由圆锥曲线的对称性例谈高考复习

章海辉

近年来全国高考数学试题注重落实了立德树人根本任务，贯彻“德智体美劳”的全面发展教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用，本文以2012年福建省理科19题和2020年全国I卷理科第20题为例阐述高考试题的美育功能，当学生具备了一定的审美能力之后，又能帮助学生自己解决问题，相辅相成.

1 感曲线之美

圆锥曲线图形本身就具备了对称美和简洁美，如椭圆和双曲线就是关于坐标轴和原点对称，抛物线是关于对称轴对称，这是我们都能直观感受到它的对称美和简洁美，当我们深入研究直线和圆锥曲线的位置关系或者是直线过定点问题时，我们更加深入体验到了圆锥曲线对称美的内涵，下面以一道2012年福建省理科19题为例来说明：

（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标;若不存在，说明理由，

此题若进行常规的计算，会出现较大的思维量和运算量，不易得出正确结论，在充分利用圆锥曲线对称性后，我们能高效和准确地得出正确结论，进一步感受圆锥曲线的对称美.

2 悟解题之道

在解答2012年福建理科19题时，若没有利用椭圆的对称性，则需要进行极其复杂的运算，耗时且容易错;但借助于圆锥曲线的对称性，就能有效地简化运算并能迅速解出此题，这就为我们面对类似的题目时，提供了解题思路，下面以2020年全国I卷理科20题为例：

备注本题的解法包含但不限于以上兩种解法，但以上两种解法均从圆锥曲线的对称美的角度切入，简化运算，求得结论，解法1是设点P（6，m），然后所有涉及的相关点和直线均以含n的表达式表示，最后利用对称性来求解;解法2是设直线PA的斜率k，其所有涉及的相关点和直线均以含k的表达式来表示，最后也是利用对称性来求解，二者有异曲同工之效.

3 品数学之味

细细的品味着2020年全国I卷理科20题时，我们有如下思考：

首先，若直线x=6改为直线x=t（t>3或t< -3）时，我们发现此题的结论：直线CD过定点仍然成立，所以题目可改编为：右顶点，G为E的上顶点，AG.GB：8，P为直线x=t上的动点，PA与E的另一交点为C，P与E的另一交点为D.

（1）求E的方程;

（2）证明：直线CD过定点，

在解答此改编题时，我们仍然可利用圆锥曲线的对称性来进行求解，

其次，经过上面的思考过程之后，既然直线都可以改，那么椭圆的方程能不能改？利用对称性这一特点，经过一番演算之后，我们发现它仍然经过一定点，故题目改编如下：

（1）求椭圆C的方程.

（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C的外切圆为E.

（ i）求圆E的方程.

（ ii）在平面内是否存在定点Q，使得以PQ为直径的圆始终与圆E相切，若存在，求出定点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）设椭圆的右焦点为F，定点P（2，0），过点F且斜率不为零的直线，与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线x=2的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过一定点，并求出该定点的坐标.

（1）求r的方程;

（2）连接NS并延长交r于异于M的一点P，求证：直线MP过定点.

5几点思考

①平时在教学和学习过程中，我们留意收集类似的题目，从中得出一种通用的解法，然后利用该通法去解类似的题目，经过长时间的积累和沉淀之后，教学能力和解题能力必然有长足的提高，

②本文中涉及的从高考题感受到圆锥曲线的内在对称美，然后悟出解这种类型的方法，最后在应用此种方法去解类似的高考题，相辅相成;而且在这一过程中，学生的审美功能也能得到一定程度的提高，较好地落实数学教育的美育功能，期待有更多的教师在此方面有更多的研究成果，

③文中提到的2020年高考全国I卷·理20，我们还有很多思考需要展开，比如

（i）题目中的直线x=6能否改成任意一条直线Ax+ By+C=0，其结论是否仍然成立？

（ii）该题从涉及的各条直线斜率之间的关系作为切入点，是否也能正确求解？

此处不再展开，请各位读者自行研究