放缩来助力 同构展风采

蔡海涛 林晴岚 张洁

利用导数证明不等式问题在近年高考中经常出现，这类问题的求解时常因为借助一些较强技巧性的方法而致使难度大，本文以一道2020年莆田市高三质检试题为例，探究如何从放缩、同构两条路径出发，追寻破解之道，

评注 解法4的基本思路是從图形上对要证式子的直观说明，渗透了数形结合的思想，通过数与形的转化体现了要证不等式的几何背景及内涵，加深了学生对问题本质的理解，推理证明的思路同法2.

评注 第（2）问根据题意通过切线放缩，把问题转化为证明8x3—8x2 +5≤14x+9，构造函数h（x）=8x3-_8x2 -14x -4，接下来问题不难解决，利用切线放缩的方法要求学生具有一定的结构意识，放缩转化思想，构造函数策略，对代数式的直观想象及数学抽象的处理策略，

评注第（1）问求切线方程对第第（2）问的证明有一定的启示作用，把证明的问题转化为l x1 -x2|的最大值问题，设g（x2）=f（x1）=f（x2）=h（x4） =m，利用两条切线进行放缩，得到|x1-x2|

3 同构

同构往往是处理指对数函数跨阶函数式的证明，同构式需要构造一个母函数，即外函数，表示为h（x），这个母函数的特征为指对跨阶、单调性易

4 结语

利用导数证明不等式的类型很多，本文着重探讨通过放缩转化、同构函数的一些常见证明方法，苏步青说过“学习数学要学得精、深、透，学到的知识也就扎实、牢靠，”因此在教学中，教师应对试题多研究，关注试题的背景与内涵，关注试题的变式与拓展，这样的解题教学才能真正实现“做一题，透一点，通一类”，从而培养学生的思维，提升数学素养