五自由度磁力驱动平台的支承控制建模与试验研究

周峻宇，阎明印，孙凤，金俊杰，王韬宇

(沈阳工业大学 机械工程学院，沈阳 110870)

电磁悬浮驱动技术是磁悬浮技术的一种应用，具备响应迅速、无需润滑等优点，常应用于高精度、高速度设备的运动控制[1-2]，并在国内外学者的研究中不断发展突破。文献[3]提出了一种同步平面电动机结构，对x，y，z方向3个自由度运动的悬浮力进行了仿真分析。文献[4]设计了一种新型磁悬浮定位平台，其由通电线圈提供平台的悬浮力和垂直方向上的力，降低了控制难度。文献[5]研制了一种六自由度精密定位台，由6组E型电磁铁组成悬浮平台，提高了悬浮平台的控制精度，平动行程可达毫米级，转动行程可达微米级[5-6]。文献[7]介绍了一种六自由度磁悬浮平台，其定位精度可达纳米级且系统鲁棒性好。

本文提出了一种五自由度磁力驱动平台，采用磁悬浮轴承结构形式，通过6组差动电磁铁控制平台五自由度运动[8-9]，并建立动力学模型对系统竖直方向3个自由度的运动进行仿真分析和驱动试验。

1 磁力驱动平台结构及工作原理

1.1 磁力驱动平台结构

五自由度磁力驱动平台的结构如图1所示，主要由6组差动电磁铁、上顶盖、下底盖及中间起到连接作用的连接环构成[10-11]。

1—上顶盖；2—磁铁连接块；3—径向电磁铁；4—轴向电磁铁；5—浮动平台；6—下底盖；7—连接环；8—位移传感器。

1.2 磁力驱动平台工作原理

五自由度磁力驱动平台中磁力驱动器电磁铁的水平分布如图2所示：上下端盖上均匀布置4组差动电磁铁(编号1，2，3，4)；中间部分的连接环上同样均匀分布着2组差动电磁铁(编号5，6)。控制1～4组差动电磁铁的电流可实现平台在z轴方向的移动；在平台稳定悬浮时，控制1，3组电磁铁可实现平台绕x轴回转运动；控制2，4组电磁铁可实现平台绕y轴回转运动；控制水平方向上的5，6组电磁铁的电流可实现悬浮物沿x轴和y轴移动。

图2 磁力驱动器电磁铁的分布Fig.2 Distribution of electromagnets for magnetic driver

2 控制系统动力学模型

五自由度磁力驱动平台的受力情况如图3所示，取平台稳定悬浮时平衡位置的质心O为坐标系原点并设立绝对坐标系；当平台在平衡位置处运动时，其质心发生了偏移，记为O′并设立相对坐标系。

图3 系统受力分析Fig.3 Force analysis of system

设O点的广义坐标为

O=[XYZαβ]T,

(1)

式中：X，Y，Z为平台平动上的自由度；α，β分别为平台绕x，y轴运动的自由度。

平台在运动时所处的坐标系O′相对于6组电磁铁的坐标可以表示为

O′=[Z1Z2Z3Z4X1X2Y1Y2]T,

(2)

式中：Z1，Z2，Z3，Z4为垂直方向电磁铁的自由度；X1，X2，Y1，Y2为水平方向电磁铁的自由度。

上述2个广义坐标系的变换关系为

(3)

式中：a为磁极到质心的距离。

由于平台有5个自由度的运动，控制系统的总动能由平动动能T1和转动动能T2组成，分别为

(4)

式中：m为平台质量；Jα，Jβ分别为平台绕x，y轴旋转的转动惯量。

建立的拉格朗日方程为

(5)

式中：kx，ky，kz为对应位置电磁铁的位移刚度系数；kixy，kiz为电流刚度系数；i1～i6分别为6组差动电磁铁的控制电流。

状态空间矩阵为

(6)

(7)

C=[(0)5×5(E)5×5],

式中：u为系统的输入，即控制电流；x为系统的状态；y为系统的输出；E为单位矩阵。

3 仿真分析

控制系统的基本参数见表1，PID控制原理如图4所示：输入量xd，yd为x，y方向的平动，实现离轴加工并保证焦点与辅助气体的位置关系；zd为z向平动，负责改变焦点位置；αd，βd为x，y轴的回转运动，实现激光打孔并达到激光振镜的效果[12-13]。

表1 控制系统的基本参数Tab.1 Basic parameters of control system

图4 PID控制原理Fig.4 Schematic diagram of PID control

使用Simulink对平台的z向移动、x轴回转和y轴回转进行仿真分析，在0.5 s时给系统z方向一个0.1 mm的连续阶跃信号，给系统x轴回转和y轴回转一个0.005 rad的连续阶跃信号，PID控制参数kP为520，kI为300，kD为3，位移输出情况如图5所示。

由图5可知：PID控制下系统沿z轴移动的响应时间为0.05 s，超调量为90%；系统绕x，y轴回转的响应时间为0.05 s，超调量为75%；在给系统连续阶跃信号情况下，平台能够迅速响应，具有较好的控制效果。

图5 PID控制下系统的位移输出Fig.5 Displacement output of system under PID control

4 五自由度磁力驱动平台样机的搭建

为验证z向移动以及x，y轴回转这3个自由度的驱动特性和理论模型的准确性，搭建五自由度磁力驱动平台进行试验验证。

电磁悬浮驱动器如图6所示，竖直方向的4组轴向差动电磁铁与控制器之间采用中间块连接，2组径向电磁铁则直接与中间连接环连接，通过这6组电磁铁控制悬浮平台实现5个自由度的运动。

图6 五自由度磁力驱动平台样机Fig.6 5-DOF magnetic driving platform prototype

根据五自由度磁力驱动平台工作原理搭建的试验装置如图7所示。dSPACE控制器的电压信号输入范围为0～10 V。电涡流位移传感器的量程为0～2 mm，精度为0.05 mm，输出电压为0～6 V，可检测系统的位置输出。功率放大器电压信号的工作量程为0～10 V，输出电流为0～6 A，可放大输出信号。

图7 五自由度磁力驱动平台试验装置Fig.7 Experimental device of 5-DOF magneticdriving platform

根据驱动平台构建控制系统单元，给悬浮物一个阶跃信号作为期望位移值，电涡流位移传感器检测到位移信号后通过dSPACE进行数模转换并传递给控制器，将反馈值与期望位移的计算偏差作为控制器输出信号，通过dSPACE转换为电压信号并经功率放大器转换为电流信号输入线圈，使悬浮物达到稳定位置：上述过程形成一个闭合回路。通过调试试验装置实现对差动电磁铁的磁力控制，最终分别对z轴平动特性和x，y轴回转特性进行控制试验。

5 磁力驱动平台特性分析

试验中，各参数条件与仿真分析保持一致，在理论基础上调节PD和PID参数并进行磁力驱动平台特性分析，PD控制参数kP为520，kD为3；PID控制参数kP为520，kI为300，kD为3。

5.1 起浮特性

为实现磁力驱动平台5个自由度的运动，应对驱动平台进行起浮试验以验证其能否实现稳定悬浮[14]。向竖直方向上的4组电磁铁输入一个偏置电流使磁力驱动平台有一定的电流刚度，给系统提供一个平衡位置位移信号，竖直方向上端4个电磁铁的电流增大，下端4个电磁铁的电流减小，从而使悬浮物达到平衡位置。

如图8所示，电磁驱动平台在上、下端盖4组电磁铁(Z1，Z2，Z3，Z4)的共同作用下，经过0.20 s的调节时间(PD控制)使平台回到平衡位置。

图8 磁力驱动平台的起浮情况Fig.8 Undulation of magnetic driving platform

5.2 z轴平动特性

系统稳定悬浮时，给系统幅值为0.1 mm的连续阶跃信号， PD和PID控制试验下的z向位移输出曲线如图9所示：PD控制的响应时间为0.10 s，调节时间为0.20 s，超调量为100%，稳态误差为0.05 mm；PID控制的响应时间为0.25 s，调节时间为1.25 s，超调量为120%，稳态误差为0。PD控制的响应时间和调节时间快，但存在稳态误差，悬浮物在z向的移动通过4组差动电磁铁共同控制实现，由图8也可以明显看出4组电磁铁的位移变化不一致，控制精度低。相较于PD控制，PID控制的响应时间慢，但消除了稳态误差，保证4组差动电磁铁与悬浮物间的气隙始终一致，具有较高的控制精度，能够精准确定焦点位置，实现调焦功能。

图9 系统的z向平动Fig.9 Translational motion of system along z-axis

5.3 x轴回转特性

系统稳定悬浮时，给系统幅值为0.001 rad的连续阶跃信号，观察系统的位移输出响应情况。PD和PID控制试验下x轴回转情况如图10所示：PD控制的响应时间为0.20 s，调节时间为1.20 s，超调量为70%，稳态误差为0.001 2 rad；PID控制的响应时间为0.30 s，调节时间为1.80 s，超调量为230%，稳态误差为0。在相同试验条件下，PD控制响应快，响应过程中比较稳定，但存在稳态误差；对于PID控制，虽然响应过程中电磁铁气隙波动较大，但由于积分的引入，有效消除了稳态误差，具有较高的控制精度。

图10 系统绕x轴的回转运动Fig.10 Rotation of system around x-axis

5.4 y轴回转特性

系统稳定悬浮时，给系统幅值为0.001 rad的连续阶跃信号，观察系统的位移输出响应情况。PD和PID控制试验下y轴回转情况如图11所示：PD控制的响应时间为0.20 s，调节时间为1.20 s，超调量为75%，稳态误差为0.07 mm；PID控制的响应时间为0.30 s，调节时间为2.00 s，超调量为80%，稳态误差为0。在相同试验条件下，PD控制的响应时间和调节时间快但存在稳态误差，PID控制消除了稳态误差，具有较好的控制精度，可以精准确定激光打孔位置，达到激光振镜的效果。

图11 系统绕y轴的回转运动Fig.11 Rotation of system around y-axis

5.5 小结

仿真与试验结果的对比见表2：试验结果的响应时间比仿真结果略长，控制系统存在时滞性；由于悬浮物质量分布不均匀，试验的超调量也比仿真结果大。

表2 仿真与试验结果的对比Tab.2 Comparison of simulation and experimental results

6 结论

提出了一种五自由度磁悬浮驱动平台，建立动力学模型并使用Simulink进行仿真分析，通过对控制系统的z向平动和x，y轴回转运动的控制试验得出以下结论：

1)五自由度驱动平台能实现稳定悬浮，验证了z向平动和x，y轴回转这3个自由度的驱动特性和理论模型的准确性。

2)相对于PD控制，PID控制应用于五自由度驱动平台能更好地消除稳态误差。

研究成果为激光加工的调焦功能和精密打孔奠定了基础，接下来将进行x，y轴移动试验以实现离轴式激光切割，并使用更高级的算法对控制系统进行验证。