对一道几何综合题的解法探究与优化

李孝敏

[摘  要] 几何综合题的解题过程是教学的重点，该过程中需要指导学生掌握复合图形的分析方法，建模思路，性质运用的技巧.文章以2021年江苏南通市的中考几何压轴题为例，深入探索问题的构建思路，并对问题解法进行优化，开展教学反思，提出相应的教学建议.

[关键词] 几何;多解;结构;四点共圆;分类讨论

几何综合题的图形往往是众多几何特性的组合，掌握图形拆解、性质分析是解题的关键，而从不同视角探究问题，对方法进行优化则有助于提升解题能力. 下面将对一道几何综合题开展解法探究，并深入探索问题，优化解题方法.

问题呈现

问题：（2021年江苏南通市中考卷第25题）如图1所示，在正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A和D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE=α.

（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）;

（2）过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG. 判断DG与CF的位置关系，并说明理由;

（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF. 当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值.

解法探究

本题为几何综合题，以正方形为背景，融合了对称、旋转、三角函数等知识. 问题共分三问，分别探究角度关系、分析两线的位置关系，依托几何求角度的三角函数值，解析过程要充分把握图形结构，结合对应知识来构建思路，下面逐问探究.

（1）该问求∠BCF的大小，需用α来表示其大小，实则是探究角度之间的大小关系. 题干设定点F与A关于直线为对称关系，可作辅助线BF，则BE就为AF的垂直平分线，其中存在等角关系，结合正方形性质及三角形内角可推导角度关系.

连接BF，如图2所示，BE为AF的垂直平分线，则有∠BAF=∠BFA，AB=BF. 已知∠ABE=α，则∠BFA=90°-α，∠EBF=α. 四边形ABCD为正方形，由正方形性质可推得∠FBC=90°-2α. 又知AB=BF=BC，则△BFC为等腰三角形，即∠BFC=∠BCF. 结合三角形内角和可推得∠BCF==45°+α.

（2）该问探究CF与DG的位置关系，在几何综合中线段关系一般为相交、平行、垂直，探究时可结合角度来确定.

设FG与DC的交点为M，AF与BE的交点为N，如图3所示. 由（1）问可知∠ABE=∠FBE=α，∠BAF=∠BFA=90°-α，∠BCF=∠BFC=45°+α，所以∠AFC=∠AFB+∠CFB=135°，∠CFG=180°-∠AFC=45°. 又知CG⊥AF，则△CFG为等腰直角三角形，所以=. 结合正方形的性质可推得△ADC为等腰直角三角形，所以=. 由条件可推知∠NAE=∠ABE=α.

在△ADM和△CGM中，已知∠ADC=∠AGC=90°，∠AMD=∠CMG，可證△ADM∽△CGM，所以∠MAD=∠MCG=α，进而可推得∠ACF=∠BCF-∠BCA=α. 在△DGC和△AFC中，已知==，∠DCG=∠ACF=α，可证△DGC∽△AFC，由相似性质可得∠DGC=∠AFC=135°，所以∠DGA=∠DGC-∠AGC=45°，则∠DGA=∠CFG=45°，从而可证CF∥DG，即DG与CF为平行关系.

（3）该问引入了三角形旋转，旋转前后的三角形为全等关系，探究△BFH为等腰三角形时sinα的值，没有设定三角形的腰，故有三种情形需要分别讨论，构建等腰三角形后，利用直角三角形的三边关系来求sinα的值.

当△BFH为等腰三角形，有三种情形，①FH=BH，②BF=FH，③BF=BH.

①当FH=BH时，过点H作BF的垂线，设垂足为M，如图4所示. 可设AB=BF=BC=a，根据旋转特性可知∠CBH=∠ABE=α，BH=BE，可推知∠FBH=∠ABC-∠ABF=90°-α. 由条件可得∠FHB=2α. 由于△BFH为等腰三角形，且FH=BH，则∠BHM=∠FHM=α，由等腰三角形的“三线合一”可得BM=MF=BF=. 由条件可证Rt△ABE≌Rt△MHB，可得BM=AE=，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得BE==a，则sinα==.

②当BF=FH时，设FH与BC的交点为O，如图5所示，由旋转性质可知∠CBH=∠ABE=α，结合（1）问可得∠FBH=∠FBC+∠CBH=90°-α. 因为BF=FH，可推得∠BOH=180°-∠CBH-∠BHF=90°，此时∠BOH与∠BCH相重合，与题目不符，故舍去.

③当BF=BH时，可设 AB=BF=a，由正方形性质可得AB=BC=a，从而可推得BF=BH=BC=a，题目中BC、BH分别为Rt△BCH的直角边和斜边，故不可相等，显然与题目不相符，将其舍去.

综上可知，sinα的值为.

优化探索

上述对一道几何综合题进行了解法探究，图形的综合性强，所涉三问的问题形式较为常见，但融合了众多考点，重点考查学生对几何性质定理的灵活运用. 上述呈现了问题的基本解法，但从问题的构建过程来看，解题难度大、步骤繁杂，尤其是考题的后两问，多次运用特殊三角形和特殊关系来推导等角和线段比例. 下面进一步探索考题后两问的解法，开展解法优化探究.

1. 优化第（2）问解法——四点共圆推角度

第（2）问构建了正方形ABCD外的垂足G，探究DG与CF的位置关系，实际上可以利用隐圆模型，即A，D，G，C四点共圆，具体过程如下.

由（1）问可知∠BCF=45°+α，又知∠BCD=90°，所以∠DCF=∠BCD-∠BCF=45°-α. 连接AC，设AC的中点为O，再连接OD，OG. 因为∠ADC=∠AGC=90°，所以OD=OA=OC=OG，由圆的定义可知A，D，G，C四点共圆，故可知点O为圆心，以AO为半径画圆，如图6所示. 由圆的性质可得∠CDG=∠CAG，又知∠CAG=∠CAD-∠DAG=45°-α，所以∠CDG=45°-α=∠DCF，从而有DG∥CF，即两线为平行关系.

2. 优化第（3）问解法——简化讨论情形

上述基于等腰三角形的三种情形进行了分别讨论，而其中的两种情形是不成立，实际上可以在解答的初始就对部分情形简单分析，具体如下.

设AB=a，AE=b（0BA，所以BH>BF=BA，因此要使△BFH為等腰三角形，只存在BF=FH和BH=FH两种情形，故下面只需讨论两种情形即可.

情形一：当BF=FH时，有∠FBH=∠FHB=∠BAF=∠BFA，可证△ABF∽△HFB，由相似性质可得=，所以=，代入线段长可得=，可解得a=b. 因为0

情形二：当BH=FH时，有∠FBH=∠BFH=∠BAF=∠BFA，可证△ABF∽△BHF，由相似性质可得=，代入线段长可得=，可解得a=2b，可绘制如图7. 在Rt△ABE中，sinα===.

综上可知，sinα的值为.

评析  上述对考题的后两问进行了解法优化，其中第（2）问把握几何特性构建隐圆模型，由圆的特性推得了关键的等角关系;而第（3）问则首先讨论了三角形内的边长关系，排除了其中的一种情形，显著的简化讨论过程.

解后反思

考题探究的重点有两点：一是引导学生掌握问题解法，二是提升学生解题思维. 故完成解题教学后还需要进一步开展反思考题，拓展学生思维，下面提出几点教学建议.

1. 重视结构分析，提取图形特性

几何综合题图形往往较为复杂，最为显著的特点是考查学生对复合图形的分析能力，即结合几何条件理解图形，把握几何要素之间的关系，从中剖离特殊图形，提取几何特性. 因此在实际教学中，需要引导学生掌握读题构形，特性提取的方法，充分提升学生的图形分析、构建与拆解模型的能力. 教学中可分三个阶段进行：第一阶段，理解几何语言，归纳总结几何特性;第二阶段，指导模型的解读方法，帮助学生积累图形拆解经验;第三阶段，开展复合图形分析教学，指导学生掌握图形解析的步骤及方法.

2. 开展解法优化，拓展学生思维

综合性问题的解法往往不唯一，可从不同视角切入解析，构建相应的解题思路，而不同解法之间存在差异，开展方法对比，解法优化是十分必要的. 如上述探索了问题的常规解法之外，对方法思路进行了优化，第一问构建四点共圆模型，利用模型直接推导等角关系;而第二问讨论等腰三角形的情形，简化了讨论的过程. 因此教学中要重视考题的方法总结及优化，使学生充分理解方法，可合理开展一题多解，引导学生从不同视角分析图形，探索方法. 探究过程要注意给学生留足思考空间，以提升学生的数学思维为教学重点.

3. 渗透数学思想，提升综合素养

从上述几何综合题的解析过程可知，其中渗透了化归转化、构造模型、数形结合、分类讨论等思想方法，即在数学思想的指导下转化问题，解读构建模型，通过数形结合构建思路，逐个讨论破解. 因此在实际教学中，不仅要指导学生掌握解题方法，还应合理渗透数学思想，让学生在解题中感悟思想，理解思想的精髓，达到内化吸收的效果. 同时章节教学中可结合对应内容来渗透数学思想，如函数与图像教学中渗透数形结合思想，等腰三角形教学中分步讨论特性等，让学生逐步感知思想，体会思想真谛.