核心素养下的高效课堂构建

谷伟伟

“函数的零点与方程的解”一课涉及数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想及从特殊到一般的思想方法等，深入挖掘这些思想方法有助于培养和提升学生的数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养，让学生体会从函数观点认识方程的思想，感受数学的应用价值，教学重点是通过探究得到方程的解与函数零点的关系及零点存在性定理，经历探究一应用一归纳的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般的思维方法，在利用函数图象解决问题的过程中，进一步领会数形结合的思想方法，难点是对零点存在性定理的深入理解与应用.高效课堂的构建需要教师优化教学设计，合理引导把握课堂节奏，进而让学生收获的更多，提高课堂效率.

1 复习引入，铺垫新课

问题的提出：方程Inx+2x -6=0有实根吗？若有，它有几个实根？

学习了今天的内容，你就能够解决这个问题，

请大家完成下列三个活动，

活动1解方程：x2 -2x-3=0.

活动2己知函数y= x2 -2x-3，若y=0，求实数x的值？

活动3画出函数图象：y=x2-2x-3.

思考3个活动之间有关系吗？

方程的根<=>函数的零点，

从图象上看，二次方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标，

从图象上看，二次函数的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标，

方程的根和函数的零点都是“数”，图象是“形”，实现了从数到形的转化，体现了数形结合的数学思想.

2 函数零点的定义

什么是函数的零点？

定义一般地，我们把使函数y=f（x）的值为0的实数x称为函数y=f（x）的零点，

思考任何函数都有零点吗？请举例，

二次函数是否存在零点应如何判断？（向形转化，看图象与x轴交点个数）

练习求下列函数的零点.

（1） y=2x-1;

（2） y = log2 x+1;

（3） y=|x-1|-2.

例1判断函数f（x）= X2 -2x-1在区间（2，3）上是否存在零点？

分析直接利用求根公式求出根，能否向“形”转化？请大家画出这个二次函数，仔细观察f（x）在区间（2，3）上的图象.在不算出根的情况下，你怎么知道这个根在区间（2，3）上呢？我们把区间（2，3）放大，在（2，3）上，记零点为x0，下面从形和数两个角度进行分析，因为零点x0在x轴上，所以它的函数值为0.因为函数f（x）在（2，x0）上的图象在x轴的下方，所以f（x）在（2，x0）上的函数值为负数，因为函数厂（x）在（x0，3）上的图象在x轴的上方，所以f（x）在（x0，3）上的函数值为正数，那么函数厂（x）在（2，3）上的函数值从下往上看应该是由负值逐渐变到0再逐渐变到正值，又因为二次函数在（2，3）上不间断，所以二次函数f（x）在（2，3）上的图象必然穿过x轴，即它必然存在零点，此时f（2）<0，f（3）>0.同理，函数f （x）在（-1，0）上的函数值从上往下看应该是由正值逐渐变到0再逐渐变到负值，所以函数f（x）在（-1，0）上的图象必然穿过x轴，即它必然存在零点，此时厂（-1）>;0，f（0）<0.而函数f （x）在（-2，-l）上由于没有这种变化，所以f（x）在（-2，-1）上的图形不能穿过x轴，因此它没有零点，

探究1如图1，单调函数在（a，b）上一定有零点吗？

由图知：函数要存在零点，必须是连续函数，而且两个端点值的乘积要小于0.

设计意图从特殊的函数——单调函数入手，分析函数零点存在的条件，

探究2若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图2是连续不断的一条曲线，而且不单调，若满足f（a）.f（b）<0，则y=f（x）在（a，b）上只有一个零点？

设计意图学生可能受探究1的单调函数的影响，认为函数存在零点的话，可能就只有1个，通过探究2，学生可以“生惑”，加深对“存在”的理解.

3 零点存在定理

定理若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不问断的曲线，且f（a）.f（b）<0，则函数y=f （x）在区间（a，b）上有零点，

注单调函数不一定有零点，如果有，一定只有一个零点;定理中的有零点可能不止一个，“存在”即至少一个的意思，

例2证明函数f（x）= Inx+2x-6在区间（1，3）上有零点，

证明∵f（x）的图象在[1，3]上不间断，

f（1）=一4<0，f（3）=ln3>0，

∴f（1）.f（3）<0.

∴f（x）在区间（1，3）上有零点，

变式函数f （x）=Inx+2x-6在（1，3）上有____个零点，

法1由例2知f（x）在区间（1，3）上有零点，且f（x）为（0，+∞）上的单调增函数，所以函数f（x）=Inx+2x-6在（1，3）上只有一个零点，

法2函数零点的个数就是方程Inx+2x -6=0根的个数，能否直接求出方程Inx+2x-6=0的根？Inx=-2x+6的根（数）转化为

交点的个数（由“数”向“形”）从图上能够直观发现：它们只有一个交点，且在（1，3）上，即方程在（1，3）上只有一个根，所以函数f（x）= Inx+2x -6在（1，3）上只有一个零点，

探究3若函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不问断的曲线，且函数y=f（x）在（a，b）上有零点，则f（a）.f（b）

生：f（x）=x2—1在（-2，2）上有零点，但f（-2）.f（2）>0;

师：说明该定理的逆定理不成立，

变式求定义在区间[0，3π]上的函数y=sin 2x的图象与y= cosx的图象的交点个数？

本例说明：两个函数的交点问题可以转化成方程的根的问题，

总结：函数的零点（数）问题处理方法，

①方程的根;（数）

②零点存在定理;（数）

③函数的零点或方程的根的问题可以转化成两个函数的交点问题;（形）

④方程的根<=>函數的零点→零点存在定理<=>两个函数的交点问题。（形）

思想方法函数与方程相互转化的思想，

参考文献

[1]焦志诚.核心素养下的高效课堂构建：“函数的零点和方程的解”[J].中学数学教育（高中版），2019 （6）：51-54

[2]章建跃.高中数学核心内容教学设计案例集（上册）[M].北京：人民教育出版社，2017（本文系教育部研究课题“基于数学概念教学的教材资源的整合和利用的行动研究”（课题编号：JC20190206）的研究成果之一）