“一题一课”的教学价值、设计与策略

2022-05-30 10:48鲍善军朱曙光
教学月刊·小学数学 2022年8期
关键词:思维

鲍善军 朱曙光

“一题一课”研究

所谓“一题一课”,就是教师通过聚焦一个主题或一组习题,科学、合理、有序地组织学生开展数学探究活动,促进学生对知识之间的关联性理解,实现“学一题、透一点、通一类”的教学目标。近几年来,杭州市钱塘区鲍善军老师领衔团队在经历区域调研、实践探索后,由点及面,深度挖掘教材价值意义,深度推进“一题一课”教学,促进学生的数学理解走向深刻,助推学生的思维水平走向高阶。本期特刊发他们的阶段性研究成果,供广大教师借鉴参考。

【摘   要】“一题一课”教学,深度挖掘“一题”价值意义,聚焦“求联、求变、求用”三个维度,实施横向关联、纵向延伸,变换题型、开放设计,延长过程、感悟思想等策略。如此,由浅入深,推进思维深度;由聚到散,拓宽思维广度;由此及彼,提升思维灵活度。从“一题”推进“一类”,让课堂教学走向简约,让数学理解走向深刻,让认知水平走向高阶。

【关键词】一题一课;思维;求联;求变;求用

近年来,受“教育功利化倾向”裹挟,部分教师过度夸大“题海战术”,要求学生大量训练各种不同题型,从而实现“熟能生巧”。他们采用“短”“平”“快”的方式展开教学。这样既增加了学生的学习负担,又降低了学生的学习品质。在此背景下,我们团队聚焦“一题”,深度挖掘其价值意义,积极探索“一题一课”教学,以期提升学生的学习效率和核心素养。

所谓“一题一课”,是指通过对一个主题或一组习题的深入研究,科学、合理、有序地组织学生展开相关的数学探究活动,在“一课”中完成“一题”。借此“一题”,促进学生对知识之间的关联性理解,实现“学一题、透一点、通一类”的教学目標。

一、“一题一课”的教学价值

(一)由浅入深,以“一题一课”推进思维深度

学生的学习是不断自我建构、自我完善的层进式过程。教学中,以数学核心素养为统领,用足一个核心素材,充分挖掘其背后的价值和思想,通过由浅入深的“一题一课”学习活动,将学生的思维逐步推向纵深,帮助学生养成重证据、有条理的思维品质,学会用数学的思维思考和解决现实世界的问题。

(二)由聚到散,以“一题一课”拓宽思维广度

思维的条理性源于知识的结构化。学生通过对核心知识的提炼,对内容序列的梳理,明晰相关内容的联系和区别,并借助归纳、类比、迁移、关联等思维方式,由聚到散,整体建构知识体系。这样的过程促进学生对同一类主题学习内容的融通,拓宽思维的广度,将彼此割裂的内容融进纵横交错、脉络分明的思维结构中。

(三)由此及彼,以“一题一课”提升思维灵活度

新知的学习常源于对旧知的正向迁移。对于一个全新问题的教学,教师往往会从学生已有知识经验引入,激活其原有的认知结构,让学生通过同化或顺应两种基本形式,在不断地扩充、改造、调整中沟通新旧知识的联系,形成新的认知结构。学生在一次次比较、类比、归纳、迁移等思维过程中,能自如地从一种心理运算转换到另一种性质不同的心理运算,由此及彼地扩大知识的外延,突破原有的认知结构,构建新的认知结构。

二、“一题一课”的设计框架

实践表明,基础知识不应求全,而应求联;基本技能不应求会,而应求变;基本思想不应求多,而应求用。“一题一课”系统性地利用六个方面的策略、推动三个认知过程维度发展学生的高阶思维(如图1)。

通过横向关联、纵向延伸,促使学生的认知水平从“未知混沌”走向“识记理解”;通过变换题型、开放设计,促使学生的认知水平从“识记理解”迈入“应用分析”;通过延长过程、体悟思想,促使学生的认知水平从“应用分析”跃至“评价创造”。教学引发学生一次次再认识、再建构,生成更多新问题、新发现、新结论,助推思维的进阶和发展。

三、“一题一课”的教学策略

“一题一课”教学聚焦“一题”,延伸“一课”,充分挖掘主题背后的价值,从“求联、求变、求用”三个维度,实施横向关联、纵向延伸,变换题型、开放设计,延长过程、感悟思想等策略,让学生的思维不断向着高阶攀升。

(一)求联:整体建构,认知水平从“未知混沌”走向“识记理解”

教学中,引导学生用联系的观点进行分析思考,找到知识的序列和学习路径,通过横向关联和纵向延伸,形成对知识的结构性认知,能促使学生的认知水平从“未知混沌”走向“识记理解”。

1.横向关联,以点带面

横向关联就是将与核心主题相关的知识,通过转化、联想、迁移等形式进行关联,将其本质属性嫁接到其他相同或相近主题的知识内容上,实现“学一题,透一点,通一类”的教学目标。

【案例1】“等积变形”

图2中哪几对三角形的面积相等?(两条虚线互相平行)你还能画出和三角形ABC面积相等的三角形吗?(人教版教材五年级上册第94页第8题)

核心主题相关的知识是等积变形。教学中,要渗透转化思想,引领学生通过等积变形解决面积问题,同时帮助学生建立几何图形的整体结构意识,发展空间观念。三角形等积变形与平行四边形、梯形和立体图形的等积变形有延续性关联。因此,“等积变形”不应局限于三角形,还应拓展到其他几何图形甚至是代数领域(如图3)。

在理解三角形等积变形的内涵和变式训练之后,教师引导学生发散思考:“哪里还有‘等积变形呢?”学生以点带面展开联想:等底等高的平行四边形和梯形等积变形、平面图形的割补转化,以及代数运算定律、立体图形的变换等,本质上都涉及等积变形。教师总结:“等积变形包括等面积变形、等体积变形和等乘积变形(如图4)。前二者是形,后者是数,数与形可以互相验证,互相解析。”

在学习三角形的等积变形基础上,教师帮助学生将思维延伸到其他几何图形中,发现几何图形之间的联系,丰富等积变形的表象,拓宽学生思维的广度。

2.纵向延伸,连点成链

纵向深入就是将问题中涉及的知识点,利用情境背后的线索,通过相应的探究活动,进行串联,目的是对同一主题(或同一类问题)进行深入挖掘,将这一类问题研究通透。

【案例2】“周长与面积”

用28米长的栅栏,围一个长方形的鸡圈,怎么围可使鸡圈的面积最大?

当长方形的周长确定时,长、宽越接近,其面积越大。核心主题的相关知识是“正多边形周长与面积的关系”,意在渗透数形结合的思想方法,让学生借助几何直观提升空间观念,促使学生将面积与周长的知识融汇贯通。由此,将问题进一步拓展到五边形、六边形……甚至是圆的“周长与面积的关系”(如图5)。

整个学习过程,教师以原题为基点,首先让学生进行长方形面积和周长的复习。学生经历猜想、计算、观察、探索等过程,发现并理解周长相等的情况下,长方形的长和宽越接近,面积越大。然后教师引导学生继续思考:“周长一定时,还有围成面积更大的图形吗?”学生意识到可以围成正五边形、正六边形、圆等。学生再一次经历猜想、验证、探索的过程,发现并理解周长相等情况下,围成的正多边形边数越多,面积越大。教师渗透极限思想,学生得出圆的面积最大。

通过多边形周长和面积的关系探寻与验证,学生的认知从特殊走向一般,知识结构从零散走向整体,问题理解从散点走向通透,学生的数学思维更具深刻性。

(二)求变:适度开放,认知水平从“识记理解”迈入“应用分析”

凸显“变”,就是以一个核心问题为基点引入、变式、延伸,让学生通过师生互动、尝试、修正,掌握一类问题的解决方法,或者通过对习题的开放设计拓宽学生的思维空间,让他们的认知水平从“识记理解”迈入“应用分析”。

1.变换题型,凸显本质

剖析问题的核心知识与特征后将“一题”进行变式与拓展,可以帮助学生深化知识的理解与方法的应用。在“变中有不变”的过程中思维会变得更灵活,更有助于其掌握知识内容的本质,提升解决问题的能力。

【案例3】“乘积最大的秘密”

用0、1、2、3、4组成三位数乘两位数的乘法算式积最大是多少?

核心主题的相关知识是乘法的意义。学生在探索并发现乘积最大的秘密的过程中,可以提升想象和推理能力,加深对乘法意义的理解。这个过程既是对长方形面积与周长关系的抽象概括,又是对乘法分配律的提前渗透(如图6)。

第一个问题两位数乘两位数,重点要比较“41×32和42×31”的大小,可用算式拆分——因为41×32=41×31+41,42×31=41×31+31,所以41×32>42×31,或利用图形重叠的方法(如图7)解决问题。学生将算式表示与图形重叠进行一一对应与关联,可以发现41和31分别表示多出的两个长方形的面积。第二个问题三位数乘两位数,重点要比较“521×43和52×431”的大小。有了第一个问题的探索过程,学生能迁移得到521×43=520×43+43,52×431=52×430+52,前者多了43,后者多了52,大小显而易见。此时,教师应引导学生建立数学模型,进一步解决多位数乘多位数的问题。

学生从两位数乘两位数开始探究,逐步深入,拓展到多位数乘多位数,探究了乘积最大的秘密。整个探究过程,学生提升了思维的广阔性、深刻性、灵活性。

2.开放设计,发散创新

将封闭性问题,通过呈现方式的改变、条件和问题之间的变换改编为开放性问题。让每个学生都参与进来,不同的学生会表现出不同的思维水平,提升了思维的发散性和创新性。

【案例4】“差等分”

姐弟俩集邮,弟弟有60枚邮票,分给姐姐10枚,他们俩的邮票就一样多。姐姐原来有多少枚邮票?

此題是《除数是一位数的除法》的相关内容,其核心知识是“移多补少”,将差平均分,使两个量相等。教师在学生建立数学模型后,对习题进行了开放设计,引导学生通过自主变式,深化数学模型;通过自主创编,提高分析问题和解决问题的能力。设计后的内容既是对除法应用的一次拓展,也是对平均数的提前渗透(如图8)。

建立数学模型“相差数÷2=移动数”后,教师追问:“你能对原题进行变化,使它成为新题目吗?”大部分学生把“姐姐的邮票数量”作为条件,求“弟弟的邮票数量”,即原题的“问题变条件,条件变问题”。在学生改编的基础上,教师进一步引导学生开放探究,提供条件“弟弟分给姐姐10枚邮票”,让学生自己再创建一个条件和问题,重新生成一道新题目并解决(如表1)。

这样的习题创编,能帮助学生在创编过程中掌握差等分问题的原理,灵活地运用数学模型和方法解决变式问题,提升思维的灵活性、发散性、创新性。

(三)求用:实践体悟,认知水平从“应用分析”跃至“评价创造”

实践体悟包括延长体验过程和感悟数学思想,即设计探究活动,让学生在实践活动中积累经验,应用数学的思想方法,认知水平从“应用分析”跃至“评价创造”。

【案例5】“点图中的学问:正方形数”

本内容聚焦正方形数,其核心知识是“以数表形”“以形验数”。数是形的抽象概括,形是数的直观体现。通过本内容渗透数形结合的思想,有助于学生拓展思维,提升几何直观的意识和能力。作为“数与形”的提前渗透,本内容涉及:什么是正方形数、正方形数有什么变化规律以及正方形数之间有什么关系。

任务一:以数表形,寻找1~10中的正方形数,并用乘法算式表示正方形数;任务二:以形验数,通过点图帮助学生理解正方形数的变化规律;任务三:数形结合,猜想至少几个相同正方形数的和是一个新的正方形数,探究正方形数之间的关系。最后,将学生的视野拓展到“其他形数”(如三角形数),激发学生的数学探究意识。(如图9)

学生从“正方形数”到“其他形数”的探索过程,不仅是知识理解与应用的过程,还是数形结合思想方法的感悟过程。从认识概念到探索规律再到关联沟通,他们的思维由浅入深,由聚到散,由此及彼。

“一题一课”教学通过挖掘主题材料所承载的价值意义,让课堂教学走向简约,让学生的数学理解走向深刻,让认知水平走向高阶。实践证明,“一题一课”教学对学生链接经验、促进思维进阶、探寻主题中蕴含的数学思维、思想方法、数学精神等具有很好的效果,值得我们持续探索。

参考文献:

[1]郑毓信.数学思维与小学数学[M].南京:江苏教育出版社,2008.

[2]平国强.拓展性课程的内容价值取向与教学策略[J].教学月刊·小学版(数学),2017(4).

[3]鲍善军,朱曙光.基于SOLO分类理论的“一题一课”教学设计与实践[J]. 教学月刊·小学版(数学),2021(11).

(1.浙江省杭州市钱塘区教师教育学院   310018

2.浙江省杭州市钱塘区临江新城实验学校   310018)

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