有限注意力下一类满意启发式决策的建模与理性分析

吴新林, 肖海燕

(1.湖北第二师范学院 数学与经济学院,湖北 武汉 430205; 2.湖北第二师范学院 大数据建模与智能计算研究所,湖北 武汉 430205)

0 引言

自Simon提出“有限理性”(Bounded Rationality)假说[1]以来，有限理性的研究一直是学术界的一个研究热点。Simon认为人的理性是有限的，作为有限理性的决策者不可能掌握完全的知识，其掌握信息和处理信息的能力也有限，因此很难寻求到最优方案，而只能寻求到满意方案。Simon认为现实中的决策者在作决策之前往往不可能事先评估所有备选方案，相反，决策者一般在决策过程中不断地去搜索和评估方案。另外， 备选方案通常以一定次序(时间或空间顺序)逐一展现在决策者面前。因此，决策者一般会根据一定次序去搜索和评估方案。例如，毕业生开始找工作时会向许多用人单位投递简历， 通常他们是依次收到录用或面试通知，但他们往往不会等到收齐所有用人单位的录用或面试通知才作出选择。又如，消费者网上购物时，由于网上物品种类繁多，他不可能将所有物品进行排序而只可能按照一定次序(从左至右或从上至下)在网页上浏览或选择物品。针对现实中个体决策者表现出的上述满意行为特征， Simon认为决策者的选择行为应该遵循如下“满意启发式”(Satisficing Heuristic)决策规则，即决策者在选择过程中依照一定的次序搜索和评估方案，当她识别出第一个满意方案时就停止搜索并选择该满意方案。

对Simon提出的满意启发式决策规则的研究总体可分为三个层面， 一是以最优化理论、数理逻辑和粗糙集等理论为工具对满意度的概念进行界定，以此为基础提出一套满意准则；如，Radner[2]基于随机过程理论对满意度进行了刻画；Matsuda和Takatsu[3,4]提出了一套基于期望水平的满意准则；Tyson[5]从经济学的角度基于“嵌套”关系系统提出了一套满意决策理论体系； Manski[6]基于决策者的思考成本提出了一种极小-极大后悔满意策略。二是将随机因素引入满意启发式决策规则提出了相应的随机满意选择模型，如 Aguiar等[7]基于搜索次序随机变化提出了一种完全支持满意模型；Aguiar[8]为简化备选方案的选择步骤引入了一种随机分类规则。González-Valdés和de Dios Ortúzar[9]针对备选方案的矛盾属性，基于偏序支付函数提出了能刻画决策者非补偿行为的一种随机满意选择模型。Aguiar和Kimya[10]通过假定搜索次序随机变化，引入自适应阈值提出了一种概率选择规则。 Kovach和Ülkü[11]假定满意阈值随机变化提出了一种特殊的随机效用模型。三是将行为经济学理论与数理逻辑相结合，考虑决策者的有限注意力或信息搜索成本提出了相应的满意决策模型。 如，Rubinstein和Salant[12]的列表选择模型。Caplin和Dean[13]在决策者考虑搜索成本条件下提出了一个基于保留效用的搜索模型。 PaPi[14]以决策者的有限注意力为前提，基于偏好的完备性对满意启发式决策规则进行了公理化描述。 Masatlioglu等[15]以决策者的有限注意力为前提给出了一组显示偏好公理体系。Masatlioglu和Nakajima[16]基于决策者的有限注意力和搜索成本提出了一个迭代搜索选择模型。 Lleras等[17]假定决策者在作决策时仅会考虑备选集内某个子方案集里的方案，以此为基础提出了一个有限注意力模型。Kimya[18]依据备选方案的不同属性构造考虑集，基于考虑集提出了一个基于属性筛选的选择模型。 Alonso和 ülkü[19]在Luce规则下基于决策者的有限注意力提出了一个两阶段选择模型。Caplin等[20]基于决策者的有限注意力与随机选择提出了一个最优考虑集模型。

从现有文献可以看出，从行为经济学角度考虑决策者的有限注意力或信息搜索成本是目前满意启发式决策研究的一个热点，但存在一定的局限性。

(1)个体偏好的完备性假设太强。决策者的有限注意力意味着决策者只能以部分备选方案为研究对象， 故决策者只有具备完备性偏好才能在有限的部分备选方案中以最大概率选取最满意(或最优)方案。因此， 在考虑决策者的有限注意力时，大部分研究以决策者的偏好完备性为假设，较少考虑决策者偏好的不完备性。

(2)短时间内获取满意方案的概率不大。 现有文献采用考虑集刻画决策者的有限注意力，对于考虑集一般采用一系列互为包含关系的嵌套集描述，这意味着决策者考虑集内的方案数量会随方案搜索时间的延长而增加。而考虑集内方案数量的增加一方面会加大决策者的选择难度， 另一方面会使决策者不断地将新加入方案与原有方案进行比较与排序， 增加决策者获取满意方案的时间。

然而，在时间紧迫和信息有限的情形下现实中决策者往往想快速获取满意方案， 且不一定能对所有备选方案进行排序，这意味着决策者的偏好不一定具有完备性。针对已有研究存在的以上局限性，本文一方面通过假定偏好的不完备性描述现实中决策者对选择备选方案表现出犹豫不决的态度；另一方面将两两互不相容的一系列子方案集描述考虑集可以最大限度避免考虑集内方案数量的增加。基于此，本文参考Tyson与PaPi的研究，在决策者的有限注意力下以决策者偏好的不完备性为假设对Simon的满意启发式决策规则进行了公理化研究，论证了一类满意启发式决策的合理性，并讨论了其应用性。

1 概念及问题描述

设X是关于备选方案的一个非空有限集合，A是X的任一子集，Ω是由X的所有子集构成的集合。

定义2设H是关于某方案集的所有子集系列的集合，A∈H是集合A的一个子集系列，定义在H上的决策函数可描述为c:H→X，这里假定c(A)∈A表示从集合A中所选的唯一方案。

本文中的二元关系R特指“不劣于”关系, 表示决策者的偏好，P、I为R的非对称部分和对称部分，分别表示“严格优于”关系和“无差异”关系。 设xs∈X为备选方案集X中符合决策者最低满意标准的一个方案， 集合A中的满意方案集可表示为Sp(A;xs)={x∈A|xsPx}，这里假定Sp(A;xs)≠φ，这意味着决策者不可能在集合A中找到比xs更劣的方案。 定义P↑(A)={x∈A|∀y∈A,[yPx]}为集合A中以关系P产生的非劣方案集[5]。这里，P↑(A)可被看成是一种决策规则，若∀A∈Ω,c(A)∈P↑(A)，则称为基于决策规则的决策函数。

在时间紧迫和信息缺失等情形下，现实中决策者的选择行为通常遵循Simon提出的“满意启发式”决策规则。例如，某顾客计划去超市购买一件商品，假设货物架上有6种同类商品x1,x2,x3.x4,x5和x6可供选择， 其中x3和x5符合顾客的最低满意标准且x4Px3,x6Px5,x1和x2未达到他的最低满意标准。假设这6种商品按如下图1的方式摆放在货物架上。

图1 超市货物架的俯视平面图

我们假设该顾客从货物架上的商品x1处由西向东开始浏览，由于商品x3和x5会优先出现在顾客面前且符合他的最低满意标准，因此他会停止浏览其他商品而选择x3或x5，但显然x3或x5不是该顾客的最佳选择结果。这是由于在有限的时间内，该顾客的有限注意力导致他没发现更好的商品(如x4,x6)，故他最终选择了能达到自身最低满意标准的商品x3或x5。因此，该顾客的选择行为符合“满意启发式”决策规则。

2 一类满意启发式决策规则的建模

2.1 方案搜索次序已知

这里假定决策者能观察到子集系A列中所有阶段的方案次序且决策者按次序从第一阶段A1开始往后搜索。这里，决策者研究方案的可行域被描述为H1={A|A=(A1,…,An)}。

定义3集合Ω到自身的一个考虑集映射Γ是指对任意非空集合S∈Ω满足φ≠Γ(S)⊂S,称Γ(S)为考虑集[15]。

这里的考虑集用来描述决策者的有限注意力，指引起决策者注意或被决策者列为考虑对象的备选方案集。

定义4c是H1上的一个满意决策函数当且仅当对任意的A∈H1存在X上的一个严格非循环序P，一个符合决策者最低满意标准的方案xs∈X和一个考虑集Γ(A)⊂A满足c(A)∈P↑(Г(A))，这里Г(A)=Aj*且j*=min{j|Aj∩Sp(A;xs)≠φ}。

这里的严格非循环序是指满足非循环性和不完备性的二元关系p， 决策者通过一个严格非循环序p和一个最低满意标准方案xs来进行选择。具体地，如果方案集中存在不劣于xs的方案，就认为该方案是满意的；否则就不满意。决策者通过方案集A中的一个子集系列进行搜索， 如果在第一阶段(A1)首先识别出一个满意方案则搜索停止，此时A1就被决策者认定为一个考虑集。然后，决策者在A1中以非循环序p产生的非劣方案集来选择一个满意方案；如果决策者在第一阶段没有找到满意方案， 则转入到第二阶段，重复以上操作。 决策者寻找满意方案的以上过程可通过如图2来描述：

图2 决策者寻找满意方案的流程图

在给出满意决策函数的概念后， 下面借助一些理性条件[13,14]来分析和探讨方案次序完全可观时满意决策函数的存在性及其理性特征。

条件1x,y∈Γ(A)∩Γ(B),x=c(A)⟹y≠c(B)。

条件2x=c(A),y∈A{x}⟹x=c(A{y})。

这里，A,B分别表示子集A和B的两个系列；Γ(A),Γ(B)分别表示子集A和B的两个考虑集。条件1表明当方案x,y同时在两个方案集系列中引起决策者注意时，若决策者在其中一个方案集系列中选择方案x，则他在另一个方案集系列中不会选择方案y；这意味着如果一个消费者在一家商场购买了令他满意的商品， 那么他不会去另一家商场购买同类商品。 条件2表明如果决策者在某个方案集系列中选择方案x，那么在该方案集系列中排除另一个无关方案y≠x不会影响决策者的选择结果；

在决策者有限注意力与不完备偏好下，如果决策者在有限时间内能观察到所有备选方案，那么该决策者的选择行为具备什么特征？下面的命题1以决策者搜索方案次序完全可观为前提探讨满意决策函数与理性条件1和2之间的关系。

命题1(1)若c是H1上的一个满意决策函数，则c满足条件1与条件2；(2)设c是H1上基于决策规则P↑的一个决策函数，若c满足条件1，则它是H1上的一个满意决策函数。

命题1给出了方案搜索次序已知时满意决策函数的存在性条件及其理性特征； 同时，命题1表明理性条件1与条件2可作为本文满意启发式决策行为的一种判别准则。

下面的命题2将对满意方案的识别及方案间优劣关系的判定条件进行研究。

命题2假设c是H1上的一个满意决策函数，(1)x∈Sp(A;xs)当且仅当对于任意x∈Ai⊂A不存在另一方案y∈Aj⊂A,j>i满足y=c(A);(2)方案x优于y的一个必要条件是存在子集系列A的某一阶段Ai满足x=c(A)且y∈Γ(A)=Ai。

命题2的结果表明， 在决策者的有限注意力与不完备偏好下即使某个备选方案被选择，我们也不能轻易判断该方案与其它方案间的优劣关系；这与显示偏好理论下的结论不同。

2.2 方案搜索次序部分已知

类似地，借助下述理性条件3和4来分析和探讨可行域H2上满意决策函数的存在性及其理性特征。 实际上，定义在上的条件3和条件4与上的条件1和条件2是等价的，因此它们具有相同的内涵。

在决策者有限注意力与不完备偏好下，备选方案数量太多会导致决策者在有限时间内不能观察到所有备选方案。下面的命题3以决策者搜索方案次序部分可观为前提探讨满意决策函数与理性条件3和4之间的关系。

命题3(1)若c是H2上的一个满意决策函数，则满足条件3与条件4；(2)设c是H2上基于决策规P↑则的一个决策函数，若c满足条件3，则它是H2上的一个满意决策函数。

命题3给出了方案搜索次序部分已知时满意决策函数的存在性条件及其理性特征。

与命题2类似，命题4针对方案搜索次序部分已知时讨论了识别满意方案和方案间优劣关系的判定条件。

3 一个例子

某位顾客想在一个大型超市购买1件商品，假设该超市的某个货物架上有同类商品100件且商品间的优劣次序互不相同。已知这100件商品中只有3件商品令顾客满意且这3件商品要优于其它同类商品。该顾客将逐一地对这些商品进行分析并立即作出选择。假定这些商品的排列次序是随机的，通常顾客在分析完部分商品后就可以轻易地排出他们的相对优劣次序。这里，假定顾客对每次分析的商品必须作出购买或不购买的决策。如果顾客决定购买某件商品，整个购买商品的过程立即结束，也不用考虑后面未注意到的商品；如果顾客一旦决定不购买某件商品，那么该顾客不会回头重新考虑购买该商品，然后此购买过程继续进行下去。顾客的目标是希望在最短时间内以最大概率购买到令自己最满意的商品， 顾客该如何选择？假设市场上的顾客有两种偏好类型，即完备性偏好和不完备性偏好，且偏好是严格的(P)。通常，一个具有完备性偏好的顾客会尽可能选择一件最优商品，故该顾客能对这100件商品的优劣性进行排序。而一个具有不完备性偏好的顾客会尽可能选择一件满意商品，对于该顾客而言，这3件商品之间的优劣性不可比，且顾客只要选择到这3件商品中的任一件即可。下面分别针对具有以上两种偏好类型的顾客采用第2节提出的满意启发式选择模型进行决策，并作如下假定：

1)顾客在购买商品前将最开始浏览的部分商品作为样本集且顾客不能购买样本集内的商品；

2)取样本集内相对最好的商品作为满足顾客最低满意标准的商品；

3)货物架上的100件商品组成的集合就是顾客的一个考虑集。

3.1 不完备偏好下顾客选择的仿真模拟

具有不完备偏好的顾客只需要购买一件满意商品即可。这里，顾客的选择遵循如下规则：取前部分商品为样本，从样本后的第1个商品开始， 一旦遇到第1个相对满意的商品(即， 不劣于前面出现的所有商品)就停止搜索而直接购买该商品。如果一直未能搜索到满意商品，顾客就选择最后一个商品。下面采用随机模拟的方法对顾客购买满意商品的可能性进行估计。

为便于计算机编程上的操作， 特作如下记号：将100件商品用1,2,…,100中的数字代替，其中3件满意商品均用数字100代替，其余的97件商品分别用数字1,2,…,97代替，数字的大小表示商品之间的优劣程度， 即代表某商品的数字越大，对于顾客而言该商品越优。仿真步骤如下：

步骤1取100个数1,2,…,97,100,100,100在Matlab环境下对这个数字进行随机排列，并取前r个数的集合为样本集，r/100表示取样数量百分比。

步骤2设样本集中的最大数为u0，对剩余100-r的个数进行搜索， 记u为搜索到的数字。当u≥u0时，本次搜索结束；否则认为找不到满意商品。当u=100时，记搜索到满意商品的次数为1。

步骤3改变样本集元素数量r,转步骤1。记录总搜索次数和搜索到数字100(满意商品)时的总次数m0;则m0/m即为获取满意商品的概率估计值。

图3和图4分别给出了计算机模拟10000次和20000次时获取满意商品最大可能性的估计结果。 图3和图4的结果表明：顾客获取满意商品的概率先增大后减小，且在商品取样数量与商品总数百分比约为0.4时达到最大(约为0.89)。这意味着在时间紧逼和信息不完整的情形下，当货物架上的100件商品中存在3件满意商品时，顾客只要选择货物架上排序约前40%的商品就能以最大概率保证获得令自己满意的商品。

图3 计算机模拟10000次时获取满意商品最大可能性的估计结果

图4 计算机模拟20000次时获取满意商品最大可能性的估计结果

3.2 完备偏好下顾客选择的仿真模拟

具有完备偏好的顾客在考虑集内要购买一件最优商品。该顾客的最优选择遵循如下规则：取前部分商品为样本，从样本后的第1个商品开始， 一旦遇到第1个相对最优商品(即， 优于前面出现的所有商品)就停止搜索而直接购买该商品。如果一直未能搜索到最优商品，顾客就选择最后一个商品。下面用类似3.1节的随机模拟方法对顾客购买最优商品的可能性进行估计。具体方法参照3.1节给出的仿真步骤，这里将3.1节步骤1中的100个数字1,2,…,97,100,100,100分别用1,2,…,99,100这100个数字替换， 表明完备性偏好下的顾客能对以上100个商品进行优劣排序。 仿真结果如下:

图5和图6分别给出了计算机模拟10000次和20000次时获取最优商品最大可能性的估计结果。图5和图6的结果表明：顾客获取最优商品的概率先增大后减小，且在商品取样数量与商品总数百分比约为0.36时达到最大(约为0.36)。 这意味着在时间紧逼和信息不完整的情形下，当货物架上的100件商品中存在3件满意商品时，顾客只要选择货物架上排序约前36%的商品就能以最大概率保证获得最优商品。仿真结果表明，对于分别具有以上两种不同偏好类型的顾客，完备性偏好下顾客获取最优商品的最大概率仅为不完备偏好下顾客获取满意商品的一半，但两种类型的顾客分别获取满意和最优商品的位置比较接近。

图5 计算机模拟10000次时获取最优商品最大可能性的估计结果

图6 计算机模拟20000次时获取最优商品最大可能性的估计结果

4 结语

现有文献在决策者有限注意力前提下对满意启发式决策规则研究时大多以决策者偏好的完备性为假设。本文尝试将决策者的有限注意力与不完备偏好相结合，对一类满意启发式决策规则进行了建模与分析， 得出了如下结论：

(1)在满意启发式决策规则中以决策者偏好的不完备性为假设定义了一类满意决策函数, 通过构造相关理性条件探讨了满意决策函数的理性特征.在此基础上给出了满意方案选择的具体步骤, 从而为有限理性的决策者提供了一种满意决策方法。

(2)根据显示性偏好理论，完全理性下决策者的显示性偏好可由其选择结果来推断；但在有限理性下推断不一定成立，这是因为决策者的有限注意力与不完备偏好会导致他不能对所有方案进行分析与比较。

(3)对于本文提出的满意启发式决策模型，结合一个顾客购买行为案例给出了仿真实验研究。仿真结果表明， 对于分别具有完备性和不完备性偏好的顾客，完备性偏好下顾客获取最优商品的最大概率仅为不完备偏好下顾客获取满意商品的一半，但两种偏好类型的顾客分别获取满意和最优商品的位置却比较接近。

与已有研究不同，本文主要以决策者偏好的不完备性为前提，借助互不相容的子方案集来构造考虑集描述决策者的有限注意力，从而保证决策者能在短时间内以较大概率获取满意方案。对于本文提出的一类满意决策模型，决策者虽然能在较短时间内获取满意方案，但很难获取满意程度更高的方案(或最优方案)。此外， 本模型的适用范围也有限，仅对于决策者在时间紧迫和信息有限等情形下的一类应急决策更有效。这些都是本模型的局限之处。此外，如何结合有限注意力与不完备偏好进一步构造相关有限理性行为公理体系并借助实验设计来验证决策者的选择行为是否与本文提出的一类满意启发式决策一致，这将是作者后续的研究工作。