旅
——《数学广角——鸽巢问题》教学解读

○田丽娟

【课前思考】

特级教师吴正宪提出：给学生“好吃又有营养”的数学。课堂上教师要保护学生探求未知领域的好奇心，关注学生的体验活动，尊重每一个孩子的个性，因为学习兴趣是学生持久发展的动力源泉。“鸽巢问题”作为“数学广角”的内容，必然有一个抽象、推理和建模的过程，那么，该如何教给学生“好吃又有营养”的数学呢？本节课我主要从以下四个方面来思考：

1.学什么？感悟数形结合、数学模型的思想，掌握解题方法。

2.怎么学？学生的学习过程应当是生动、丰富、富有生命力的过程。在经历探究鸽巢问题的过程当中，学生通过游戏、观察、猜测、实验、推理等实践活动来学习新知识，获得解决问题的方法。

3.如何保证学生的课堂主体地位？以生为本，给予学生足够的时间和空间思考、探索、交流。

4.如何调动学生的积极性？学习环节形式多样，运用游戏、视频等激发学习兴趣，丰富学生的认知。

【教学流程】

1.游戏导入，激发探究兴趣。

玩4 个同学抢坐3 个凳子的游戏。游戏结束后提问：游戏很好玩，但是学会思考游戏背后的道理很重要。4 个人抢3 个凳子出现了什么情况？引导学生认识到：因为凳子数比人数少1，所以总是有1 个凳子上坐了2 位同学。引出课题：这就是我们今天所要研究的问题——鸽巢问题。

【设计意图】课堂伊始从学生喜欢的游戏活动入手，设置悬念，关注学生的活动体验，有利于激发学生探究问题的兴趣和好奇心。

2.呈现问题，确定探究方向。

课件呈现：把4 支铅笔放进3 个笔筒中，那么总有1 个笔筒里至少有2 支铅笔。理解“总有”和“至少”的意思。教师追问：你觉得这句话说得对吗？可用摆一摆、画一画、写一写等方法把自己的想法表示出来。

3.合作学习，经历探究过程。

（1）以小组为单位展示交流探究成果。

方法一：枚举法证明。

小组同学边演示边讲述，同时用自己的方式进行记录。预设：学生通过动手摆一摆呈现有4种方法，指导学生边摆放边记录。教师追问：在这需要考虑顺序吗？引导学生只考虑存在性，不考虑顺序。

教师引导：观察以上4 种不同的放法，为什么说“总有1 个笔筒里至少有2 支铅笔”？学生结合具体摆法说明其中的道理。追问：至少放进2 支铅笔就是最少是2 支，比2 支多可以吗？把符合要求的笔筒或数据用彩笔标出，深入理解“总有1个笔筒里至少有2 支铅笔”的含义。预设：可能有学生把4 进行分解，共有4 种情况（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1）。引导学生边板书边讲解分的过程。

方法二：假设法证明。

像刚才这样把所有的情况都列举出来的方法在数学上叫“枚举法”，也叫“列举法”。引导学生回忆学习鸡兔同笼问题时用到的“假设法”，启发学生尝试用“假设法”解决今天的问题。让学生在小组内说一说，交流自己的想法，然后以小组为单位全班交流。教师适时点拨：假设先在每个笔筒里放1 支铅笔，3 个笔筒里就放了3 支铅笔。还剩下1 支铅笔，放进任意一个笔筒里，这个笔筒里就有2支铅笔。学生通过操作或画图，直观感受这种“假设先在每个笔筒里放1 支铅笔”的结果。

追问：你为什么要先在每个笔筒里放1 支铅笔呢？平均分的好处是什么？引导学生认识到平均分就可以使每个笔筒的笔尽量少一点，也就可能找到和题目中的意思不一样的情况。教师启发：到现在为止，你有什么发现？能得出什么结论？学生能够深入理解“把4 支铅笔放进3 个笔筒中，总有1个笔筒里至少有2 支铅笔”的原理。

【设计意图】学生学习数学的过程充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富的学习活动，学生只有在数学活动中才能对问题的研究深入。学生根据自己的猜想反复地实验验证鸽巢原理，动手操作有利于学生对此类问题的理解。对“假设方法”的探究是学生更高层次的学习，教师的引导、生生之间的交流与辩论是开启深度思维的途径。

4.深度探究，构建数学模型。

现在老师把题目改一下，同学们思考刚才的结论还成立吗？

（1）把5 支铅笔放进4 个笔筒中，总有1 个笔筒里至少放进几支铅笔，为什么？

（2）如果6 支铅笔放进5 个笔筒中，那么总有1 个笔筒里放进（ ）支铅笔。

（3）把10 支铅笔放进9 个笔筒中呢？如果把100 支铅笔放进99 个笔筒中呢？你发现了什么规律？

教师引导学生得出一般性结论：只要放的铅笔数比笔筒的数量多1，总有1 个笔筒里至少放进2 支铅笔。对不同解决问题的方法进行比较，感受枚举法的优越性和局限性，感悟假设法更具有一般性。

追问：假如有5 支铅笔放进3 个笔筒里，会出现什么情况？总有1 个笔筒里至少放进几支铅笔？先猜想，再验证。这个问题学生容易犯“总有1个笔筒里至少放进3 支铅笔”的错误，让学生发现问题，引发讨论，促进知识的理解和掌握。教师引导：怎样把规律用算式表示出来？展示交流后总结：至少数=商+1。

小结：这就是最简单的“抽屉原理”，可以概括为：把多于m个物体任意放到m个抽屉里，那么总有1 个抽屉中至少放进了2 个物体。回顾课堂开始的游戏，说说“抢凳子”游戏中包含的数学知识。

【设计意图】数学模型的建立是一个不断感知、积累的过程。通过问题数据的增大，学生进行大胆而合理的推理、验证，进而从生活实际走向数学建模。这一环节突出数学建模的过程，体现学习“有营养”的数学的意义所在。

5.微视频形式展示鸽巢问题的历史文化资料。

展示数学小知识鸽巢原理、抽屉原理的由来，采用微课的方式介绍德国数学家狄利克雷和他的“抽屉原理”。

【设计意图】数学文化作为教材的组成部分,应渗透在整套教材中。通过探究，学生感受到本课所发现的规律和科学家发现的有关，增加探究的成就感。同时了解到“鸽巢原理”最初的模型和在生活中的广泛应用，增加数学文化气息。

6.运用知识，解决实际问题。

（1）用学到的知识解释教材中扑克魔术的原理：一副扑克，取出大小王，还剩52 张牌，5 人每人随意抽一张，我知道最少有2 张牌是同花色的。为什么？

（2）张叔叔参加飞镖比赛，投了5 镖，成绩是41 环，张叔叔至少有1 镖不低于（ ）环。

（3）随意找13 位老师，他们中至少有2 个人的属相相同。为什么？

【设计意图】学生学到的知识要更好地纳入知识体系。通过梯度练习，巩固所学知识，培养学生解决实际问题的能力，感受学习数学的价值和解决问题的快乐。