几何直观多感悟　代数直观更精准

周婷婷

摘要：聚焦学生在计算三角形面积时忘记“÷2”的现象，尝试从数学素养积累的角度走出误区.代数直观本身很难建立，需要经过有效的操作、长时间深入的思考和高质量的练习.几何直观好理解、看得见、摸得着，从几何直观的优势着手，采用多种针对操作和多角度深度思考，建立三角形面积计算的代数直观感，力求从本质上理解三角形面积公式的含义，消除忘记“÷2”的现象.

关键词：三角形面积计算;直观;几何直观;代数直观

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）26-0011-03

“教材安排和课堂设计都注重经历操作促进三角形面积公式推导的生成，为什么还有学生忘记计算公式中的÷2？”“教师注重引导学生用两个完全相同的三角形去拼成一个平行四边形，鼓励学生自主推导三角形面积公式，大量计算巩固，为什么期末学业检测还有学生忘记÷2？”这是很多教师反馈教学效果不理想的疑问所在;“老师，您有没有秘诀可以记住计算三角形和梯形的面积÷2？”也是很多家长和学生反馈学业成绩不理想的遗憾所在.这个现象对数学平面几何，立体几何，空间几何中的多边形面积计算有影响，对生活问题和科学问题的解决也有影响.怎样才能消除这个现象？

《数学课程标准（2011）》强调仅仅经历过程不行，学生应该理解数学本质，感悟数学思想.几何直观在数学直观中最为形象，能看得见、摸得着、好理解，数学直观还包含几何直观和统计直观，根据小学阶段儿童的认知特点，常常借助几何直观解决代数问题、生活问题、科学问题.几何直观感悟不充分不通达不行，一种几何直观如果促进学生生成代数直观，但学生在使用时频繁计算错误，更可能是抽象的结论和几何图形没有形成对应.

学生在经历两个相同的三角形组成一个平行四边形，求出平行四边形的面积，推导出这个三角形的面积的过程中，感受面积公式的水到渠成.但学生独立看图计算时，头脑接收这个三角形的图形和底、高信息，并不会自行生成平行四边形，而是产生直接将底和高相乘的直观反应.可以通过加强公式记忆练习促进熟练，改变忘记“÷2”现象，让计算在强记的基础上更精准.也可以通过增加不同几何直观促进理解而后记忆，让计算在理解的基础上更精准.《三角形的面积计算》一课，尝试从数学本质的深度，设计三个角度几何直观推导出三角形面积公式，感悟三角形面积公式的逻辑性，从本质上掌握三角形面积计算中“÷2”的含义;组织一个疑点分析，明晰教材角度“÷2”的含义;设计正向思维和逆向思维训练发挥思维定势的正面作用，在灵活中固化三角形面积计算，消除忘记“÷2”的现象.

1经历不同几何直观，生成相同代数直观

布鲁纳说，教学不是带领学生铭记已有的结果，而是教他们如何参与知识获取的过程.学生先经历两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形的操作推导三角形的面积公式，再根据教材第10页《你知道吗？》，带领学生在画图、剪纸、拼接，经历“以盈补虚”推导三角形面积公式的过程.最后，结合三种不同拼接方法比较，学生从分面积的一半，底的一半，高的一半这三個不同角度，深刻理解“÷2”这个代数形式的几何含义.

格点图中两个完全相同的锐角三角形拼成一个平行四边形，三角形的面积和等底等高平行四边形面积的关系.理解“4×4”和“÷2”的含义.发现：“÷2”是指平行四边形面积的一半.两个完全相同的直角三角形拼成一个平行四边形，三角形的面积和等底等高平行四边形面积的关系.两个完全相同的钝角三角形拼成一个平行四边形，三角形的面积和等底等高平行四边形面积的关系.理解“8×3”和“÷2”的意思.发现：“÷2”是指三角形对应的平行四边形面积的一半.

沿着三角形任意两条边的中点连线剪开，再将三角形左右两侧直角三角形旋转至上方，转化成长方形.长方形的高和三角形的高一样，还是3厘米，长方形的底正好是三角形底的一半.发现：“÷2”是指长方形的底是原来三角形底的一半.

沿着三角形任意两条边的中点连线剪开，再将三角形上面两个直角三角形旋转至左右，转化成长方形.长方形的底和三角形的底一样，还是8厘米，长方形的高正好是三角形高的一半.发现：“÷2”是指长方形的高是原来三角形高的一半.

学生通过三个几何直观经历中领悟，尤其是长方形的底是原来三角形底的一半，长方形的高是原来三角形高的一半，这些过程，使得学生在看到一个三角形求面积时，更容易产生“÷2”的代数直观.

2经历一个疑点分析，深度理解代数直观

长方形的底是原来三角形底的一半，长方形的高是原来三角形高的一半，帮助学生更好的抽象出“÷2”的代数直观，至此，学生对三角形的面积公式已经有了正确的认识.在此基础上，组织学生进行拼图操作，先经历不完全相同的三角形（不全等）无法拼成平行四边形，再经历“只有完全一样的三角形才能拼成平行四边形”，领悟一个三角形的面积是两个和它完全一样的三角形拼成的平行四边形面积的一半.

每个学习小组将信封中的9个三角形取出，3对完全一样的锐角、直角、钝角三角形;还有3个分别和这些锐角、直角、钝角三角形不完全一样的干扰三角形.学生在拼图的舍弃和选择中深度体验“两个完全一样的三角形”这一前提条件对三角形面积公式合理的意义.

3经历多组数据计算，真正掌握面积公式

学生舍弃3个干扰图形，选择将拼好的3个平行四边形的信息填在表1中，并填出平行四边形和对应三角形的面积，再小组讨论他们的面积关系，达成共识.

小组讨论任务：

（1）拼成的平行四边形和每个三角形有什么关系？

（2）拼成的平行四边形的底和高与三角形的底和高有什么关系？

（3）每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？

（4）根据平行四边形的面积，怎样求三角形的面积？

小组共识：

（1）拼成的平行四边形是两个相同的三角形拼成.

（2）拼成的平行四边形的底和高与三角形的底和高相同.

（3）每个三角形的面积是拼成的平行四边形的面积的一半.

（4）三角形的面积=底×高÷2.

比较三种不同角度，发现：计算三角形的面积只要知道底和高，再“底×高÷2”即得到三角形面积大小.学生理解和掌握三角形的面积计算更准确，对梯形面积以及组合图形面积的学习产生一定正迁移.

4经历双向思维训练，深度固化面积公式

思维定型或形成思维定势是思维发展的必然趋势，因此通过正向思维和逆向思维练习的设计塑造高品质的计算思维定势.以“三角形的面积计算”为本，整合变化问题，培养学生在已知条件变化的情境中精准计算三角形面积.公式正向训练：设计一般的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形底和高，求它们的面积，已知等腰直角三角形的一条腰，求它的面积;设计三角形不同的摆放的位置，使底和高出现在三角形的上方、侧面，已知底、高求面积;设计已知2个底和1个高、1个底和2个高求面积;设计底、高已知的三角形田地收获多少千克萝卜、每平方米有多少棵白菜.公式逆向练习：已知三角形的面积和底、高中的一个条件求另一个.例如：“已知三角形的面积是20平方厘米，底是5厘米，则高是多少厘米？”学生熟练以20×2÷5的思路算出高，突出探讨“20×2”的含义，掌握逆向思维中×2和正向思维中÷2的含义和联系.

《三角形的面积计算》一课从三角形图形的几何直观着手，帮助学生在头脑中产生几何直观和代数直观准确且稳定的对应联系，消除忘记“÷2”的现象.

初中阶段对小学教材已经出现的平面图形计算公式，不再作为新知识重新学习，重在例题或练习中运用.几何学习采用更加抽象和概括的方式、用逻辑的推理和论证，更加突出“为什么”，对学生的能力要求有質的飞跃.高中阶段需要学生在探究几何问题时能联系代数式，看到代数式时头脑中能有几何图形.强调发展学生的数学核心素养，最终使学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.很多物理学家、化学家和生物学家在思考自己研究领域的科学问题时，也都是通过敏锐的数学直观能力解决复杂的问题.因此，在小学阶段，教师要根据学情，积极尝试精心设计，消除思维直观对数学抽象学习的限制性，通过充分的几何直观体验，向直观思维的优势性转化，更好地开发儿童的代数直观能力，给后续学科学习打下坚实知识基础，生活和科学问题打下坚实思维基础.

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[责任编辑：李璟]