基于TODIM和PROMETHEE II的概率不确定语言双边匹配决策方法

2022-05-11 05:47朱远芳汪新凡

湖南工业大学学报 2022年3期

朱远芳，汪新凡，周浪

（湖南工业大学理学院，湖南株洲 412007）

1 研究背景

双边匹配决策研究起源于D.Gale等[1]对婚姻匹配问题[2]的研究，具有广泛的实际应用背景，如人力资源管理中人员与岗位的匹配[3]、二手房交易过程中买方与卖方的匹配[4]、投资决策过程中投资者与企业的匹配[5]等。正因为如此，对于双边匹配决策问题的研究，不仅具有重要的理论意义，而且具有广泛的应用价值。

在双边匹配决策的实际过程中，由于客观事物的复杂性和人类认知的有限性，双方主体很难给出精确的评价值，而用语言术语集[6]来表达评价信息相对容易且符合实际。目前，有关语言术语集的双边匹配决策理论与方法研究得到了学者们的关注[7-10]。在许多复杂的决策问题中，决策者仅用单一的语言术语常常难以表达自己犹豫不决的定性意见，为了解决这类问题，R.M.Rodriguez等[11]提出用犹豫模糊语言术语集来表达评价信息。在有关犹豫模糊语言术语集的研究中，一般都默认决策者提供的语言术语具有同等重要性，但事实上，决策者可能会对语言术语评价值具有不同的倾向性，因而这些语言术语可能有不同的重要性程度。为刻画语言术语的不同重要性程度，Pang Q.等[12]提出用概率语言术语集来表达评价信息。概率语言术语集既能反映决策者利用模糊语言表达对于方案或者准则的犹豫性和模糊性，还可以反映每个语言术语的概率分布信息，在表达评价信息时比犹豫模糊语言术语集更加精细，其研究也被扩展到各个领域之中[13-14]。在概率语言术语集相关概念的基础上，Lin M.W.等[15]定义了概率不确定语言术语集（probabilistic uncertain linguistic term sets，PULTS）。相比于概率语言术语集，PULTS更为精细地反映了定性评价信息的模糊性、犹豫性和不确定性，表征出犹豫不确定性语言信息的概率特征，体现出特定对象所具有不确定语言评价值的不同重要性程度，从而所表达的决策信息更为详细、合理，使得在此基础上做出的决策更符合实际、更具有可信性和可行性。然而，目前关于PULTS的双边匹配决策研究尚未见报道。

交互式多属性决策（TODIM）方法是基于前景理论提出的一种交互式多准则决策方法，其特点是考虑了决策者的心理行为特征，比基于效用理论提出的决策方法更符合实际。其思路如下：首先，计算每个方案或准则的损益值，然后通过方案间的两两比较构建优势度函数；在此基础上，计算每个方案相对于所有方案的总体优势度，并依据总体优势度的大小对其进行排序。与前景理论不同，TODIM方法涉及的参数较少，计算更简便，且不用事先确定参照点。例如，R.A.Krohling等[16]提出了基于直觉模糊数的TODIM决策方法；王坚强等[17]将传统的TODIM方法扩展到属性值为多值中智数的环境中；张笛等[18]提出了一种基于直觉模糊偏好信息的TODIM双边公平满意匹配方法。但是，目前将TODIM方法应用于PULTS决策的研究也尚未见报道。

PROMETHEE（preference ranking organization method for enrichment evaluation）方法，是基于方案的两两比较的一种多目标决策方法，其主要包括PROMETHEE I和PROMETHEE II等方法。其中，PROMETHEE II方法由于定义了方案的净流量，可得到所有方案的完全序列，其思路如下：对于所有方案下的每一准则，由决策者按照自己的偏好为其选择或定义偏好函数，再以偏好函数和准则权重系数来计算两个方案之间的优势度，并以此求出每一方案的流入量、流出量和净流量，然后根据优势关系对方案进行排序。与已有的排序方法相比，该方法思路清晰并且简单易懂。目前，该方法已经被扩展到直觉语言决策[19]、犹豫模糊语言决策[20-22]及概率语言决策[23-25]的研究中。但是，目前将PROMETHEE II方法应用于PULTS决策的研究也尚未见报道。

基于以上分析，本文拟针对具有概率不确定语言信息的双边匹配决策问题，将TODIM方法和PROMETHEE II方法结合起来，综合利用它们的优势，提出一种基于TODIM与PROMETHEE II的概率不确定语言双边匹配决策方法，并进行算例分析，以期为解决准则值为概率不确定语言的双边匹配决策问题提供理论参考。

2 预备知识

2.1 双边匹配

双边匹配决策问题涉及双方主体，设A方主体集合为A={A1,A2, …,Am}，m≥2，其中Ai表示第i个A方主体，i=1, 2, …,m；B方主体集合为B={B1,B2, …,Bn}，n≥2，其中Bj表示第j个B方主体，j=1, 2, …,n。记I={1, 2,…,m}，J={1, 2, …,n}。

定义1[26-27]双边匹配定义为映射μ：A∪B→A∪B，且对于，μ满足如下条件：

1）μ(Ai)∈B∪{Ai}，μ(Ai)=Ai，则Ai没有匹配对象；

2）μ(Bj)∈A∪{Bj}，μ(Bj)=Bj，则Bj没有匹配对象；

3）μ(Ai)=Bj当且仅当μ(Bj)=Ai，此时称(Ai,Bj)为根据μ匹配确定的一个匹配对，并称根据双边匹配μ确定的匹配对的集合为匹配方案集，记为F。

2.2 双边匹配的满意性和公平性

设xij(i∈I,j∈J）是0～1变量：xij=0表示主体Ai与主体Bj不匹配，xij=1表示主体Ai与主体Bj匹配；αij为A方主体Ai对B方主体Bj的满意度，βij为B方主体Bj对A方主体Ai的满意度。

定义2[18]若μ∈F，且满足f(μ)=max{f(μτ)|τ=1,2,…,t}，则：

定义3[18]若μ∈F，且满足g(μ)=max{g(μτ)|τ=1,2,…,t}，其中当时，则称μ是双边公平匹配方案，称g(μτ)为双边匹配公平度。

2.3 PULTS及其相关概念

语言术语集[28]是一个由奇数个语言术语组成的集合，通常记为S={si|i=0, 1, 2,…, 2λ}。其中，λ为正整数，且满足以下两个特征：

1）有序性。如果L＞U，则sL＞sU。

2）互补性。如果L=U=2λ，则sL=neg(sU)。

定义4[29]设sL,sU∈S，L≤U，则称

1）S[L,U]=[sL,sU]为不确定语言变量；

定义5[15]设

定义7[15]设

为一给定的PULTS，令

其中

则称E(ε(P))为ε(P)的得分函数，V(ε(P))为ε(P)的精确函数。

利用得分函数E(ε(P))和精确函数V(ε(P))，可以对PULTS进行比较和排序。

定义8[15]给定两个PULTSε1(P)和ε2(P)，则有：

1）如果E(ε1(P))＞E(ε2(P))，则ε1(P)＞ε2(P)；

2）如果E(ε1(P))＜E(ε2(P))，则ε1(P)＜ε2(P)；

3）如果E(ε1(P))=E(ε2(P))，则

i）如果V(ε1(P))＞V(ε2(P))，则ε1(P)＜ε2(P)；

ii）如果V(ε1(P))=V(ε2(P))，则ε1(P)=ε2(P)；

iii）如果V(ε1(P))＜V(ε2(P))，则ε1(P)＞ε2(P)。

3 PULTS信息双边匹配决策方法

3.1 问题描述

针对上面描述的双边匹配决策问题，如何利用双方主体给出的对另一方主体的概率不确定语言信息εqij(P)和，考虑双边匹配满意性和公平性，构建匹配优化模型，获取有效的双边匹配方案，这是本文需要解决的问题。

3.2 方法与步骤

针对上述需要解决的问题，本文将TODIM方法与PROMETHEE II方法结合，利用TODIM方法计算各主体间的优势度，以优势度值作为PROMETHEE II方法中的优先函数计算净流量，并以此构建各主体的综合准则满意度。在此基础上，构建考虑满意性和公平性的双边匹配优化模型，进而获取双边匹配方案。主要步骤如下。

1）根据A方主体Ai给出的B方主体Bj在评价准则下的概率不确定语言信息εqij(P)（i∈I，j∈J，q∈Q），利用式（3）和式（4）计算得分函数E(εqij(P))和精确函数V(εqij(P))，并构建得分函数和精确函数矩阵，其中

3）利用式（9）计算概率不确定语言评价信息εqij(P)相对于εqik(P)的损益值H(εqij(P),εqik(P) )，构建损益值矩阵，其中

当εσij(P)≥εσik(P) 时，H(εσij(P),εσik(P) )表示收益；当εσij(P)＜εσik(P)时，H(εσij(P),εσik(P) )表示损失。

其中

且θ(θ＞0)是损失衰减系数，表示主体Ai和Bj的损失规避程度，θ越小表明主体Ai和主体Bj的损失规避程度越大。

类似地，利用式（15）和式（16）计算主体Ai相对于主体Al的优势度δj(Ai,Al)和主体Al相对于主体Ai的优势度δj(Al,Ai)，构建如下优势度矩阵式中

其中，

6）根据每个主体的流入量与流出量，利用式（23）计算出主体Bj的净流量φi(Bj)，构建如下净流量值矩阵：

其中

类似地，利用式（24）计算出主体Ai的净流量φj(Bi)，构建如下净流量值矩阵：

其中

7）利用式（25），根据主体Bj的净流量值计算综合准则满意度αij，构建如下满意度矩阵：

其中αij∈[0, 1]，且

αij反映了主体Ai对主体Bj的满意度，其值越大越好。

类似地，利用式（26），根据主体Ai的净流量值计算综合准则满意度βij，构建如下满意度矩阵：

其中βij∈[0, 1]，且

综合准则满意度Bij的值越大，表明主体Bj对主体Ai的满意度越大。

3.3 双边匹配模型

引入0～1变量xij，当Ai与Bj匹配时，xij等于1，否则等于0。根据上述问题的特点，构建如下双边匹配多目标优化模型M1。

（M1）：

在上述模型中，式（27）表示使A方主体的总体满意度最大化；式（28）表示使B方主体的总体满意度最大化；式（29）表示尽量满足双边匹配的公平性；式（30）表示A方主体中的每一个必须与B方主体中的某一个匹配；式（31）表示B方主体中的每一个与A方主体中的某一个或自身匹配；式（32）表示双边匹配数量约束的条件。

3.4 模型求解

对于模型M1中的目标函数，其量纲量级均一致，故采用线性加权和法，将其转化为如下单目标规划模型M2。

（M2）：

其中：ω1、ω2、ω3分别为目标函数Z1、Z2、Z3的权重系数，且满足ω1+ω2+ω3=1 ，ω1,ω2,ω3＞0。对于单目标线性规划模型M2，可以利用R语言、Lingo、Matlab等软件进行求解。

3.5 具体步骤

综上，可知基于TODIM和PROMETHEE II的概率不确定语言双边匹配决策方法的具体步骤如下。

Step 1根据双方主体给出的PULTS信息εqij(P)（i∈I，j∈J，q∈Q）和（i∈I，j∈J，ρ∈H），利用式（3）～（6），构建如下得分函数和精确函数矩阵：

Step 2利用式（7）（8）构建如下偏差矩阵：

Step 3利用式（9）（10）构建如下损益值矩阵：

Step 4利用式（11）～（18）构建如下优势度矩阵：

Step 5利用式（19）～（24）构建如下净流量值矩阵：

Step 6利用式（25）（26）构建如下满意度矩阵：

Step 7利用模型M1构建双边匹配多目标优化模型。

Step 8将模型M1转化为模型M2，求解模型M2，获得双边匹配结果。

4 算例分析

4.1 政企双边匹配问题

为了缓解基础设施融资压力，政府越来越多地鼓励私营企业参与公共投资项目。因此，PPP（Public-Private-Partnership）项目已成为政府当前基础设施建设的首选。由于该合作通常有较长的合同期，这使得参与者之间的关系比其他采购系统更加复杂，PPP模式的核心是通过政府和私营企业之间的合作来促进基础设施和公共服务。PPP项目的合作伙伴选择已从单一的最低价格赢得机制转变为多标准的决策机制，主要集中在项目风险分担机制、运作过程、资本结构选择等方面。私营企业的选择是建立良好PPP的关键。建立合作关系应以双方互利的情况为基础，而不是以私营企业的单方面选择为基础。PPP通常被认为是一种双赢机制，代表了公共部门和私营企业的资源和努力，同时也被认为是改变政府管理职能和实现治理现代化的有效途径。PPP项目的对接涉及政府和企业之间的双向选择，从而形成长期稳定的合作伙伴关系，最终使双方的满意度最大化。此外，由于政府和企业之间存在利益冲突，除了要使双方满意度最大化，还要尽可能使双方满意度的偏差最小，避免出现一方主体的满意度较高而另一方主体的满意度较低这种不公平现象。因此，双边匹配决策过程不仅应充分考虑政府和企业双方的满意性，还要兼顾匹配的公平性，以促进双方不仅达成合作而且实现双赢。

TS是一家政府采购服务机构，其有3个政府部门(A1,A2,A3)与3家承包公司(B1,B2,B3)需要进行双向选择，该中介机构根据收到的PPP项目中政府和企业双方提供的信息，对其进行一对一双边匹配，以使双方主体得到满意的匹配对象，获得最优的匹配决策方案。3个政府部门依据技术能力专业资格、管理经验共3个评价指标，对3家承包公司进行评价，并给出相应的概率不确定语言评价信息，具体如表1～3所示。3家承包公司依据政府可信度和投资回收率等2个评价指标，对3个政府部门进行评价，并且给出相应的概率不确定语言评价信息，具体如表4和表5所示。这里使用τ=6的语言评价集，即S={s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6}，其中s0为极差，s1为差，s2为较差，s3为一般，s4为好，s5为较好，s6为极好。

表1 在评价指标下主体Ai对Bj的评价信息ε1ij(P)Table 1 Evaluation information ε1ij(P) of subject Bj by Ai under evaluation index

C1 1 A1 A2 A3images/BZ_95_691_2146_1961_2344.pngB1 B2 B3

表2 在评价指标下主体Ai对Bj的评价信息ε2ij(P)Table 2 Evaluation information ε2ij(P) of subject Bj by Ai under evaluation index

表3 在评价指标下主体Ai对Bj的评价信息ε3ij(P)Table 3 Evaluation information ε3ij(P) of subject Bj by Ai under evaluation index

1 C 3 A1 A2 A3images/BZ_95_689_3041_1975_3244.pngB1 B2 B3

表4 在评价指标下主体Bj对Ai的评价信息Table 4 Evaluation information of subject Ai by Bj under evaluation index

C2 1 A1 A2 A3images/BZ_96_689_557_2006_756.pngB1 B2 B3

表5 在评价指标下主体Bj对Ai的评价信息Table 5 Evaluation information of subject Ai by Bj under evaluation index 2

C2 2 A1 A2 A3images/BZ_96_723_1008_1991_1207.pngB1 B2 B3

4.2 决策步骤

步骤1利用式（3）和式（4）构建得分函数矩阵（如表6所示）和（如表7所示）。

表6 得分函数矩阵Table 6 Score function matrix

表7 得分函数矩阵Table 7 Score function matrix

步骤2利用式（7）和式（8）构建偏差矩阵（如表8所示）和（如表9所示）。

表8 偏差矩阵Table 8 Deviation matrix

Uq A1 A2 A3 B1 2.90 2.99 3.73 B2 1.95 2.19 3.01 B3 0.95 0.80 0.72 B1 0.01 0.05 0.82 B2 0.81 0.13 0.18 B3 0.82 0.18 1.00 B1 1.13 1.87 1.00 B2 0.87 0.20 0.06 B3 2.00 2.07 1.06 C11 C21 C31

表9 偏差矩阵Table 9 Deviation matrix

images/BZ_96_1304_1450_1354_1521.pngB1 B2 B3 A1 1.81 1.00 0.30 A2 0.58 0.05 0.06 A3 1.23 0.95 0.24 A1 1.07 1.80 0.13 A2 0.80 0.95 1.07 A3 1.87 2.75 1.20 C12 C22

步骤3利用式（9）和式（10）构建损益值矩阵（如表10所示）和（如表11所示）。

表10 损益值矩阵Table 10 Profit and loss matrix

Vq A1 A2 A3 B1-2.90-2.99-3.73 B2-1.95-2.19-3.01 B3 0.95 0.80 0.72 B1 0.01 0.05-0.82 B2-0.81-0.13 0.18 B3-0.82-0.18 1.00 B1 1.13 1.87 1.00 B2-0.87-0.20-0.06 B3-2.00-2.07-1.06 C11 C21 C31

表11 损益值矩阵Table 11 Profit and loss matrix

images/BZ_96_1307_2664_1350_2729.pngB1 B2 B3 A1 1.81 1.00 0.30 A2 0.58 0.05 0.06 A3-1.23-0.95-0.24 A1 1.07 1.80 0.13 A2-0.80-0.95-1.07 A3-1.87-2.75-1.20 C12 C22

步骤4利用式（11）～（18）构建优势度矩阵（如表12所示）、（如表13所示）。

表12 优势度矩阵和Table 12 Dominance degree matrix and

表13 优势度矩阵和Table 13 Dominance degree matrix and

步骤5利用式（19）～（24）构建净流量值矩阵（见表14和15）。

表14 净流量值矩阵Table 14 Net flow value matrix

Q A1 A2 A3 B1-3.78-2.62-4.32 B2-1.11-1.27-0.39 B3-0.25 00.29 00.39

表15 净流量值矩阵Table 15 Net flow value matrix

images/BZ_97_303_2046_339_2090.pngB1 B2 B3 A1-2.26-1.16-0.36 A2-2.48-2.64-1.60 A3 2.48 2.64 1.60

步骤6利用式（25）和式（26）构建满意度矩阵和（见表16和17）。

表16 满意度矩阵Table 16 Satisfaction degree matrix

R A1 A2 A3 B1 0.11 0.36 0.00 B2 0.68 0.65 0.20 B3 0.86 0.98 1.00

表17 满意度矩阵Table 17 Satisfaction degree matrix

images/BZ_97_304_3047_337_3088.pngB1 B2 B3 A1 0.93 0.72 0.43 A2 0.03 0.00 0.20 A3 0.97 1.00 0.80

步骤7使用线性加权和法将多目标优化模型M1转化为模型M2。为便于下文进行对比，取ω1=ω2=ω3=1/3，并且使用软件Lingo11.0求解，可得x13=x21=x32=1，其余xij=0。即政府部门A1与承包公司B3匹配；政府部门A2与承包公司B1匹配；政府部门A3与承包公司B2匹配。

4.3 对比分析

分别用TODIM方法、PROMETHEE II方法、文献[30][31]的方法及TODIM-PROMETHEE II法（不考虑公平性）对上述双边匹配问题进行求解，不同方法下得到的匹配方案见表18。

表18 不同方法得到的匹配方案Table 18 Matching schemes obtained by different methods

由表18可知，利用文献[30][31]的方法（文献[30]通过构建以最大化得分函数分值为目标的多目标双边匹配模型，进而得到最优的双边匹配结果；文献[31]通过构建以最大化规范化前景矩阵为目标的多目标双边匹配模型，进而得到最优的双边匹配结果）得到的匹配结果与本文方法的匹配结果一致，但这两种方法都没有考虑主体有限理性，且文献[31]中利用累积前景理论涉及的参数更多，较为复杂。而利用TODIM方法、PROMETHEE II方法以及TODIMPROMETHEE II方法（不考虑公平性）求解得到的匹配结果与本文方法的匹配结果并不完全一致。这是因为，TODIM方法虽然考虑了主体有限理性，但对决策属性间级别优先关系缺少考虑，可能会使得最终匹配结果存在差异；PROMETHEE II方法没有考虑主体有限理性，相应地会导致最终匹配结果存在不准确和不满意问题；TODIM-PROMETHEE II法在没有考虑公平性的情形下，缺少使得双方主体满意度偏差最小这一条件，不足以降低双方主体间的利益冲突，进而也会使得匹配结果可能存在差异。

本文方法在考虑公平性的情形下，通过将TODIM方法和PROMETHEE II方法结合，扬长避短，既考虑了主体有限理性心理行为，又避免了PROMETHEE II方法在计算净流量的过程中因为偏好函数选取不恰当从而造成最终的决策结果出现不够精确的可能。概率不确定语言术语集与TODIM方法结合是将决策者有限理性纳入决策的考虑范围，概率不确定语言术语集与PROMETHEE II方法结合考虑了决策属性之间的级别优先关系的情况。此外，公平性的考虑也避免了获得的双边匹配结果出现一方主体的满意度较高，而另一方主体的满意度较低的不公平匹配现象。因此，本文提出的考虑公平性的TODIM-PROMETHEE II方法更具有说服力，更适用于现实生活中的决策问题。

5 结语

针对概率不确定语言信息双边匹配决策问题，本文将TODIM方法和PROMETHEE II方法相结合，提出了一种基于TODIM-PROMETHEE II的双边匹配决策方法。TODIM方法考虑了主体的有限理性，但也存在缺陷，即准则之间存在互补性，对于被选择的一方主体而言，它的某个或者某些极好的准则评价值可弥补它的另外一个或者另外一些评价准则的缺陷，相应地就会导致决策结果的不准确和不满意；PROMETHEE II方法由于定义了方案的净流量，可得到所有方案的完全序。故本文方法发扬了两者的优点。此外，本文所提出的匹配决策方法思路清晰，具有较强的可操作性和实用性，为匹配决策问题研究提供了一条新途径。