变截面涡旋齿三维形貌分析与功率谱密度表征*

刘涛，李银萍，孙永吉

（1.兰州理工大学机电工程学院 兰州，730050）

（2.金川集团股份有限公司 金昌，737103）

（3.兰州工业学院创新创业学院 兰州，730050）

引言

涡旋盘是涡旋式压缩机［1］、热泵［2］及膨胀机［3］等流体机械的关键部件。不同于传统齿轮类零件，涡旋盘以其上涡旋齿的侧壁作为啮合表面。由于变截面涡旋盘具有深槽薄壁特性，加上型面构成复杂、刀具磨损和机床振动等因素，致使其铣削过程不平稳，影响涡旋盘加工质量。涡旋齿的侧壁面遗传了铣削过程的加工痕迹，形成特殊的微观形貌结构，与涡旋盘加工质量、服役期、耐磨性和可靠性等性能呈强关联性［4-6］，因此有必要量化表征变截面涡旋齿形貌的变化规律并提取特征信息。

目前，对零件加工表面质量的衡量大都采用传统的二维粗糙度评价方法［7-8］，然而对于变截面涡旋盘这类复杂型面的薄壁深腔零件，单一的二维粗糙度指标虽然能够宏观地评价其加工表面质量，但不能量化表征和提取涡旋盘侧壁面微观形貌的全部特征信息，也容易受到测量仪器分辨率和采样长度的影响。功率谱密度（power spectral density，简称PSD）法［9-12］是一种从频域角度展开的谱分析方法，可以通过图像直观体现表面微观形貌的数值特性和频率分布情况，有效地描述结构细节特征，从而定量化表征零部件加工表面质量。笔者基于该算法的优势，针对变截面涡旋盘自身的结构特性，在测量变截面涡旋齿微观形貌基础上，采用一维和二维功率谱密度分析法精确地表征并分析变截面涡旋盘侧壁面形貌的空间频率分布信息，克服了表面粗糙度表征加工质量的局限性，实现了涡旋盘侧壁面形貌不同层次特征的有效描述和定量表征，对形貌变化规律进行了全面刻画。

1 侧壁面形貌表征方法及评价参数

1.1 功率谱密度算法

在欧氏坐标系中，用函数z(x，y)来表示三维粗糙表面上点(x，y)处对应的高度值，其二维傅里叶变换可用式（1）求得

一般而言，借助形貌测量仪可获取到的表面特征信息数据是离散的，而对表面形貌的表征也是基于这些离散点数据进行的，则在计算功率谱密度时需要对式（1）离散化处理，即：将表面高度函数z(x，y)离散化，认为采样表面可由M×N个离散的采样点来表示，离散序列表示为z(m，n)，其中：0 ≤m≤M-1；0 ≤n≤N-1。若设x和y方向上的采样间隔为Δx和Δy，x和y两个方向的采样长度与采样间隔存在关系：Lx=(M-1)Δx，Ly=(N-1)Δy，对应的空间频率分别被离散为fl=l/MΔx（l=0，1，…，M-1），fk=k/NΔy(k=0，1，…，N-1)。故离散的二维傅里叶变换为

二维功率谱密度计算公式可以表示为

当频谱只在其中一个方向上变化时，一维功率谱密度可由二维功率谱密度计算得到

根据上述计算公式可知，功率谱密度函数描述的是信号能量与频率分布的关系，因此可客观地用来评价涡旋盘表面微观形貌特性。

1.2 三维粗糙度评价参数

三维粗糙度参数相较于二维粗糙度参数能够更精确地描述表面微观形貌，其中以幅值参数的应用最为普遍，选取其中算术平均偏差和均方根粗糙度进行表征，其计算公式如下。

三维算术平均偏差为

三维均方根粗糙度为

其中：M和N分别为采样面域内x向与y向采样点数；z(xi，yj)为表面高度值。

1.3 功率谱密度与粗糙度的关系

功率谱密度的数学内涵实质上表达的是粗糙度的谱密度分布，具有幅值特性，按照Parseval 定理，某一段频率区间上的均方根粗糙度可以由该频带上功率谱密度的积分计算得到。其中，二维均方根粗糙度与一维功率谱密度的关系为

三维均方根粗糙度与二维功率谱密度的关系为

安吉急忙询问动物园的工作人员，可谁也没有听说过来自橡树湾的小象安琪儿。“这不可能，我有动物园的回信！”他急得都快哭出来了。

从式（9）、式（10）可知，在明确空间频率积分上、下限的条件下才能够计算对应的均方根粗糙度。

2 涡旋盘侧壁面形貌测量与分析

2.1 变截面涡旋盘几何模型

笔者选用的变截面涡旋齿型线为3 段不同基圆半径的渐开线首尾相接光滑连接而成，如图1 所示，其中：红色表示首段基圆渐开线；绿色表示中段基圆渐开线；蓝色表示末段基圆渐开线。

图1 变截面涡旋盘的型线图Fig.1 Profile diagram of non-uniform scroll

2.2 铣削实验与形貌测量

本研究中涡旋盘的加工实验在数控铣床XK714 上进行，工件材料分别选用45#钢和硬铝7075，毛坯尺寸为130 mm×55 mm。经过粗、精铣削加工过程，使其达到精度要求，铣削加工参数如表1 所示。粗加工时选用强度较高、抗冲击能力较强的两刃硬质合金键槽刀，材料为YG8；精加工时选用的刀具为四刃平底立铣刀，材料为PCBN，刀具直径d=10 mm。

表1 涡旋盘铣削加工参数Tab.1 Milling parameters of scroll

涡旋盘表面微观形貌的测量设备采用Talysurf CLI 1000 型表面形貌仪，设定其采样点阵为101×101，采样面积为1 000 μm×1 000 μm，放大倍数为10 倍。

由于型线构成曲线不同使得涡旋齿各处壁厚不等，故在每段型线（首段、中段和末段）对应的外侧壁面内分别取样进行表面形貌的测量，如图2 所示，相应试样分别编号为G1，G2，G3（G 代表45#钢）和L1，L2，L3（L 代表硬铝7075），对测得的形貌数据进行筛选后绘制其三维表面形貌图。

2.3 侧壁面形貌分析

三维形貌图像直观地反映涡旋盘侧壁面高度起伏变化及缺陷状况。图2 显示了45#钢和硬铝7075试样表面微观形貌三维图像。其中：红色部分数值较大，表示“峰”形态；蓝色部分数值较小，表示“谷”形态；中间部分其他色彩形成的是“沟”、“槽”类形态。这些形态的大小和深度反映表面质量的优劣，也与涡旋盘工作性能存在关联。“峰”、“谷”的值越大，加工表面越粗糙，造成变截面涡旋盘工作过程中耐磨性能变差；“沟”的值越大，表明犁耕现象出现，切削厚度不均匀，从而影响涡旋盘的密封性，致使工作过程中出现气体泄漏的现象。

2.3.1 相同型线段不同材料侧壁面形貌特点

如图2（a，d）所示，涡旋盘首段型线的表面形貌图中，45#钢试样在接近500 μm 处“谷”形态的出现使得原本以“沟”形态居多的测量面呈凹陷状；硬铝7075 试样则呈现阶梯状形态；45#钢试样形貌变化高度大于硬铝7075 试样。如图2（b，e）所示，涡旋盘中段型线的表面形貌图中，45#钢试样表面形态相对平整，变化趋势接近走刀痕迹，呈现较强的规律性；硬铝试样表面出现较多毛刺状形态，形貌高度变化不大；45#钢试样形貌变化高度大于硬铝7075 试样。如图2（c，f）所示，在涡旋盘末段型线的表面形貌图中，45#钢试样表面波动幅度较大，最大高度差达到7.542 μm，而硬铝7075 试样仍以阶梯状形态呈现，峰值形态和毛刺现象较少，同时也发现45#钢试样形貌变化高度大于硬铝7075 试样。

2.3.2 相同材料不同型线段处的侧壁面形貌特点

在45#钢加工的涡旋盘试样中，如图2（a，b，c）所示，表面形貌中均存在显著的“谷”形态，但是其出现位置不同，表面形貌高度差以末段型线（G3）处最大，而中段型线（G2）次之，首段型线（G1）最小；在硬铝7075 涡旋盘试样中，如图2（d，e，f）所示，表面形貌中高度变化均较小，除中段型线（L2）外，首段型线（L1）和末段型线（L3）处形貌均呈现规律的阶梯形。可见，涡旋盘表面形貌的不同与型线位置无明显联系。

图2 涡旋盘的测试面及三维形貌Fig.2 Measuring surface of scrolland three-dimensional surface morphology

以上形貌特点产生的原因与涡旋盘铣削加工过程关系密切。一方面由于变截面涡旋盘零件具有深槽结构，若铣削时产生的切屑和残渣清除不及时，会致侧壁面表面损伤；另一方面，刀具发生磨损后，其表面形成硬质点或沟槽，这些细微缺陷也会被复制在涡旋盘壁面上，导致出现划痕、刮伤等破坏性特征，而其破坏程度则影响到加工表面质量，并反映在三维形貌中。综合材料特性和涡旋盘铣削特点，硬铝7075 试样的表面加工质量高于45#钢试样。

2.4 表面粗糙度评价

根据表面形貌仪测量得到三维表面粗糙度，如表2 所示。对比两种材料不同部位试样的表面粗糙度，45#钢涡旋盘侧壁面粗糙度均大于硬铝7075，表明45#钢涡旋盘的表面粗糙状况高于硬铝材料的涡旋盘，相应的表面质量较差。

表2 涡旋盘三维粗糙度测量结果Tab.2 Measurement results of 3D roughness of scroll

对于同种材料的试样，G1试样的Sa为0.641 μm（Sq为0.658 μm），G2试样的Sa为0.634 μm（Sq为0.653 μm），它们的数值大小较为近似，但是其对应的表面微观形貌却差别很大；试样L1的Sa为0.545 μm（Sq为0.581 μm），L3的Sa为0.562 μm（Sq为0.596 μm），它们的粗糙度数值差别较大，但微观形貌变化规律却很相似。这说明仅用粗糙度评价表面微观形貌时，其结果有一定的片面性和局域性。因此，引入功率谱密度算法，由于其描述的是一种空间频率与空间信号能量的关系，正好可以从横向和纵向两个方向的频率分布情况结合高度信息量化表征变截面涡旋盘侧壁面表面微观形貌特性，更加丰富和全面地分析侧壁面形貌分布特征规律。

3 侧壁面形貌的功率谱密度表征

3.1 二维功率谱密度表征

图3 为根据Matlab 编程得到的涡旋盘侧壁面形貌二维功率谱图。由图3（a～f）可知，变截面涡旋盘的二维功率谱密度值分布在x方向上占据的空间频率范围均明显大于y方向且尖锋值较大，其中x方向既是铣削进给方向，也与形貌纹理方向一致，说明变截面涡旋盘铣削加工侧壁面为各向异性表面，且加工过程中各加工参数等因素对x方向的影响较大，相应的频率段为主导频率。

图3 涡旋盘二维功率谱密度Fig.3 Two-dimensional power spectral density of scroll

以试样G2和L2为例，分别观察试样G2和L2在x向与y向二维功率谱密度分布情况，如图4 所示，可得出功率谱密度集中分布的频率区间及峰值大小。分析图4（a，b）并计算可知，G2试样功率谱密度集中分布在0～0.02 μm-1频率范围内，对应的空间波长为50 μm，这说明变截面涡旋盘侧壁面凹槽和凸起等微观缺陷存在于波长50 μm 内，而其余部分表面纹理较为细腻。结合图4（c，d）和表3 计算结果可知，试样L2的功率谱密度曲线分布同样集中在进给方向约0～0.02 μm-1频率范围附近。

图4 x 向与y 向的二维功率谱密度Fig.4 Two-dimensional power spectral density in x and y directions

通过Matlab 编程求解得到所有试样的二维功率谱密度分布情况如表3 所示，可知空间频率范围约0～0.02 μm-1均是影响涡旋盘表面微观形貌的频段，在不考虑铣削实验中切削参数变化影响的情况下，造成涡旋盘出现缺陷状况的原因应是铣削过程中的振动因素。

表3 二维功率谱密度分布Tab.3 Distribution of two-dimensional power spectral density

3.2 一维功率谱密度表征

通过二维功率谱密度的分析发现，x方向空间频率为主导频率，故取x方向一维功率谱密度曲线进行分析，图5（a，b）所示分别为45#钢和硬铝7075涡旋盘的一维功率谱密度曲线。通过一维功率谱密度曲线与二维均方根粗糙度的关系（式（8））可量化表征涡旋盘表面微观形貌。通过形貌分析发现：粗糙度相近试样的表面形貌差异明显，表面形貌相似的试样粗糙度值不同，同一型线段不同试样的粗糙度与表面形貌均存在显著差异，故单一的粗糙度评价方法存在不足。下面通过直观的一维功率谱密度曲线联系二维均方根粗糙度进行量化分析。

图5 涡旋盘一维功率谱密度曲线Fig.5 One-dimensional power spectral density curve of scroll disk

在图5（a，b）中，一维功率谱密度的曲线波动数值大小间接反映涡旋盘x方向轮廓粗糙度的大小。以差异性最大但为涡旋齿同一型线段的试样G3和L3的曲线为例进行比较，如图5（c）所示，两条曲线存在3 个交点A，B和C，其频率点分别为1.072×10-3，3.444×10-3和4.133×10-3μm-1。

根据式（8）判断：A点之前L3的均方根粗糙度Rq略大于G3试样的Rq；AB段内G3的Rq大于L3试样的Rq；BC段内L3的Rq大于G3的Rq；在C点后，两条曲线一上一下彼此分开，此段内G3的Rq远远大于L3的，则综合取平均后G3试样的Rq明显要比L3的大。可见，一维功率谱密度方法可弥补粗糙度参数评价方法的不足，且量化表征涡旋盘表面形貌。

4 结论

1）基于铣削实验完成变截面涡旋盘侧壁面三维形貌的表征，得到侧壁面微观形貌的频率-空间分布信息，准确全面地获取了变截面3 段基圆渐开线涡旋齿各型线段的形貌分布规律。

2）变截面涡旋盘侧壁面二维功率谱密度分析表明，侧壁面形貌呈现各向异性特征，x方向空间频率0～0.02 μm-1是影响涡旋盘侧壁面形貌的主导频率，涡旋盘侧壁面主要缺陷存在于空间波长50 μm 内。

3）通过涡旋盘侧壁面一维功率谱密度分析，量化解析了不同试样相近粗糙度、不同表面微观形貌及粗糙度差异性明显的现象，对粗糙度参数评价方法进行了验证和补充。