巧解数学应用题 促应用能力提升

陆娟

[摘  要] 提升高中学生的问题分析能力和数学应用能力是高中数学课肩负的一项重要使命. 为了更好地完成这个使命，需要广大教师付出更多的精力和智慧. 文章以高中数学应用题为例，通过化归转化、数形结合、数学建模等形式将生活中的问题抽象为数学问题，进而在转化过程中促进学生提升逻辑分析能力和数学知识运用能力.

[关键词] 分析能力;应用能力;转化

数学应用题往往与生活紧密相连，更能彰显数学“学以致用”的真正价值，另外，其与其他题型相比，往往篇幅较长，更能考查学生的阅读能力和建模能力，故在数学教学中应引起师生足够的重视. 为了提升学生解决应用题的能力，在教学中应重视培养学生良好的阅读习惯和分析能力，只有会阅读懂分析，才能通过科学的建模使题目更加简单化、直观化和熟悉化，这对学生综合素质的提升带来了新的挑战.

在素质教育的影响下，学生的数学应用能力有所提升，然长期受功利教育的影响，学生的大多时间不是上课就是刷题，生活经验较少，对于生活中的数学往往关注较少. 因此在教学中，教师要多选取与学生紧密相连的问题进行渗透，让学生在解题的同时领悟数学的真正价值，从而实现“以用促学”的目的. 基于此，为了让学生在面对不同的生活问题时可高效地应用不同的解决策略，笔者结合教学实践，谈谈几点关于应用题的解答策略，供参考.

[⇩] 化归转化

数学应用题较其他题型的文字信息较多，然学生在数学学习时习惯于对数学符号、数学公式等简单明了的数学语言的解读，面对较多文字信息的干扰容易产生畏难情绪. 为此，在解决文字较多的数学应用题时，教师要引导学生找到问题的中心思想（关键词），从而进行化归转化，逐层突破.

案例1 某公司因经济效益下滑，为节省开支欲实施裁员. 若该公司共有2a名职工（140<2a<420），每人每年为公司创造的平均效益为b万元. 实施裁员后，每裁1人，则每名留岗职工将为公司每年多创造0.01b万元的效益，然实施裁员每年公司需支付给每名离岗职工0.4b万元的补贴. 若保证留岗职工不少于总人数的前提下，你认为该如何设定裁员人数才能保障公司实现利益的最大化？

题目解析：从已知中可以发现，本题中有a，b两个变量，将a，b从复杂的文字中提取出来并将其与已知建立联系是解决本题的关键. 本題不妨设裁员x人，每年会获得y万元的经济利益，则有y=（2a-x）（b+0.01bx）-0.4bx. 由此，将关键信息提取后，原问题就转化为了学生熟悉的二次函数问题，解题思路更加清晰，问题更加熟悉、简单.

本题是一个典型的数学应用问题，与生活息息相关，容易激发学生探究的热情. 在解决问题时通过抓取关键词将较复杂的逻辑关系用已知量和未知量表示出来，通过化归转化使问题更加清晰和简单. 同时，解决此类问题时学生习惯于应用函数、方程或不等式，显然本题应用函数较其他两种方法有着明显的优势，因为函数图像可以给学生提供更加直观的信息. 另外，值得注意的是，学生在提取关键词时应找好变量，利用好已知条件，围绕关键词进行建构，可有效地提高问题转化效率和解题效率.

[⇩] 数形结合

数形结合在数学学习中有着较广泛的应用，如求物体体积时常与立体几何知识相结合，解决增长率问题时常与等差数列或等比数列相结合，求最值问题时常与不等式、函数等相关知识相结合，涉及路程计算时常与方程相结合，等等. 这样在解决复杂、陌生的生活问题时，与熟悉的数学符合、数学图形相结合，往往会获得意外的惊喜.

案例2 某城区监测中心设置了A，B，C三个监测点来监测城市噪音（A监测点在正西，B监测点在正东，C监测点在正北），为做到及时追踪及时监管，三个监测点将定时发送数据到监测中心. 某天上午10时左右三个监测点都监测到了汽车鸣笛声，C站检测员和A站监测员同时听到了汽车鸣笛声，而B站监测员延迟3 s后听到了该鸣笛声. 若已知A，B，C三个监测点与监测中心的距离均为1524米，声音在空气中的传播速度为320 m/s，你能根据监测的数据判断出鸣笛声的具体地理位置吗？

题目分析：本题文字内容较多，若直接求解不仅抽象而且较复杂，故需要进行转化. 由已知分析可以将其转化为双曲线，故假设监测中心为坐标原点O，则A，B，C三个监测点的坐标分别为A（-1524，0），B（1524，0），C（0，1524）. 令鸣笛声发出的位置的坐标为K（x，y）. 因为A，C两个监测点同时监测到了鸣笛声，所以KA=KC，所以K在AC的垂直平分线KO上，KO的方程为y=-x. 又B监测点在3秒后听到了鸣笛声，故KB-KA=960. 将复杂的文字内容转化为了双曲线后，已知条件变得一目了然，解决问题自然就水到渠成了.

[⇩] 数学建模

解答应用题时往往需要通过阅读文本信息将实际问题进行提炼，进而抽象为具体的数学问题，通过对文本信息的再加工、再抽象建立起数学模型. 在此过程中，要善于抓住问题的核心和本质，进而将看得到、摸得着的生活问题转化为抽象的数学知识，以此提升解决实际问题的能力. 数学建模在生活中有着广泛的应用，而应用题又与生活紧密联系，因此在解决应用题时应用数学建模往往会获得柳暗花明的效果.

案例3 上午9：00，有12名旅客要赶往距宾馆40 km的火车站乘火车，火车发车时间为12：15（火车发车前15分钟将停止检票），若步行的速度为4 km/h，显然仅靠步行很难到达火车站. 现宾馆提供了一辆5座小汽车，若汽车的速度为60 km/h，问：12名旅客是否可以按时赶上火车呢？

题目解析：该题目看似简单，却蕴含着复杂的信息，因为题目并未明确12名旅客如何搭乘汽车，因此在解决此应用题时需要通过假设来建立数学模型.

方案1：仅以汽车接送. 因为有12名旅客，所以汽车需要跑3趟，由已知可以分析出汽车总共需要行驶200 km，则所需时间为200÷60=>3，因此该方案显然无法按时赶上火车.

方案2：步行+汽车.

第一趟：设汽车往返的时间为x h，则4x+60x=40×2，解得x=1.25（h）;

第二趟：设汽车往返的时间为y h，由于8名旅客步行了1.25 h，旅客的步行速度为4 km/h，此时8名旅客步行了5 km，所以4y+60y=35×2，解得y=≈1.09（h）.

第三趟：此时4名旅客又走了1.09 h，故距离火车站35-×4≈30.63（km），汽车行驶的时间为30.63÷60≈0.51（h）.

综合而言，總共花费的时间大约为1.25+1.09+0.51=2.85（h）.

虽然方案2可以让12名旅客按时赶上火车，但是时间较紧，在实际生活中往往可能会出现一些意外状况，如遇上红绿灯、堵车、上下汽车等都需要时间，因此需要尝试更快的方案. 从方案2可以看出，第一趟和第二趟到达火车站的旅客有较长的时间是在等待的，若可以让3批旅客同时到达火车站显然可以节省较多的时间. 因限于篇幅，在此不进行细致的分析，笔者在设计方案3时引导学生采用数形结合，先将具体步骤图形化，再将图形代数化，采用列方程组的方式进行求解，最快可以在2.53 h后到达火车站.

可见，通过数学建模，分情况进行假设可以为问题的解决带来多种可能和便利. 那么，为了保障数学建模的顺利实施，笔者认为还应注意以下几点：第一，会梳理. 虽然高中数学章节有着明显的划分，然其并非毫无联系，数学各知识点之间往往存着千丝万缕的联系. 因此，教学时应放眼于整体和全局，将知识点有效进行串联，树立宏观意识. 第二，会阅读. 在教学中发现有些学生基础知识较好，然在解决应用题时常常感觉吃力，出现此现象的原因主要是学生不会阅读. 面对较多文字信息的干扰，若阅读能力差，学生缺乏抽象概况能力，难以看清文字所要表达的数学知识和数学思想，故在数学建模时常常碰壁. 第三，会创新. 因思维方式不同，学生掌握知识的水平不同，其数学建模能力也不同，因此教学中，在培养学生数学建模能力时应引导学生多角度观察、多方位思考，通过细心引导使学生从简单模仿到大胆尝试再到创新，逐步提高建模的准确性和高效性，进而提升解题能力.

总之，在数学教学中提升学生的应试能力固然重要，然若不能联系生活实际，不能让学生体验数学的真正价值，学生在数学学习时往往会出现厌倦心理和消极情绪，这显然不利于学生学习能力的提升. 因此教学中要利用好应用题，让学生在解题中充分感受“学以致用”的乐趣，从而激发学习动机，提升学习兴趣.