例谈一类线性递推数列通项公式的求法

罗柯宇

递推数列的通项公式问题比较常见.求递推数列的通项公式的方法多种多样，常见的有：累加法、累乘法、待定系数法、猜归法、同除法、构造法等.运用这些方法求数列的通项公式，都需把递推式变形为等差数列或者等比数列的通项公式，将问题化归为等差数列或者等比数列的通项公式问题.在本文中，笔者着重探讨了一类线性递推数列：a_n+1=pa_n+rqⁿ的通项公式的求法.

若已知a_n+1=pa_n+rqⁿ，求数列{a_n}的通项公式问题较为复杂.要求得数列的通项公式，关键是要求得a_n的表达式，需将递推式a_n+1=pa_n+rqⁿ进行适当的变形，以便构造出辅助数列，通过求辅助数列的通项公式，求得数列{a_n}的通项公式.

1.当p=1时，由a_n+1=pa_n+rqⁿ可得a_n+1-a_n=rqⁿ，

则a_n-a_n-1=rq^n-1，

a_n-1-a_n-2=rq^n-2，

…，

a₂-a₁=rq，

将上述式子累加得a_n-a₁=r（q^n-1+q^n-2+…+q），

当p=1时，需采用累加法，将n=1，2，3，…，n-1时的n-1个式子累加，通过正负相互抵消，得到a_n-a₁的表达式，再根据等比数列的通项公式，化简该表达式，即可求得数列{a_n}的通项公式.

例1.已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+2×3ⁿ，求数列{a_n}的通项公式.

解：由a_n+1=a_n+2×3n得a_n+1-a_n=2×3ⁿ，

则a_n-a_n-1=2×3^n-1，

a_n-1-a_n-2=2×3^n-2，

…，

a₂-a₁=2×3¹，

通过累加得a_n-a₁=2×（3^n-1+3^n-2+…+3¹），

由a₁=1得a_n=3ⁿ-2，

所以数列{a_n}的通项公式为a_n=3ⁿ-2.

该数列的递推式形如a_n+1=pa_n+rqⁿ，此时p=1，可采用累加法求解，令n=1，2，3，…，n-1，将这n-1个式子累加，即可求得数列的通项公式.

例2.在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3×4ⁿ，求数列{a_n}的通项公式.

解：设a_n+1+m4ⁿ⁺¹=2（a_n+m4ⁿ），

可得a_n+1=2a_n-2m4ⁿ，

例4.在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3×2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式.

即a_n=2^n-1×（3n-2）.

该数列形如a_n+1=pa_n+rpⁿ，其中p≠1，p=q，需在递推式的左右同时除以pⁿ，从而构造出等差数列，根据等差数列的通项公式即可解题.

4.若p≠1、p≠q时，则在递推式a_n+1=pa_n+rpⁿ

例5.在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3ⁿ，求數列{a_n}的通项公式.

该递推式形如a_n+1=pa_n+rpⁿ，且p≠1、p≠q，可以在递推式的左右同时除以pⁿ，通过待定系数法来构造辅助数列，然后利用累加法求得新数列的通项公式，进而得到a_n的通项公式.

总之，由形如a_n+1=pa_n+rpⁿ的递推式求数列的通项公式，需首先明确递推式的类型，确定p、q的取值，然后将递推式进行变形，如在递推式的左右同除以pⁿ，引入待定系数，构造出等差、等比数列的通项公式或者类似于等差、等比数列通项公式的式子，以便构造出辅助数列，然后通过累加，或利用等差、等比数列的通项公式求得问题的答案.