基于观测器的含扰动Lipschitz非线性系统鲁棒控制

孙延修

(沈阳工学院基础课部，辽宁 抚顺 113000)

0 引言

随着科技的发展，控制系统在工业中的应用越来越广泛。控制理论中Lipschitz非线性系统已广泛应用于工程机构的柔性部件，因而，针对该类系统的研究具有重要的意义。在飞机和空间飞行器的控制系统研究中，以系统稳定性和可靠性作为首要目标的鲁棒控制方法具有重要的应用，同时，过程的动态特性已知且不确定因素的变化范围可以预估，而状态反馈以其独特优势发挥着重要的作用，但部分系统中的状态不可能全部被测量，所以利用状态观测器对原系统状态进行逼近，从而得到基于状态观测器形式的控制器具有重要的应用意义。

目前，针对非线性系统观测器的设计及鲁棒控制、故障检测与分离等方面已经取得了丰富的成果[1-4]:文献[5-7]分别设计了带有观测器的Lipschitz系统，并保证了状态误差系统渐近稳定;文献[5]针对含有外部扰动的Lipschitz非线性离散时滞系统进行研究，给出了降维观测器的设计方法；文献[6]针对输出不确定性的Lipschitz非线性系统进行研究，给出了系统状态误差渐近稳定的充分条件，以及观测器增益矩阵的求解方法；文献[7]针对一类Lipschitz非线性时滞离散广义系统进行研究，以线性矩阵不等式的形式给出了系统降维观测器的设计方法。文献[8-9]基于系统观测器针对故障诊断及鲁棒镇定进行了研究，其中，文献[8]针对Lipschitz非线性时滞系统进行研究，给出了一种基于观测器的控制器设计方法；针对系统中难以测量的状态，也可以通过构造状态观测器进行实现；文献[9]设计了基于状态观测器的鲁棒控制器，并给出了满足鲁棒控制器存在性的充分条件。

基于上述分析，本文针对Lipschitz非线性扰动系统进行研究，设计了一种观测器并根据Lyapunov稳定性理论实现了非线性系统的鲁棒控制。最后给出数值算例，针对本文所提控制方法进行了验证。

1 问题描述

考虑含扰动的Lipschitz非线性系统

(1)

式中：x(t)∈Rn,为状态向量；u(t)∈Rm,y(t)∈Rp分别是系统的输入和输出；η为系统外部扰动；Φ(x,t)为满足Lipschitz条件的非线性项；A,B,C,D均为已知适当维数的常数矩阵。

式(1)非线性系统的观测器可以设计为

(2)

(3)

系统满足如下假设。

假设1 非线性项Φ(x,t)满足Lipschitz条件，且

||

Φ(x1,t)-Φ(x2,t)||

≤γ||

x1-x2||

(4)

式中，γ为Lipschitz常数。

M<0

;

(5)

(6)

(7)

推拿按摩：两手掌对搓至手心热后，分别放至腰部肾腧穴，上下按摩可起到补肾纳气的作用。经常按摩涌泉穴，可益精补肾，并能舒肝明目，促进睡眠。两手十指交叉，两掌根置于膻中穴，自上而下，稍用力推至腹股沟，可理气养肝。经常揉按或弹拨阳陵泉穴，以酸麻有放射感为好，可以疏肝利胆，调和经气。

(8)

若式(3)误差系统渐近稳定，则可以保证针对系统状态的鲁棒估计，若式(8)闭环系统渐近稳定，则可以使式(1)系统鲁棒稳定。

2 主要结果

基于状态反馈的控制器，以线性矩阵不等式形式推导出了控制器存在的条件，给出了观测器增益矩阵、控制器增益矩阵的具体形式。

定理1当扰动项η(t)=0时，如果存在对称正定矩阵P∈Rn×n,Q∈Rn×n，增益矩阵L∈Rn×m，满足线性矩阵不等式

(9)

则式(3)、式(8)系统在基于状态观测器的控制器作用下渐近稳定，观测器增益矩阵为L=Q-1CT,控制器增益矩阵为K=BTP。

(10)

由于

(11)

(12)

所以，

(13)

(14)

(15)

(16)

注1 定理1通过构造Lyapunov函数，以线性矩阵不等式的形式给出了式(1)系统不含扰动项情况下观测器及基于观测器的鲁棒控制器同时存在的充分条件，同时也给出了系统观测器的增益矩阵、鲁棒控制器的增益矩阵的具体形式。

定理2当扰动项η(t)≠0时，如果存在对称正定矩阵P∈Rn×n，Q∈Rn×n,增益矩阵L∈Rn×m，满足线性矩阵不等式

(17)

则式(1)系统可实现含扰动情况下基于状态观测器的鲁棒控制，其中,观测器增益矩阵为L=Q-1CT,控制器增益矩阵为K=BTP。式中:

Σ1=ATP+PA+α2I

(18)

Σ2=ATQ-2CTC+QA+(α2+1)I。

(19)

(20)

(21)

(22)

令K=BTP,L=Q-1CT,则有

(23)

注2 定理2考虑到式(1)系统中的扰动项η(t)，构造出一个新的Lyapunov函数，得到了状态观测器与基于观测器的闭环系统渐近稳定的充分条件，通过引入性能指标μ减弱了扰动多状态估计的影响，优化了基于观测器的鲁棒控制。

3 数值仿真

针对某飞控系统模型，考虑系统的非线性、外部扰动等因素，设计系统矩阵如下：

利用Matlab里的LMI工具箱可以计算出状态反馈增益矩阵与观测器增益矩阵分别为：

,

图1、图2所示为系统状态响应及误差曲线。

图1 系统状态x1,x2,x3响应及误差曲线Fig.1 State x1,x2,x3 response and the errors

图2 系统状态x4,x5响应及误差曲线Fig.2 State x4,x5 response and the errors

由图1和图2可以看出，系统状态及误差渐近稳定，验证了本文所设计观测器的有效性，同时基于观测器的鲁棒控制器可使系统在一定的时间内达到稳定，表明了鲁棒控制器的可行性。

4 结束语

本文研究了带有扰动项的Lipschitz非线性系统的鲁棒控制问题，设计了含扰动项的更为复杂的 Lyapunov函数，结合Lipschitz 条件及Schur 补引理，以线性矩阵不等式的形式给出了基于观测器的非线性闭环系统渐近稳定的充分条件，并求解出状态观测器及鲁棒控制器增益矩阵，达到了基于观测器的鲁棒控制目的。最后，通过数值仿真算例验证了所提方法的有效性。