文化融入梯形教学，促进面积公式理解

陈春丛 石义霞

【摘要】在梯形的面积学习过程中，数学文化融入，丰富对梯形面积的认识和体验，不仅促进对梯形面积的问题性理解、应用性理解。还能增强对梯形面积的关系性理解、方法性理解，丰富对梯形的文化体验。

【关键词】小学数学;梯形的面积;数学文化;数学理解

平面图形的面积是小学数学重要内容之一，其主要内容是面积公式的推导过程以及公式的理解并且在现实生活中的运用。对于求陌生的平面图形面积，可以建立在已知的、熟悉的图形基础上，通过转化等思想方法推导出来。在应试教育的大背景下，大部分的老师在授课过程中，重技巧轻思想，重结果轻过程，尤其重视解决强化训练，机械练习，忽视在应用上、思考上、文化上的体验，以及对数学的理解。教学中融入数学文化目的就是要解决数学文化为何要融入数学教学教育中的问题，下面将围绕着在丰富的历史背景下如何推导出梯形的面积公式以及对面积公式的理解。

一、文化融入教学，促进对梯形的理解

数学理解是培養核心素养的基础和前提，可以说是数学的精髓。要想做到运用数学解决问题，就必须认识其本质与价值，同时也要掌握规律。数学文化融入可以丰富教学内容，促进数学理解。可见，数学文化融入数学教学教育显得十分必要。

学习需要理解，就是能对某个知识主题有深入的认识和深刻的思考，没有理解就没有真正的学习，数学理解的本质是对数学概念、规则或方法的理解且数学理解的水平具有层次性，包括对数学概念、公式、定理、问题的理解。

（一）联想图形时形成问题性理解

数学问题是引领学生进行数学思考的指挥棒，思考问题之间的联系，达到解决问题的目的。通过陌生的、不熟悉的图形可联想到熟悉的图形，求熟悉图形的面积已有方法，陌生图形如何化归成熟悉的图形求面积，创设问题情境，促进学生获得对梯形面积更深层次问题性理解。例如利用两个同样三角形拼成平行四边形或者长方形。但是历史上有个叫刘徽的数学家将三角形沿高的中点剪下，再将得到的三角形分成两个小三角形，最后和下面得梯形拼凑成长方形，这种方法也称为“出入相补”法。

在遇到未知的平面图形要求面积时，可以通过拼剪方式把未知的平面图形转化成已知的平面图形，进而求面积，可以引导学生对梯形进行拼剪。

（二）深度思考中增进方法性理解

方法作用于思维，思维活动是方法多样化的核心与动力。数学思想、转化、割补等方法手段灵活运用有利于促进对梯形面积方法性理解。由于梯形是平面图形之一，所以“转化”方法成为探讨梯形面积的灵魂。其面积可以通过转换成已知平面图形的面积，其中刘徽“出入相补”的经典原理，在梯形面积中得到进一步的应用。

师：同学们可以讲一下自己的看法。

生1：如图1，要求其面积，只需求平行四边形与三角形的面积。

生2：如图2，两个完全重合的梯形组成一个平行四边形，那平行四边形的二分之一就是一个梯形的面积。

生3：如图3，梯形由两个一样的小三角形和一个长方形组成，积梯形的面积=2×一个三角形的面积+长方形的面积。

生4：将梯形通过对折旋转变成长方形如图4，梯形的面积=长方形的面积。

师：这位同学的想法不错，运用的原理和刘徽的“出入相补”原理是一样的。

师：掌声鼓励他们。大家都很棒，都能把梯形转化成熟悉的图形进一步求得梯形得面积。转化成熟悉的平面图形，那能找到求梯形面积的公式吗？

（三）关联图形中形成关系性理解

数学的关系性理解是指对事物意义和结构的认识，不仅要认识替代物的本身结构，还要从替代物迁移到关联的事物，从而获得新事物的概念与新认识。通过各种数学方法寻找、确立、形成各种联系，建立其种概念、属概念间的联系，形成更精细、更复杂的只是体系，联系越多，理解越丰富，认识越深刻。

梯形的关系性理解主要体现在它与平行四边形等平面图形之间的联系，通过图形间的关联建立梯形面积的立体网络体系，总结梯形面积公式，增强对面积公式的关系性理解。

梯形与三角形的关系 如图5，将梯形中的阴影部分（1）剪下移到位置（2），于是梯形就拼成一个三角形。

梯形与平行四边形的关系 如图6 拼得的梯形面积是平行四边形的倍，平行四边形的底为梯形上、下两底之和。

梯形与长方形的关系

如图4，梯形通过对折旋转变成长方形。

（五）追溯历史中形成文化性理解

欧几里德《几何原本》中定义何为梯形和作为几何发源地的古埃及因尼罗河泛滥而需重新分配土地，体现出梯形历史之悠久。通过经典的图形、案例、历史名题、数学家的不懈追求等资源的教学运用，有利提升情境创设的策略，提高教学效果，促进数学的文化性理解。数学文化渗透入梯形的面积公式，加深对公式的理解。

九章中的方法 早在《九章算术》就记载着邪田（直角梯形的田）术日：并两邪而半之 ，以乘正从若广，又可半正从若广，以乘并，亩法而一。

意思是：求直角梯形的面积时，梯形上底加下底的和的再乘以高或者宽就是梯形的面积;或者梯形的高（宽）乘以，再与梯形的上、下底之和的乘积，也可以得到梯形的面积。

师：其实在《九章算术》中还有另外一种说法。箕田（等腰梯形的田）术日：并踵舌而半之，以乘正从，亩法而一。

意思是：要求等腰梯形的面积时，用梯形的上底加下底的和的，与高的乘积就可以得到梯形的面积。

总统方（证）法比较有趣的具有代表性的历史名题，能多方位理解、趣味应用梯形的面积公式。1876年，美国总统伽菲尔德有个理解几何的方法，用三个直角三角形拼成一个梯形如图7，问这个图形的面积等于多少？（若a=6，b=8，c=10）

方法一  用梯形面积公式

梯形的面积=（a+b）×（b+a）÷2=（6+8）×（8+6）÷2=98

方法二  三个直角三角形面积之和

梯形的面积=三个直角三角形面积之和=（a×b÷2）×2+c×c÷2=（6×8÷2）×2+10×10÷2=98

经典图形  如图8，边长为a的正方形中，从边上挖去一个边长为b的小正方形，然后裁剪出两个梯形，能求这两个梯形的面积吗？能求的话，梯形面积是多少？（若a=4，b=2）注：图中两个梯形的面积是相等的

解法一  利用梯形公式计算

一个梯形的面积=（b+a）×（a-b）÷2=（4+2）×（4-2）÷2=6。两个梯形的面积=6×2=12

解法二  利用正方形面积公式计算

两个梯形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a×a-b×b=4×4-2×2=12。

师：除了上面那两种解法，你们还能想到其他方法吗？其实啊，还有另外一种解法。把两个梯形拼成一个大的梯形，再根据我们学的梯形的面积公式，也可以求了，这个留到课后去你们去解答。

师：你们可以独立完成这一道题目吗？如图9，边长为a的正方形中，从中间挖去一个边长为b的小正方形，然后裁剪出四个梯形，能求这四个梯形的面积吗？能求的话，梯形面积是多少？（若a=4，b=2）注：四个梯形的面积是相等的。

这个课后思考。

二、结语

梯形的面积看似平面图形面积的一个小章节，但是却蕴含的丰富的历史文化，以及具有承上启下的作用。上承三角形、平行四边形等平面图形的面积，下启一些公式与定理的证明。同时这也表明一个数学的知识点不是独立存在的，而是有着千丝万缕的;而数学理解就是能把个个知识点联系起来，研究梯形的面积的公式，不仅要通过已有的研究手段去推导面積公式，还要理解其关系。文化的融入使得梯形的面积不仅仅局限在图形与几何那部分，对研究数与代数也起着重要的作用。不仅学到古人解决问题的方法，而且还可以了解到更多数学知识的发展、由来，更加理解数学、了解数学。

【本文系广东教育学会十四五教育科研课题 “小学数学课堂教学渗透数学文化教育的研究”（编号：GDES14056）的研究成果】

参考文献

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