初中数学函数专题复习课的实践与思考

鄢坚

百度百科中的系统观是指以系统的观点看自然界，揭示了自然界物质系统的整体性、关联性、层次性、开放性和动态性、自组织性，初中数学教学中谈系统观首先就是对数学研究对象的整体性把握，如：函数是初中数学课程中“数与代数”的重要内容，也是义务教育阶段学生比较难以理解和掌握的课程内容，所以在人教版的教材章节安排上体现整体性，在系统观下注重突出核心内容，重要数学概念和数学思想方法螺旋上升：第7章安排函数的起始章节——《平面直角坐标系》，通过章节学习引导学生认识到点坐标的功能：刻画位置，实现数与形的结合、将几何图形数量化;第19章《 一次函数》的教学引导学生认识函数学习的路径与方法，基于函数学习的已有经验继续第22章《一次函数》，第26章《反比例函数》，第29章《锐角三角函数》的函数学习之旅，其次就是对数学研究对象的关联性、层次性、动态性等的研究，如函数章节的学习又不同于别的章节学习一一这个知识板块涵盖了数学学科六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，如此丰富内涵的教材安排也就决定其专题复习课的实施路径：系统观认识“函数”，才能整体把握函数知识板块，渗透数学思想方法，提升关键能力，突出数学本质，重视理性思维，发展学生的数学学科核心素养，以下以“二次函数专题复习一一字母系数再认识”教学为例，谈谈函数专题复习课的实践与思考.

1 系统观下章节知识的再认识——理解数学问题本质

对《二次函数专题复习——字母系数再认识》可从核心知识、思维特征、思维载体、核心方法等方面展开，紧紧围绕字母系数a，b，c如何决定二次函数的图象与性质，通过课堂问题串的设计，用参数的眼光处理相关问题一一参数中的“定与不定”来探究和解决含字母系数的二次函数问题的思路与方法，整体把握知识、技能、思想方法、关键能力等，

教学过程设计：一种意识——数字系数与字母系数的函数问题的解题方法与策略是一样的

问题1判断抛物线y= -x2 +2x+1的开口方向，求出顶点坐标、对称轴，并判断顶点在坐标系中的位置，

问题2判断抛物线y=-x2 +2mx+1的开口方向，求出顶点坐标、对称轴，并判断顶点在坐标系中的位置，

师生活动教师引导学生通过解题体会数字系数和字母系数的函数问题的异同点：数字系数的函数问题结果确定，容易计算;而字母系数的函数问题结果可能出现多种情况且计算复杂度较高，能力要求高，相同点是解题方法与策略是一样的，其数学本质就是系数a，b，c决定函数图象和性质，系数a决定抛物线的开口方向和大小，系数b影响抛物线对称轴的位置，系数c确定抛物线与y轴的位置.

设计意图解题教学过程中借助问题串，深化对字母系数的本质理解.

2 课堂抓手的自然展示——渗透数学思想方法

函数的表示法之一是图象法，即通过图象上点的坐标反映变量之间的对应关系，这种表示方法把数量关系直观化、形象化，因此恩格斯说过：“笛卡尔变数的出现，是数学的一个转折点，从此运动和辩证法进入了数学，”数学的发展说明，函数与数形结合在数学发展中具有重要地位，数形结合在函数这个知识板块显得尤其重要，数与形的互补作用，体现两者的联系，突出两者间的转化对分析问题和解决问题的特殊作用，所以数形结合思想方法自然而然成为课堂抓手之一，发展学生的图形直观能力.

在解决含字母系数的函数问题时，消元思想的应用能使得“参数”化多为少，由繁入简，各个击破，解决了“引参”后的“消参问题”，成为课堂教学的另一抓手，在此过程中，消元法中的代入消元、加减消元、乘除消元的合理使用不仅带来解题上一锤定音的魅力，且能逐步积累学习经验、优化解题策略，发展学生的数学运算素养，

专题复习课的教学不能仅仅着眼于具体题目的具体解题过程，而应不断加深对数学思想方法的领会，从整体上认识问题的本质，数学思想方法的渗透是通过数学知识这个载体来体现的，对于数学思想方法的认识需要一个较长的过程，既需要教师的点拨，还需要学生自身的感悟和理解;既需要教材的渗透，也需要对教材理解后的专题复习课的强化，才能使学生能够顺势自然的理解，并能够灵活应用，

教学过程设计：两大抓手——数形结合、消元思想

问题3当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x - m）2+m2+1有最大值为4，则实数m的值是____.

变式1当m+1≤x≤m+2时，二次函数y=-（x—m）2+ m2+1有最大值为4，求实数m的值是____;

变式2当m+1≤x≤m+2时，二次函数y= -（x-1）2+ m2+1有最大值为4，求实数m的值是________________.

师生活动教师引导学生通过解题体会函数的思维载体——图形语言，符号化语言，描述性语言的相互转化，有图识图、无图画图，有图走遍天下，特别是含字母系数的二次函数增减性问题，需关注抛物线的开口方向和对称轴及自变量的取值范围，而对称轴的“定与不定”或自变量取值范围的“定与不定”，可以由“形”的直观和“数”的运算进行判断，体验数形结合带来解题事半功倍的魅力，在这过程中，教师需帮助学生完成好“对图象的描述”到“对函数变化情况的描述”的转换，发挥好图形直观的作用来突出重点，突破难点，发展直观想象素养，

设计意图解题教学过程中借助问题串，渗透数形结合思想方法，

问题4已知抛物线y= -（x- m）2 +m2 +1.探究：无论m为何值时，其顶点都在函数 ____的图象上，

解该抛物线的顶点坐标为（m，m2+1），

设

把①代入②消去m，得y= x2 +1.

無论t为何值，其顶点总在抛物线y= x2+1上，

师生活动教师引导学生通过解题体会消元法在解决含字母系数的函数问题中至关重要.一锤定音，但这之前的“引参”则必须建立在学生已有的认知基础上，引导学生如何“引参”——基于建立含参的横、纵坐标之间的关系出发（这是此题的难点所在），做好从一参到二参以及多参的过渡，强调未知向己知转化的程序化思想，再用“消参”来达到解决问题的目的，发展学生数学运算素养，

设计意图解题教学过程中借助问题串，渗透消元法.

3 核心方法的讲解——提升数学关键能力

专题复习需引导学生把本知识板块的相关知识点连接成线，形成网状的知识体系，另一方面运用数学的思维方式进行思考，注重理性思維，增强发现和提出问题、分析和解决问题的能力，进而获得数学活动经验，以专题复习课上综合题为例，通过解题教学三部曲：求什么，己知什么，怎么求？让学生意识到可以利用函数解析式研究函数性质，同样可以利用函数图象研究函数性质，综合运用函数的解析式，图象等知识分析具有实践性、综合性、探究性、趣味性的问题，能突出函数问题本质，提升数学关键能力，发展理性思维，

教学过程设计：三大关注—一核心方法+运算技巧+图形变换

问题5己知点A是二次函数y= x2 -2（m+2）x+2m+1图象的顶点.

（1）请判断该二次函数图象与x轴交点个数;

（2）无论m为何值，点A是否始终在某个固定的函数图象上？如果是，求此函数的解析式;如果不是，请说明理由;

（3）以A为一个顶点能作该抛物线的内接正AABC（B，C两点在抛物线上），请问：AABC的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值;若不是，请说明理由，

师生活动教师引导学生通过解题体会研究函数的核心方法：①利用解析式研究函数性质;②利用函数图象研究函数性质，而伴随而来的是运算技巧和图形变换，特别注意的是第（3）问中既然抛物线中以顶点O为顶点的内接等边三角形只与抛物线的开口有关，那么不平移到原点而是直接把抛物线移到任何位置，都能通过设参及消参来解决该问题，进而实现一题多解，多解归一，提升数学关键能力，发展数学运算素养、几何直观、逻辑推理、数据分析等核心素养，

设计意图解题教学过程借助问题串，提升关键能力，突出数学本质，注重理性思维.

4 思维导图的应用——反思、归纳、总结、提升

思维导图在初中数学函数专题课中对回归概念，理解本质，在系统观和核心素养引领下，围绕内容的功能，知识的结构、普适性的思想方法、解决问题的路径等函数章节知识的再认识作用极大;通过“一种意识”到“两大抓手”再到“三大关注”等教学环节的设计，揭示含字母系数的函数问题内涵，发现值得研究的问题，寻找求解问题的路径与方法，形成良好的问题意识和解题策略，发展关键能力和核心素养.

教学过程设计：课堂小结

师生活动教师引导学生通过两张思维导图（图5，图6），反思，归纳，总结，提升：《一次函数专题复习一一字母系数再认识》在问题解决中培养学生对问题的整体性把握，与一次函数、反比例函数、几何图形等多个知识点综合解决问题时，数形结合和消元法是解决问题的关键，

设计意图借助思维导图回归概念，理解本质，

结语从数学育人的出发点和归宿看，思维的教学就是培养学生的理性思维，发展学生的理性精神，作为专题复习课，其功能在于提升学生在知识、技能、思维层面上体现出来的数学素养，以教学内容的整体性为载体，重在梳理整合知识，感悟数学思想和方法;重在发展学生关键能力，提升核心素养，

参考文献

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[2]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018

[3]郭慧利.思维导图在初中数学复习课中的应用[J].数学大世界（上旬），2017 （2）：5-6

[4]涂爱玲.“一题一专题”中考专题复习课设计——以“探究二次函数中三角形面积问题”为例[J].初中数学教与学，2019 （16）：24-26