HPM视角下提高学生数学学习兴趣的路径

文/林 杰

引 言

数学史与数学教育（History and Pedagogy of Mathe-matics，简称HPM），即将数学教育与数学史相结合，是当前数学教育领域的重要研究课题。众所周知，兴趣是激发学生参与教学活动最有效的驱动力，尤其对于高中生而言，在学习数学时更需要兴趣的激发。高中数学教师可在适当条件下为学生展示生动有趣的数学史，引领学生收集、整理与数学课程有关的资料，调动学生参与探究数学知识的积极性和主动性，在提高数学教学效率的同时培养学生自主探究和自主学习能力。

一、合理设置问题

问题式教学是课堂教学常见模式之一，即引领学生围绕问题开展各项学习活动，优化学生学习方式，促使学生成为探究数学知识的发现者和分析问题、解决问题的主体，逐渐消除对教师的依赖性，真正实现独立探究学习。在问题式教学中融入HPM教学模式能使传统教学散发活力，调动学生数学学习的积极性和主动性，提高教学效率。教师巧借数学史能帮助学生体验和感悟数学学习过程，二者结合有助于强化学生的学习探究能力。高中数学教师在教学中可借助HPM理念，提出与数学史有关的问题，使学生从知识接受者的角色转变为数学家的角色，在丰富教学内容的同时，引导学生串联和深入探究知识，使其学习更具有连续性。例如，在学习函数知识时，数学教师可结合HPM模式指导学生从函数知识萌芽与发展历程等方面提出以下问题：“函数思想的起源有哪些？”“函数表现形式如何发展？”“函数不同表现形式的优缺点？”“如何在函数中应用函数思想？”学生通过一系列问题，详细了解函数发展与变迁史，深入理解和掌握函数的内涵与外延，为灵活应用函数思想和知识奠定坚实基础。

二、讲解数学进程

了解数学概念演变历程能帮助学生较好地理解所学概念，并学会运用已有知识分析和解决实际问题，而非单纯学习已形成结论的知识。教师在教学过程中不能简单为学生呈现已有结果，而是需要使学生了解与数学知识概念有关的历史过程，降低学生理解知识的难度，提高学生的学习效率。以导数教学为例，教师在设计教学案例时可从数学发展史、贴近学生实际生活的现象及学生已有的学习经验三个方面着手，突出切线的几何意义这一重点和难点知识，在此过程中淡化极限的定义。设计该章节教学内容时，教师可围绕以直代曲知识内容展开讲解，充分利用现代信息技术优势，促使学生充分理解切线知识概念。上述教学方式有以下特征：其一，教师基于学生经常遇到的现实生活情况和已掌握的幂函数知识两方面引入新知，吸引学生注意力；其二，教师通过发挥数学信息软件局部放大功能，引领学生高效理解和掌握重难点知识；其三，教师在整个教学过程中穿插数学史，并融入切线概念发展历程，有利于提升学生的数学文化素养。一般学生在学习该章节知识之前已学习圆与圆锥曲线知识，也初步感悟曲线切线并学会运用代数方式对曲线和曲直线是否相切进行判断。学生在现实生活中，观察透镜反射现象，能发现曲线法线与切线间的联系，更好地理解切线的概念。与此同时，学生在学习导数知识时普遍存在难以理解以直代曲过程的问题。因此，教师可借助信息技术软件附带的局部放大功能，为学生呈现曲线变化趋势，然后再借助实际动手操作，让学生体会割线靠近切线的过程。

三、展现数学趣味

高中数学和小学、初中阶段相比，符号、定理、公式等知识更加抽象，如果教师适当渗透与所学知识有关的背景知识或发展历程，学生了解知识形成过程后，就能深入理解和高效掌握所学知识，甚至还会改变以往对数学学科的错误认知。集合属于原始概念，但何为原始概念？教师可为学生列举几何图形中的点、线、面，将其称作“原始概念”。若将“点”定义为无大小对象，该如何定义大小？在定义大小概念时又会回到点的定义，再运用点定义点则会出现思维逻辑错误，所以在几何知识中不能对点再进行定义，线、面也是如此。与此同时，语言是沟通交流的工具，集合语言也是数学交流中不可缺少的工具。其中，集合论由德国数学家创立，当前集合概念与方法出现在数学学科各个章节，称为学习数学知识的基础。高中数学教师在课堂教学中花费数分钟为学生讲解知识背景，能在一定程度上达到活跃气氛的目的，并加深学生对集合概念的理解。此外，集合是高中数学教材的首要章节，通过该章节的学习，学生能迅速掌握高中与初中数学的差异，明确高中数学知识更加深刻、严谨与抽象，为后续学习做好铺垫。

在高中数学教学中融入数学史，能有效提升学生的数学素养，在潜移默化中培养学生实事求是的态度、理性精神及求真信心，帮助其养成良好的思维习惯。现代教育认为，教师在教学中应为学生营造生动、愉悦的学习气氛，使学生在此氛围中快乐学习，实现真正意义上的寓教于乐，渗透数学史时同样如此。以补集知识为例，教师在教学时可以为学生讲述一则有趣的笑话，让学生在有趣的小故事中充分理解集合知识，激发潜在的知识探究兴趣。数学学科涵盖较多抽象的定理、概念等知识，学生在理解和学习时难免会遇到一定的困难，教师如果在课堂教学中融入数学定理和概念形成历史，会促使学生加深对数学知识的理解，降低数学知识难度，提高学习效率。概率论从诞生之际就受到很多数学家的关注，然而在较长一段时间中，针对概率论的研究都集中于古典概型，直至法国博物学家的出现，才将有限的概率论研究范围扩大至无限，从古典概型延伸至几何概型。对此，数学教师在讲解几何知识时可基于布丰投针问题展开，运用多媒体为学生展现布丰实验操作过程，再让学生利用课余时间收集和布丰实验有关的资料并进行相互讨论分析，使学生体验和感悟数学家们在分析和解决此类问题时运用的思维方式，然后比较不同年代数学家应用布丰的方式开展的投掷试验，由此发现意大利数学家拉兹瑞尼于1901年得出的实验结果和圆周率π最接近。当学生了解布丰投针试验后，教师再播放小视频，促使学生了解几何概型发展史。坚持不懈的数学家们在深入研究中不断推广经典的投针实验，并运用圆形代替线段开展多次实验，最后得出几何概型。最后，教师再归纳总结该章节知识，引领学生掌握几何概型特征与概率计算公式，积极鼓励学生在课下尝试并动手实验，深入体会几何概型的意义[1]。如此一来，整堂课氛围活跃，学生探究知识兴趣浓烈，深入地理解和掌握了知识点，同时提高了学生自主探究学习能力。

四、精讲相关例题

传统高中数学教学中，直接讲解相关例题很容易使学生产生枯燥感。将HPM理念融入例题讲解中，可在一定程度上增强数学学习趣味性，提升学生的听课兴趣，驱使其更加主动积极地思考。讲解相关例题时教师应做好充分准备，积极查阅相关资料，将例题内容与数学史有机地整合在一起，使学生在了解数学史的同时，巩固所学知识，掌握分析数学问题的思路。同时，教师在例题讲解时应注重展示相关数学家的图片及与之相关的教学视频等，而后自然过渡到例题讲解中，如此可给学生带来耳目一新的感觉，使其更加自觉地集中注意力听讲。

例如，在讲解导数知识时，教师可为学生介绍19世纪丹麦数学家琴生在数学上取得的成就，尤其在函数凹凸性与不等式的研究上，他提出很多宝贵意见。而后，教师结合导数知识，讲解如下例题：已知f′（x）是函数f（x）在（a，b）上的导函数，f′′（x）是f′（x）在（a，b）上的导函数。若在（a，b）上f′′（x）＜0恒成立，则称函数f（x）是（a，b）上的“严格凸函数”，称区间（a，b）为函数f（x）的“严格凸区间”。给出以下命题，其中正确的有______；

（1）函数f（x）=-x3+3x2+2，在（1，+∞）上为“严格凸函数”；（2）函数f（x）=的“严格凸区间”为（0，；（3）若函数f（x）=ex-xlnx-x2在（1，4）为“严格凸函数”，则m的取值范围为（e-1，+∞）。

在该章节教学中，教师从琴生在数学上取得的成就切入，自然过渡到导数知识的学习中，而后讲解对应例题更容易吸引学生的注意力，使其更加专心地听讲。学生从给出的“严格凸函数”“严格凸区间”两个概念入手，不难判断相关结论的正确性。

五、开展专题训练

训练是高中数学教学的重要环节，在帮助学生更好地理解与掌握所学知识方面具有重要意义。教学实践中，教师应注重在训练环节中融入HPM理念，使学生了解更多的数学史，扩充其知识面，逐渐培养其学习数学的兴趣。在训练时，教师应做好习题的精挑细选，既要确保习题能够检验学生所学知识的掌握情况，又要能够激发学生的学习积极性与学习潜力，使其能够主动克服训练过程中遇到的困难，同时自觉地总结与弥补训练中的不足，尤其是总结学到的新知识、新技能，有利于日后更有效地解题。

例如，在讲解数列知识时，教师可为学生讲述意大利著名数学家斐波那契研究兔子繁殖时，发现斐波那契数列的故事，增强学生学习趣味性的同时，更好地拓宽其视野。同时，教师结合有关数列方面的知识，为学生展示如下问题，要求其思考作答，更好地锻炼学生灵活迁移所学分析新问题的能力[2]。斐波那契数列是这样的数列，1，1，2，3，5，……从第3项开始，每个数等于它前面两个数的和。若该数列记为{an}，Sn为数列{an}的前n项和，则以下结论中不正确的是（ ）。

教师讲述斐波那契数列的发现过程，在拓宽学生知识面的同时，能很好地锻炼学生的逻辑推理能力。学生根据斐波那契数列特点，以及从所学的等差、等比数列中获得的启发，很容易推理出a6=8，a7=13，易求得S7=33；根据有关斐波那契数列的描述可知其满足an+2=an+1+an，两边均进行累加得到：a3+a4+...+an+2=（a2+a3+...+an+1）+（a1+a2+...+an），即Sn+2-2=（Sn+1-1）+Sn，即Sn+2=Sn+1+Sn+1；由a1=a2，a3=a4-a2，a5=a6-a4，...，a2019=a2020-a2018，可推出，a1+a3+a5+...+a2019=a2020；a12=a2a1，a22=a2（a3-a1）=a2a3-=a3a4-a2a3，...，a20192=a2019a2020-a2018a2019，即，a12+a22+a32+...+a20192=a2019a2020；综上只有B项是错误的。

结 语

总之，基于HPM视角下的数学教学能较好地激发学生潜在的学习兴趣，转变学生学习观念，使学生树立正确的学习态度，并体验和感悟数学学科特有的乐趣和魅力[3]。教师应借助HPM教学模式在激发学生学习兴趣的同时，使学生在参与课堂教学活动中深入理解所学新知，提高学习效率和质量。教师在此过程中需不断提升自身的数学素养，在教学中发挥指导和点拨的作用，避免学生在聆听数学史时过于关注故事而忽略其中的数学知识。数学史并非停滞不前，教师需引导学生运用发展的眼光看待数学史，如此学生才能以敬畏之心聆听数学史，提高学习质量，这对学生未来发展有着重要的现实意义。