“平方厘米”语义分析

郜舒竹 李硕楠

【摘   要】“平方厘米”一词在数学课程内容中表述的是一个面积单位，是从长度单位认识转向面积单位认识的转折点。“平方厘米”一词由“平方”和“厘米”两个词汇组合而成，因此容易产生的语义误解，即平方厘米是特殊的厘米。因此在教科书编写以及实际教学中，应重视对面积单位语义的分析，为此需要厘清平方厘米一词中“平方”的意义，以及“平方厘米”与“厘米”的关系。

【关键词】厘米;平方;平方厘米;面积;长度

本刊2022年第6期《“长宽”为什么等于“长方形的面积”》一文（以下简称“文1”）已经阐明，平面图形面积的测量与计算始于面积单位的选择与确定。表达面积单位的词汇通常表达为“平方+长度单位”，比如“平方厘米”等。望文生义地看，“平方厘米”似乎是特殊的厘米，因此从“平方厘米”的意义中容易产生“平方厘米是厘米”的误解。在教科书编写以及实际教学中，应重视对面积单位语义的分析，特别需要明晰“平方厘米”一词中“平方”的意义，以及“平方厘米”与“厘米”的关系。

一、“平方厘米”是“厘米”吗

在小学数学课程内容中“平方”一词并不单独出现，是与类似于“厘米”的长度单位组合，用于表述诸如“平方厘米”的面积单位。由此产生的问题是：如何理解“平方厘米”与“厘米”的关系？与此类似组合而成的词汇在日常语言中十分普遍。比如，“白马”一词，是“白”与“马”的组合，表示“白颜色的马”;“酒杯”表示用于饮酒的杯子;等等。类似的语言现象在数学课程内容中同样常见。比如，“平行四边形”表示两组对边分别平行的“四边形”;“等腰三角形”表示有两条边相等的“三角形”;等等。

如此表述的句式结构可以简写为“ɑP是P”，其中字母“P ”表示前面示例中白马的“马”、酒杯的“杯”、平行四边形的“四边形”、等腰三角形中的“三角形”这样的概念，指称一类具有共同属性的对象。字母“ɑ”是修饰或限定P的定语，描述P中一类对象的特殊属性。比如白马中的“白”是描述马颜色的定语，指称一类特殊的马。平行四边形中的“平行”是描述一类特殊四边形的定语，对一类四边形的特殊属性进行限定，指称两组对边分别平行的那些四边形。酒杯和等腰三角形也是类似。

如果把概念P的外延，即这一概念所指称对象看作一个类或集合，那么概念ɑP所指称对象就是“P”所指称对象的局部或子集，ɑP是对P中的一部分对象赋予ɑ的意义，因此ɑP是特殊的P。这样的关系都可以表述为“ɑP是P”的句式。

概念P与ɑP的关系，在逻辑学概念分类中称为“属种关系”。外延较大的概念P是外延较小概念ɑP的“属（Genus）”概念;反过来ɑP是P的“种（Species）”概念。“ɑ”表达的是种概念的特殊属性，可以看作是种概念相对于属概念的差异，因此叫作“种差”。比如前面所说的平行四边形就是相对于四边形的种概念，反过来说四边形是平行四边形的属概念，平行是种概念平行四边形相对于属概念四边形的特殊属性，也即二者的种差。种概念与属概念所指称对象（外延）具有包含与被包含的关系，即种概念含于属概念或属概念包含种概念（如图1）。

用这样的眼光看“平方厘米”，如果字母ɑ表示“平方”，字母P表示“厘米”，那么“平方厘米”这一词汇同样具有ɑP的结构“[平方a厘米P]”。依据前面的经验，对平方厘米自然而然直觉的认识是用“平方”修饰或限定“厘米”，厘米与平方厘米似乎也应当是包含与被包含的属种关系。按照“ɑP是P”的句式，自然就会形成“平方厘米是厘米”的认识。

从“文1”可以知道，“平方厘米”与“厘米”量纲不同，厘米是一维的长度单位，平方厘米是因厘米而衍生出来的二维面积单位。在国际度量单位体系（SI）中，所有量的单位分为三类：基本单位、辅助单位和导出单位。其中长度单位属于基本单位，面积单位属于导出单位[1]。因此平方厘米不是厘米，二者并非屬种关系。无论是教科书编写还是实际教学，都应对此引起足够重视。从认识长度单位到认识面积单位，教师需要设计相关的学习活动，让学生经历从厘米衍生出平方厘米的过程，真正理解二者之间的关系。为了厘清这样的关系，首先需要明晰平方厘米中的“平方”是什么意思。

二、平方厘米中的“平方”是什么意思

作为数学课程内容中的术语，“平方”一词通常表示一种运算。在人教版《义务教育教科书数学（七年级上册）》中，“平方”一词出现于“有理数的乘除法”单元中，把两个因数相同的乘法“[2×2]”记作“[22]”，读作“2的平方”。而在表示面积单位时，“[厘米2]”读作“平方厘米”，而不是“厘米的平方”。这就表明“平方”一词具有多义的特征。把“[2×2]”记作“[22]”，读作“2的平方”，可以看作是运算的意义。除此之外，还有几何图形形状的意义，用平方表示“正方形”这一几何图形，相对于“立方”所表示的正方体。

查阅我国历史文献可以发现，“平方”一词源于对几何图形的命名。针对几何图形进行系统命名的早期著作，当属明代徐光启与意大利传教士利玛窦合作翻译的《几何原本》，其中发明了许多描述图形形状与性质的术语。比如，如今所说的平行四边形、长方形和正方形在当时分别叫作：

徐光启、利玛窦所译《几何原本》中并未出现“平方”一词[2]。到了清代及民国时期，用“平方”一词表达正方形的说法逐渐盛行。清代早期何梦瑶（1693—1764）所著《算迪》一书中，对“平方”一词定义为：“平方即方面也，其边则长阔相等。”这句话的意思是：平方即是平面上长与宽（阔）相等的方形，就是现在所说的正方形。1894年由商务印书馆编写并出版的《数学教科书》中，把现在所说的长方形和正方形分别叫作“直角方形”和“平方”，先定义直角方形，而后用直角方形定义平方。

民国初期由中华书局出版并发行的《中华算术教科书》将面积单位定义为：“计物体表面之大小者，曰面积。而以每边之一尺或一寸之平方形为单位，名此单位曰平方尺、平方寸。”其中的“平方形”就是如今所说的“正方形”。

综上，面积单位“平方厘米”中的“平方”具有独立的意义，指向的是正方形。按照这样的理解，平方厘米中的“平方”并非是“厘米”的定语，而是反过来，用厘米限定平方（正方形），是“厘米平方”的意思。因此所谓“1平方厘米”的意思是边长1厘米的平方（正方形），简略地表达为“1厘米平方”更为贴切。法语中表达“平方厘米”的语序就是厘米在前，平方在后：“centimètre carré”。下面进一步解释为什么要把“1厘米平方”表述成“1平方厘米”。

如果用“1厘米平方”表示“边长1厘米的正方形面积”，其中的数字“1”指向的是边的长度，是对长度单位“厘米”的限定。以此类推，如何理解“2厘米平方”呢？其中的数字“2”同样应当表达正方形边长，限定长度单位“厘米”。“2厘米平方”就应当解释为边长2厘米的正方形面积，而边长2厘米的正方形面积并不等于“2平方厘米”，而是[2×2=4]平方厘米。

描述面积的名数中包含数及其所指称的面积单位，其中的数指向的是面积，而不是长度。如果把“1厘米平方”视为“边长1厘米的正方形面积”，命名为“1平方厘米”，那么“2厘米平方”中的2，就容易误认为是正方形的边长为2厘米。为了避免这样的误解，就把面积单位的命名规则规定为“平方+长度单位”，而不是“长度单位+平方”。

中华人民共和国国务院依据“国际单位制（SI）”，于1984年发布关于在我国统一实行法定计量单位的命令，特别强调“平方厘米”不能写为或叫作“厘米平方”[3]，或许就是为了避免出现这样的误解。因此，无论是教科书编写还是实际教学，都应特别注意：“1平方厘米”中的数字“1”，指向的是边长为1厘米正方形的面积。

接下来需要进一步探讨的问题是：面积单位“1平方厘米”与长度单位“1厘米”是如何建立联系的？

三、“1平方厘米”与“1厘米”如何建立联系

20世纪荷兰著名数学教育家汉斯·弗赖登塔尔（Hans Freudenthal，1905—1990）在《作为教育任务的数学》一书中，用自身儿时的经验论述长方形面积公式的意义：对于长为5、宽（原文用词为“Height”，意为“高”）为4的长方形面积，真正重要的不是知道结果等于20，而是人为地把长方形横向分为“5条”，纵向分为“4条”，使得横向每一条与纵向每一条交叉后出现了小方格（原文为“子长方形（Sub-Rectangle）”。这样的做法使得原本无结构的长方形出现了“建构的结构化（Constructive Structuration）”，也就是在原本空无的长方形中，构造出了新的对象（子长方形）（如图2）。弗赖登塔尔认为，这种建构的结构化过程是重要的，是学生必须经历的[4]。

弗赖登塔尔所说的“建构的结构化”，实际是建立两个集合之间对应关系的过程。假定图2中横向线段长度是5厘米，纵向线段长度是4厘米，5厘米视为是“5段”构成的集合，4厘米视为是“4段”构成的集合。将段与段配对，也就是横向长边5段中的每一段与纵向4段中的每一段配成一对，构造出一个小正方形，可以有“5[×]4=20（种）”配对的方法，因此共出现了20个小正方形，这样20个小正方形构成了一个新的集合，弗赖登塔尔称之为“配对集合（Pairs Set）或偶对集”[5]。

数学中把这样的过程看作是集合与集合之间的乘法运算，常用的名称是“笛卡尔积（Cartesian Product）”，指的是两个集合A和B，如果集合A包含ɑ个元素，集合B包含b个元素，那么集合A与B的笛卡尔积就是一个新的集合，这个新集合中的元素是A与B中元素配对形成的，可以用“[A×B]”表示，其中包含“ɑ[×]b”个元素。笛卡尔积可以成为许多实际问题的数学模型，比如小学数学课程内容中的“搭配问题”：

l5件上衣和4条裤子，可以搭配出多少套衣服？

用A表示5件上衣的集合，B表示4条裤子的集合，两个集合构成配对集合“[A×B]”，表示上衣与裤子配对所形成的整套衣服的集合，其中的元素数就是“5上衣[×]4裤子=20（套）”，搭配的过程可以用长方形模型表示出来（如图3）。

用配对的眼光看长方形的面积，分别将长与宽等分为若干“段”，而后建立“长中之段”与“宽中之段”的配对关系，每一对构成一个小格。如果长中之段与宽中之段长度相等，那么这个小格的形状就是正方形，也就是面积单位。因此所谓“1平方厘米”，可以看作是两个方向的“1厘米”长的线段配对而成的。1厘米与1厘米配对的结果不再是长度单位的厘米，而是一个新的对象，即边长1厘米正方形的面积，命名为“1平方厘米”。正如“1件上衣”与“1条裤子”配对后的结果，既不是上衣，也不是裤子，而是“1套衣服”这样新的对象。

用配对的眼光看“长方形面积=长[×]宽”，其中的“[×]”具有“以数生数”的意义[6]，是对乘法意义的拓展。如果长方形长与宽的长度分别为3厘米和2厘米，那么“3厘米[×]2厘米”的意义是将3厘米中的每一个1厘米与2厘米中的每一个1厘米配对成为1平方厘米，这样可以配出“3[×]2=6”对，也就是6平方厘米（如图4）。

图4把上面3个1厘米视为一个集合，下面2个1厘米视为另外一个集合，两个集合中每一个元素配成一对，用连线表示，一共出现6条连线，即配对方法有6种。每一对命名为1平方厘米，那就共有6平方厘米。与3件上衣与2条裤子配对成为6套衣服的过程是一致的。

平方厘米并不是厘米，而是因厘米而生的新对象。从认知的角度看，可以把1平方厘米看作是两个方向上的1厘米线段搭配而成的，表达的是边长1厘米的正方形面积。在教科书编写与实际教学中，可以将搭配问题与面积单位的认识结合起来，利用弗赖登塔尔所说的“建构的结构化”，让学生经历从1厘米“搭配出”1平方厘米的过程。这样的过程可以帮助学生进一步理解“文1”所论及的内容：为什么“长[×]宽”等于长方形的面积？

总之，“平方厘米”表达的是面积单位，与长度单位“厘米”有着本质的差异，对“平方厘米”的认识切不可望文生义，误认为平方厘米是特殊的厘米。作为面积单位的“平方厘米”与长度单位“厘米”实质是一种因果关系，平方厘米是因厘米而产生的新对象，是两个方向的长度单位配对成面积单位，如果把长度单位“厘米”视为是基本单位，那么面积单位“平方厘米”就是因此而产生的衍生单位。关于面积单位的讨论仍未结束，需进一步研究的问题是：

l如何理解教科书中关于“1平方厘米”的定义？

l在认识“1平方厘米”的基础上，如何认识“2平方厘米”？

l如何认识“平方”在运算方面的意义？

这些问题貌似简单，实际其中蕴含着丰富的思想和方法，同时反映了教师和学生存在着认知困难与误解，是教科书编写以及实际教学中需要重视的细节。囿于篇幅所限，将续文继续讨论。

参考文献：

[1]SALISBURY F B. Standardizing with SI units[J]. BioScience， 1998，48（10）： 827-835.

[2]纪志刚.从拉丁语到古汉语：汉译《几何原本》卷一“界说”的翻译分析[J].自然辩证法通讯，2017，39（2）：1-9.

[3]薛新法.量和单位系列讲座  第五讲  法定计量单位的使用（一）[J].中国计量，2013（5）：50-51.

[4]FREUDENTHAL H. Mathematics as an educational task[M]. Dordrecht： D. Reidel Publishing Company， 1973： 250.

[5]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等译.上海：上海教育出版社，1995：196.

[6]郜舒竹.“乘”的想法始于哪儿[J].教学月刊·小学版（数学），2020（9）：4-9.

（1.首都师范大学初等教育学院   100048

2.首都師范大学教育学院   100048）