太阳风湍流中局地背景磁场下的结构函数指数特征

吴红红，涂传诒，王 新，何建森，杨利平

1 北京大学地球与空间科学学院，北京 100871

2 北京航空航天大学空间与环境学院，北京 100083

3 中国科学院国家空间科学中心，北京 100190

0 引言

太阳风作为可以实地探测的磁化等离子体，是一个天然的磁流体湍流实验室（Tu and Marsch,1995;Bruno and Carbone,2013）.谱指数是湍流理论中重要的表征，而磁场在磁流体湍流中扮演着重要的作用.基于磁场方向的谱指数方向性特征是太阳风湍流能量串级过程研究的一个重要课题（Horbury et al.,2012）.Goldreich 和Sridhar（1995）指出磁流体湍流会维持在一个非线性相互作用时间与阿尔芬波动线性传播时间相等的临界平衡状态，由此建立了临界平衡串级理论.该理论预测垂直磁场方向的湍流扰动功率谱指数为−5/3，而在平行磁场方向上谱指数是−2.由于各向异性是一个局地特征，Podesta（2009）指出分析各向异性时应使用局地背景磁场.在对比理论和观测的谱指数各向异性时，一个核心问题是，在观测中如何精准地确定局地背景磁场的方向.

Horbury 等（2008）首次给出了基于小波变换分析的太阳风湍流谱各向异性的观测结果，与临界平衡串级理论吻合.为了确定与尺度相关的局地背景磁场的方向，他们将莫雷小波的振幅包络与磁场的时间序列相乘后求和.这个和大致可以理解为相应尺度上的局地背景磁场.此后，一系列工作将这个小波变换分析方法应用到不同的卫星观测数据（Podesta,2009;Wicks et al.,2011），仍旧得到了平行局地背景磁场谱指数为−2 的结果.然而，Wang 等（2014）使用相同的方法，但是去除了间歇数据后，得到了−1.63 的平行谱指数，证实了前人得到的−2 是间歇影响下的结果.真实的太阳风湍流平行谱指数接近−5/3.Wang 等（2016）仍旧使用小波变换分析，应用更严格的局地背景磁场平行条件，发现平行谱指数为−1.75，同样不接近−2.Wang 等（2015）仍旧使用傅里叶变换分析，应用更严格的局地背景磁场平行条件，发现所得到的小振幅扰动平行谱指数为−1.67，同样不接近−2.

Cho 和Vishniac（2000）首次引入两点的磁场平均作为局地背景磁场，而将两点的磁场差异用于计算二阶结构函数.接下来，有一系列工作采用了这一结构函数分析方法（Luo and Wu,2010;Chen et al.,2012;Mallet et al.,2016;Verdini et al.,2018），来获得结构函数指数（结构函数指数减一等于谱指数）的各向异性，且均给出了支持临界平衡串级理论的结果.然而，Wu 等（2020）在结构函数分析中，考虑了局地背景磁场的平稳随机性，通过一个简单的平稳随机判据将结构从太阳风湍动中分离出去后，平行局地背景磁场的磁场结构函数指数为−0.63，垂直局地背景磁场的磁场结构函数指数为−0.70，结构函数指数呈现出各向同性的特征.去除结构影响的太阳风谱各向同性观测结果不支持临界平衡串级理论在太阳风中的应用.

在结构函数分析中，有两种方法定义局地背景磁场：一是两点处的磁场平均Bl，二是两点间的磁场时间序列的平均B0.然而，这两种方法所定义的局地背景磁场的精确性还没有被讨论过.太阳风作为一种多成分的高超声速流，不仅本身处于复杂的多模式耦合状态，而且还经常遭受太阳活动的剧烈扰动，以致运用单一波模理论进行分析时，往往存在较大程度的不确定性，尤其是基于单一卫星探测数据的分析和处理.平行方向尤其容易受到太阳风中传输结构的影响，并且由于平行方向的磁场扰动振幅小于垂直的磁场扰动振幅，如果平行方向混入少量垂直方向的扰动，可能会使得平行方向指数发生较大的变化.因此，平行方向数据的挑选是否精确至关重要.精确的平行指数才能真实地反映太阳风中的指数各向异性.本文将讨论两个磁场定义的精确性，由此得到更加精确的结构函数指数.我们使用WIND 卫星的高速太阳风数据，分析了两个定义的差异，发现对同一对两点两个定义所得到的局地背景磁场方向可以相差几十度，表明用这两个定义得到的谱各向异性具有不确定性.为了分析结构函数指数的各向异性，我们挑选满足θVB<10o作为平行局地背景磁场Bl的样本，挑选满足θyB<10o（Bl与地心太阳黄道坐标系GSE 中y轴的夹角）作为垂直局地背景磁场Bl的样本，分别计算两组数据所得到的结构函数.为了减少不确定性，我们进一步要求上述两个定义得到的平均磁场Bl和B0之间的夹角ϕ小于10o.我们称ϕ<10o时的平行情况和垂直情况为精确平行和精确垂直.我们发现此时，速度和磁场的结构函数指数各向异性都很弱，与临界平衡串级的预测不同.

1 数据与方法

本文使用WIND 卫星在2005～2018 年期间，位于拉格朗日1 点时观测到的高速流数据，包括磁场探测器（Lepping et al.,1995）探测的磁场数据和三维等离子体分析器（Lin et al.,1995）探测到的等离子体数据.磁场数据和等离子体数据的时间分辨率均为Δ=3 s.对磁场时间序列中的每一对相隔时间τ的磁场数据B1=B(t)，B2=B(t+τ)，我们定义局地背景磁场为Bl=(B1+B2)/2，平均磁场为B0=，其中t'=t,t+τ，t+2Δ,…,t+τ，<>代表对时间的平均.于是可以计算Bl和B0之间的夹角ϕ.局地速度定义为Vl=(V1+V2)/2.于是可以计算Bl和Vl之间的夹角θVB以及Bl和GSE 坐标系中y轴之间的夹角θyB.

波数k是空间尺度r的倒数，由泰勒假设（Taylor,1938）可知，空间尺度与时间间隔之间的关系为r=Vlτ.我们将波数在10−4Mm−1

图1 显 示 了2008 年7 月12 日12 时 至2008年7 月16 日12 时持续4 天的高速流事件的时间序列.从速度的时间序列可以看出，每一时刻的速度都大于500 km/s；从密度的时间序列可以看出，密度在5 cm−3以内：这一段时间序列具备1 AU 处典型的高速流特征，且不存在明显的压缩或剪切特征.

图1 2008 年7 月12 日12 时至2008 年7 月16 日12 时持续4 天的高速流事件时间序列图.前三排为磁场的三分量，第四至第六排为速度的三分量，最后一排为密度Fig.1 Interval in the fast solar wind (2008 July 12 12:00:00 UT～2008 July 16 12:00:00 UT) observed by WIND spacecraft.The red lines are magnetic field components in GSE coordinates.The blue lines are velocity components in GSE coordinates.The black line is proton number density

图2 展示了在图1 所示的2008 年7 月12 日12 时至2008 年7 月16 日时持续4 天的高速流事件（速度约650 km/s）中，局地平行和局地垂直情况下，ϕ的概率分布.我们可以清楚地看到，局地平行和局地垂直情况下，ϕ的值均覆盖了从0～180°的整个区间，且均有相当多的样本具有大于10°的ϕ，表明两种局地背景磁场定义的差别可以相当大，ϕ平均值在20°左右.在图3 中，我们展示了局地平行（a）和局地垂直（b）情况下，样本数在k-ϕ平面上的分布以及平均的ϕ随波数k的变化.ϕ对空间尺度的依赖性非常明显：在小波数大尺度处的平均ϕ远大于大波数小尺度处的平均ϕ，在k=10−3Mm−1处ϕ≈20o，而在k=10−1Mm−1处ϕ≈3o，局地平行和局地垂直情况均如此.下文将分析这个尺度依赖性对结构函数指数的影响.

图2 2008 年7 月12 日12 时至2008 年7 月16 日12 时持续4 天的高速流事件中，ϕ 的概率分布图.局地平行的结果显示为红色，局地垂直的结果显示为蓝色.图中标注了ϕ 的平均值和标准差.虚线显示了ϕ=10oFig.2 Probability density function of ϕ measured in the local parallel (red) and local perpendicular (blue) directions with the averages and standard deviations shown in corresponding colors for a 4-day-long interval (2008 July 12 12:00:00 UT～2008 July 16 12:00:00 UT).The vertical dashed line is ϕ=10o,the threshold we distinguish the precise and non-precise measurements

我们还分析了在k=10−2Mm−1处所有样本的相对扰动振幅：δB/B0和δV/VA.δB/B0是所有空间尺度满足95 Mm <1/k<105 Mm 的样本的|δB|/|B0|的平均，δV/VA是所有空间尺度满足95 Mm <1/k<105 Mm 的样本的|δV|/(|B0|/√(μ0mpn0)的平均，其中mp代表质子质量，n0代表两点间的数密度时间序列的平均.我们在图3 下方展示了ϕ角随δB/B0(c)和δV/VA(d)的变化，包括ϕ角的分布和平均值.可以发现，大振幅扰动和中等振幅扰动所对应的平均ϕ远大于小振幅扰动的平均ϕ.

图3 （a）局地平行和（b）局地垂直情况下的样本数量在ϕ-k 平面上的分布.黑色点线代表不同k 处的平均ϕ.（c）k=10−2 Mm−1 处，所有样本在δB/B0-ϕ，黑色点线代表平均ϕ 角随δB/B0 的变化；（d）所有样本在δV/VA-ϕ 平面上的分布，黑色点线代表平均ϕ 角随δV/VA 的变化.注意图中横坐标从左到右是减小的Fig.3 (a) Distribution of ϕ measured in the local parallel (a) and local perpendicular (b) directions.Averaged ϕ are shown in the black dotted line.Distribution in the δB/B0-ϕ (c) and δV/VA-ϕ (d) plane.The black dotted line shows average ϕ with a dependence on δB/B0 and δV/VA.Note that the left side on the axis is larger

我们使用ϕ角来衡量局地背景磁场方向的精确程度.如果Bl和B0的方向相近，我们就认为局地背景磁场是精确的，否则就是非精确的.我们将ϕ角的阈值定为10o.于是我们就可以根据ϕ角的大小分别得到三组局地平行的磁场和速度结构函数：局地平行（0o<θVB<10o，0o<ϕ<180o），精确局地平行（0o<θVB<10o，0o<ϕ<10o），非精确局地平行（0o<θVB<10o，10o<ϕ<180o）；以及三组局地垂直的磁场和速度结构函数：局地垂直（0o<θyB<10o，0o<ϕ<180o），精确局地垂直（0o<θyB<10o，0o<ϕ<10o），非精确局地垂直（0o<θyB<10o，10o<ϕ<180o）.结构函数指数由10−2Mm−1

我们用上述方法，总共分析了81 个持续时间大于2 天的高速流事件（每一时刻速度均大于500 km/s）.分析结果在下一小节给出.

2 结果分析

图4 的第一排给出了一个典型高速流事件（2008 年7 月12 日12 时 至2008 年7 月16 日12 时，持续4 天）的磁场结构函数，第一列是平行结构函数，第二列是垂直结构函数.图4a 表明局地平行条件得到的磁场结构函数（蓝色）指数为−0.90.当把局地平行组进一步区分为精确局地平行组（红色）和非精确局地平行组（黑色），精确局地平行组的磁场结构函数指数变为−0.66.我们可以看到非精确平行的结构函数值在大尺度处与局地平行结构函数值相近，而精确平行的结构函数值在小尺度处与局地平行结构函数值相近，这与ϕ角随尺度的依赖性是吻合的.图4b 则显示局地垂直的磁场结构函数指数为−0.67，当要求精确垂直时，磁场结构函数指数变为−0.59.图4 的第二排显示了同一个事件的速度结构函数，图4c 表明要求精确局地平行后速度结构函数指数从−0.75 变为−0.52，而图4d 表明要求精确局地垂直后速度结构函数从−0.61 变为−0.49.考虑ϕ的值后，所有的结构函数都变得更加平缓，结构函数指数变大.所有的非精确结构函数指数都显示出平缓的特征，非精确的样本其本质需要进一步研究.Yang 等（2021）利用数值模拟方法，研究了在局地平行情况下，大尺度结构对结构函数指数各向异性的影响.Yang 等（2021）发现去除结构影响后，指数的各向异性大为减弱，且去掉的结构中，1/3 是切向间断面，1/3 是旋转间断面.这一结果是否与观测相符，仍待进一步分析.

图4 一个典型高速流事件（2008 年7 月12 日12 时至2008 年7 月16 日，持续4 天）的磁场结构函数.（a）局地平行结构函数，蓝色、红色和黑色分别指代局地平行（0o <θVB <10o，0o <ϕ<180o）、精确局地平行（0o <θVB <10o，0o <ϕ<10o）和非精确局地平行（0o <θVB <10o，10o <ϕ<180o）的结果，其在10−2 Mm−1

为了更明确地显示方向精确与否对谱指数的影响，图5a 显示了ϕ取不同的阈值ϕc时，即在ϕ<ϕc的条件下，平行和垂直的磁场结构函数指数随ϕc的变化.研究发现，随着ϕc的减小，平行指数受到的影响更大，平行和垂直指数渐趋接近，也就是当方向确定趋于精确，结构函数指数的各向异性大为减弱.同时在图5b 给出了在精确局地角度条件下，磁场结构函数指数随θVB的变化，用红线显示.红线表明，此时，结构函数指数的各向异性较弱.而完全不考虑精确局地角度条件得到的指数（由蓝线显示）则在θVB接近0°也就是平行情况下的结果，远小于θVB接近180°也就是垂直情况的结果，表现出很强的各向异性.

图5 （a）一个典型高速流事件（2008 年7 月12 日12 时至2008 年7 月16 日，持续4 天）在ϕ<ϕc 的条件下计算得到的磁场结构函数指数，红色是局地平行的结果，蓝色是局地垂直的结果.（b）同一高速流事件的结构函数指数随θVB 的变化，红色是ϕ<10o 也就是精确方向的结果，黑色是ϕ<180o 的也就是不限制方向精确与否的结果Fig.5 (a) Scaling indices of the magnetic-trace structure functions estimated in the range 10−2 Mm−1

图6 给出了81 个高速流事件的结构函数指数的统计分布.第一排是磁场的指数，第二排是速度的指数.对磁场结构函数，局地平行和局地垂直的指数平均值及其方差分别为−0.84±0.14 和−0.64±0.11.当要求精确局地平行和精确局地垂直时，指数平均值及其方差分别变为−0.67±0.11 和−0.55±0.10.而对于速度结构函数，局地平行和局地垂直的指数平均值及其方差分别为−0.71±0.18 和−0.54±0.10.当要求精确局地平行和精确局地垂直时，指数平均值及其方差分别变为−0.55±0.18 和−0.46±0.09.所有的非精确结构函数指数都相对接近于0.

图6 81 个高速流事件的磁场结构函数指数分布.（a）局地平行结构函数指数，蓝色、红色和黑色分别指代局地平行（0o<θVB <10o，0o <ϕ <180o）、精确局地平行（0o <θVB <10o，0o <ϕ <10o）和非精确局地平行（0o <θVB <10o，10o <ϕ <180o）的结果，其分布的平均值和标准差用相应颜色显示.（b）局地垂直结构函数指数分布，蓝色、红色和黑色分别指代局地垂直（0o <θyB <10o，0o <ϕ <180o）、精确局地垂直（0o <θyB <10o，0o <ϕ <10o）和非精确局地垂直（0o <θyB <10o，10o <ϕ <180o）的结果，格式同图（a）.（c～d）同一事件的速度结构函数指数分布，格式同图（a～b）Fig.6 Probability density function of the magnetic-trace structure function scaling index.Blue,red,and black colors correspond to the local,precise and non-precise parallel (a) and perpendicular (b) groups.The averages and standard deviations of the scalings are shown in corresponding colors.(c～d) Probability density function of the velocity-trace structure function scaling index with the same format as the top panels

我们在图7 中展示了81 个高速流事件中k=10−2Mm−1处相对扰动振幅δB/B0和δV/VA的分布.精确平行或垂直的样本，其相对扰动振幅明显小于非精确平行或垂直的样本.这一结果表明，非精确平行或垂直的样本中包含有较多大振幅扰动的结构，恰是这些结构的影响，影响了结构函数指数的确定.然而，不管是磁场还是速度，精确平行样本的平均相对扰动幅度都大于0.1，表明在k=10−2Mm−1尺度处，扰动至少是中等振幅的，补充了Wang 等（2015）对小振幅扰动的各向异性分析的结果.图中的结果显示，对各组样本，磁场的扰动振幅大于速度的扰动振幅，且磁场扰动振幅的方差也更大一些.

3 结论与讨论

我们使用WIND 卫星在拉格朗日1 点处观测到的高速太阳风数据，利用结构函数分析方法，讨论了结构函数指数的特征.我们先对一个持续时间长达4 天的高速流事件做个例分析，然后了对81个高速流事件做统计分析.我们首先展示了两点平均的磁场和两点间时间序列平均磁场之间的夹角ϕ的概率分布，我们发现ϕ角可能的取值覆盖到0～180°，且不管是平行还是垂直，ϕ角的平均值都高达20°.这一结果表明，在结构函数中，局地平行或者局地垂直的情况都具有一定的不确定性.基于局地平行或者局地垂直所得到的谱指数的各向异性，可能并不代表太阳风湍流的真实情况.我们看到ϕ随尺度的增大而增大，这个尺度依赖性就必然会影响结构函数指数的大小.如果不考虑ϕ角的大小，局地平行的结构函数指数为−0.9，也就是局地平行的谱指数为−1.9，与临界平衡串级理论所预测的−2 非常接近.然而，图4 显示，局地平行的结构函数与非精确局地平行的结构函数在大尺度上接近，与精确局地平行的结构函数在小尺度上接近，充分说明，非精确函数对局地平行结构函数的影响，主要发生在较大尺度.为了减小这一影响，我们采用限定ϕ角在10°以内的方法，计算精确局地平行的结构函数.此时，我们发现，精确局地平行的结构函数指数变为−0.66，相当于谱指数−1.66，与著名的流体湍流的Kolmogorov 定律所预测的−5/3 相近（Kolmogorov,1941）.

为了进一步验证个例分析的结果，我们对81个持续时长大于2 天的高速流事件做了统计分析.局地平行和局地垂直的结构函数指数结果与Chen等（2012）以及Verdini 等（2018）利用结构函数方法所得到的结果相近.然而，当限制ϕ角在10°以内后，结构函数指数有所变化.精确局地平行和精确局地垂直的磁场结构函数指数分别为−0.67±0.11 和−0.55±0.10，精确局地平行和精确局地垂直的速度结构函数指数分别为−0.55±0.18 和−0.46±0.09.平均的相对扰动振幅在0.2～0.4 之间.也就是说，中等振幅扰动的磁场结构函数的平行指数接近−5/3，垂直指数接近−3/2；中等扰动振幅的速度结构函数的平行指数和垂直指数都接近−3/2.这些结果与去除结构后的结构函数指数接近（Wu et al.,2020），与去除间歇后的小波谱指数也相近（Wang et al.,2014）.我们的这些结果不能由现有的磁流体湍流理论解释，为进一步揭示太阳风湍流的非线性能量传输机制提供观测基础.

数据与来源

本文数据来自https://cdaweb.gsfc.nasa.gov/index.html/.

致谢

感谢北京大学王玲华研究员和英国穆拉德空间科学实验室Daniel Verscharen 博士对本文工作的建设性意见和建议.感谢NASA/GSFC 提供WIND 卫星数据.