T-S模糊半马尔可夫跳变系统故障估计

朱永宁， 李晓航

(上海工程技术大学，上海 201000)

0 引言

马尔可夫跳变系统(MJS)是一种具有多个模态或子系统的混杂动态系统,在过去几十年中,MJS已经在工业生产[1]、航空航天[2]、网络通讯、社会经济等领域中有着广泛的应用。与要求驻留时间服从指数分布的MJS不同,半马尔可夫跳跃系统(S-MJS)的驻留时间分布更具一般性，比如Weibull分布。由于放松了驻留时间的分布条件，半马尔可夫跳变系统在工程应用中具有更广阔的应用场景。

执行器故障和传感器故障在实际工程的控制系统中经常出现，现阶段，控制领域针对MJS的故障检测和容错控制[3-5]、状态和故障估计[6-9]的研究获得了很大进展。其中，基于状态观测器的故障诊断方法是指在获得系统的数学模型情况下，通过输出的估计值与测量值生成残差信号判断系统是否存在故障。文献[6]设计一种滑模观测器，研究了Lipschitz MJS传感器故障估计和容错控制问题。针对一类考虑执行器故障的MJS，文献[7]利用滑模控制技术研究了有限时间有界性问题。然而，实际应用中执行器和传感器故障往往同时发生，因此，针对执行器和传感器故障同时估计的研究具有更实际的应用价值。同时，由于对MJS或S-MJS的研究大多数都假设其状态转移概率(TRS)是完全已知的[10]，这在实际应用中具有很大的局限性，因此，将现有的故障估计理论推广到更为一般的不确定转移概率S-MJS中，具有更实际的应用价值。

另一方面，故障估计理论在实际非线性系统中的应用具有一定的局限性。Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型基于一组IF-THEN的规则，其方便简单的优点，可以使现有的故障估计方法在非线性系统中得到较好的应用。目前，针对T-S模糊系统的故障估计研究取得了很多成果。例如，文献[11]利用T-S模糊模型，设计了一种比例积分观测器(PIO)，能够对一类不确定非线性系统进行执行器故障估计和容错控制；文献[12]针对一类状态转移概率已知的T-S模糊MJS故障估计问题，设计了一种自适应观测器；文献[13]针对一类一般不确定状态转移概率的MJS，设计了一种能够同时估计执行器和传感器故障的降维观测器，然而，该观测器并不能完全消除外部干扰造成的影响。

综上所述，本文针对一类T-S模糊S-MJS设计了一种降维观测器。该观测器具有以下优点：在较为宽松的前提下，能够完全解耦外部干扰，有效避免了外部干扰造成的影响；能够同时估计执行器和传感器故障，且不用获取故障及其导数上界[6]，并保证误差系统在有限时间内稳定；部分已知转移概率的S-MJS，更具有一般性。

1 系统描述

考虑带有执行器和传感器故障的S-MJS，用如下T-S模糊模型表示。

规则α：若θ1(t)是να1，且θq(t)是νaq，则

(1)

(2)

基于标准模糊规则，S-MJS模糊系统为

(3)

转移概率矩阵Π可以表示为

(4)

式中,“？”表示不可测元素。

(5)

定义1对于式(3)系统,如果u(t)≡0,d(t)=0,存在常数c1,c2,T>0，以及正定矩阵Hi，有

Ε{xT(0)Hix(0)}≤c1⟹Ε{xT(t)Hix(t)}≤c2∀t∈[0，T]

(6)

成立。式中，00,则称式(3)系统相对于c1,c2,Hi,T为有限时间随机稳定的。

假设1 假设Gi和Ki是列满秩，Ci是行满秩。

假设2

(7)

引理1假设ε代表任意实数，C代表任意矩阵，当D>0时，不等式

ε(C+CT)≤ε2D+CD-1CT

(8)

成立。

引理2假设ν(t)为非负函数，若

(9)

那么对于常数a,b≥0，可得

ν(t)≤aebt0≤t≤T。

(10)

(11)

(12)

(13)

2 降维观测器设计

式(3)系统等价于

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：

(21)

(22)

(23)

设计降维观测器为

(24)

式中：

(25)

3 主要结论

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

根据引理1，可得

(33)

最终得到

(34)

对于∀i,j∈S，当i≠j,λi j(h)≥0,i=j,λi j(h)<0，讨论下面两种情况：

所以存在α>0，使得

(35)

对式(35)使用Dynkin’s公式，得到

(36)

根据引理2，可以得到

(37)

(38)

由此可以得到式(25)误差系统是有限时间随机稳定的，定理1的证明结束。

根据定理1，可以得到如下状态和故障估计

(39)

4 仿真

为了证明本文所提方法的有效性，考虑如下具有3个模态的数值T-S模糊半马尔可夫跳变系统，相关参数如下：

图1为系统的实际状态和估计状态的对比曲线，图2(a)和图2(b)分别为执行器故障和传感器故障估计曲线,图2(c)为系统状态x的估计误差曲线，图2(d)为执行器和传感器故障的估计误差曲线。综合图1～2，本文所设计的降维观测器能够同时估计系统状态、执行器故障、传感器故障，消除外部扰动的影响，保证误差系统的有限时间稳定。

图1 系统状态及其估计值Fig.1 System states and their estimations

图2 仿真结果Fig.2 Simulation results

5 总结

本文针对一类具有一般不确定转移速率的T-S模糊半马尔可夫跳变系统的执行器故障和传感器故障同时估计问题，设计了一个降维观测器。该观测器在较为宽松的前提下，可以完全解耦外部扰动，同时估计执行器故障和传感器故障。借助线性矩阵不等式给出观测器存在的充分条件，进一步证明其有限时间稳定性。最后，通过一个数值仿真验证了所提方法的有效性。