近年线性代数考研试题分析与预测

2022-07-02 15:23陈昱竹杨树硕张宇霄
江苏广播电视报·新教育 2022年13期
关键词:线性方程组特征向量特征值

陈昱竹 杨树硕 张宇霄

摘要:21年考研数学试题通过大幅调整命题结构,首次尝试加强学生对学习内容本质理解的考察,并取得初步成效。为了了解在新的考试大纲下,线性代数考研试题的出题思路,减少考生该部分题目的失分率,我们将在本文中解答:线性代数的考点、出题形式、常考的重要知识点等。并通过总结分析近几年线性代数考题的出题方向,预测23年考研试题。

关键词:线性代数;考研;数据分析;23年考研题目预测。

一、研究背景

线性代数在数学考研中,始终占据着重要地位。探究新考研大纲下,线性代数考研试题出题思路、出题方向、常考题型知识点以及解题思路和技巧,预测考研题目的出题方向,进而有重点的进行复习;让解题变得更有针对性、方法性,从而减少考生的失分率。

(一)考研压力持续增加,相关材料需求增加

历年来,国家高度注重教育事业发展,高等教育逐渐普及化,根据教育部官方数据:2022年全国研究生报考人数高达457万人,较去年相比暴增了80万人。与此同时,我国研究生招生规模也在持续扩大。但尽管如此,研究生整体报录比仍集中在百分之30到40%之间,竞争压力日益增加。

(二)考研大纲有所改变,可帮助同学们把握复习重点

阅读最新考研大纲可知,数学考研试卷更加注重对知识本质理解的考察,其中,对线性代数部分的考察有以下变化。

1、试卷内容结构变化:

在总分150分、考试时间三小时不变的情况下,21年考研大纲中,分值的偏向有了较大的变化。其中,线性代数从34分,22%的比例,变成了30分,20%的比例。但是考研数学一中,线性代数的考点没有任何改动,这也就意味着,未来更倾向于考察有区别性的内容。

2、试卷题型结构变化:

选择题由“8小题,每小题4分”改为“10小题,每小题5分”;填空题由“6小题,每小题4分”改为“6小题,每小题5分”;解答题由“9小题,共94分”改为“6小题,共70分。

根据21年考研试卷来看,其中线性代数有:3道选择,1道填空,1道大题。

二、研究过程

(一)搜集资料

1、查阅往年考研卷宗,总结考题;

2、分析题目得分率,失分点;

3、搜索相关研究报告(市面上购买相关考研书籍,分析各个专家的观点);

4、调查问卷,总结同学们对线性代数相关题目的学习心得,以及对线性代数相关考题的反应,对知识点进行排序。

(二)数据分析

运用比较研究方法、文献研究方法,对收集到的资料和相关文献进行整理和分析,总结相关结论。

对问卷结果进行系统功能语法分析、语篇体裁交织性分析、话语历史背景分析,借助大型内容分析研究性工具平台ROST content mining得出具体结论。再将结论用统计学分析的相关方法进行整理总结。

对收集整合到的例题、考点、解题方法、考生反馈等数据运用统计描述、方差分析、多元变量分析等统计学研究方法,专业系统的计算整合结论。

三、研究结果

2021年考研数学试题通过大幅调整命题结构,首次尝试加强学生对学习内容本质理解的考察,并取得初步成效。我们通过对往年知识点侧重的总结,并结合新的考察方向作出如下预测:

(一)整体考点

1、将往年试卷对比分析,得到高频考点:

(1)n阶行列式(n≥4)的计算

(2)用初等变换求矩阵A的逆

(3)用伴随矩阵求矩阵A的逆

(4)矩阵A、伴随阵*、行列式|A|互求

(5)矩阵的逆的判别

(6)用初等变换求矩阵A(含未知参数)的秩

(7)已知矩阵A(含未知参数)的秩,反过来求未知参数

(8)矩阵秩的大小的判别

(9)向量组α1,α2,ᴧ,αm线性相关、线性无关的判别

(10)用初等行变换求齐次线性方程组Ax=0的基础解系和通解

(11)判别齐次线性方程组(含参数)是否有非零解

(12)用初等行变换求非齐次线性方程组Ax=b的通解

(13)利用非齐次线性方程组解的结构来解题。比如:已知线性方程组Ax=b(含参数)的部分解(至少有两个解),反过来求未知参数

(14)求矩阵的特征值和特征向量

(15)已知对称矩阵A的部分特征值和特征向量、反过来求另一部分特征值和特征向量及A

(16)求正交矩阵ƍ,将实对称矩阵A对角化

(17)用正交变换化二次型为标准形

(18)已知二次型f(含参数)已知正交化后的标准形,反过来求未知参数

(19)正定矩阵的判别

2、通过各个考点的出现频率,以及对应的分数,可计算其“性价比”,可进一步得到在考研学习过程中,最好的复习顺序,以及时间分配。

3、通过试题答案,总结答题方法、思路。

(二)试题预测

1、选择第五题:

用初等变换求矩阵A(含未知参数)的秩;已知矩陣A(含未知参数)的秩,反过来求未知参数。

主要考点:用初等变换化为阶梯型,再讨论。

2、选择第六题:

向量组α1,α2,ᴧ,αm线性相关、线性无关的判别;用初等行变换将一个向量β用另一组向量α1,α2,ᴧ,αn线性表示;已知向量组(含未知参数)的秩,求未知参数。

主要考点:判别k1α1+k2α2+ᴧ+kmαm=0是否有非零解,归结于判别齐次线性方程组是否有非零解;将矩阵A=(α1,α2,ᴧ,αnMβ)作初等行变换将A的第一部分的左上角化为单位矩阵,则可将β用α1,α2,ᴧ,αn线性表示。

3、选择第七题:

用施密特(Schmidt)方法求线性无关向量组的正交向量组;求规范正交基。

主要考点:用内积,多次用公式;先用施密特(Schmidt)方法正交化,再单位化。

4、填空15題:

求齐次线性方程组的解。

主要考点:用初等变换将系数矩阵A化为阶梯型,据此确定自由变量和基础解系,进而可写出齐次线性方程组的通解。注意讨论是否有非零解。

5、解答题21题:

第一,求未知参数和解方程组。

主要考点:未知参数可能出现在行列式中,也可能出现在向量中,也可能出现在矩阵中。而解未知参数,必须要列方程(组)。然后来解方程组。因此,解方程组是重点。

第二,求矩阵的特征值和特征向量。

主要考点:写二次型f的矩阵A(含有未知参数);求矩阵A的特征值;已知二次型f的规范形和特征值,反过来求未知参数;利用P-1AP=diag(λ1,λ2,λ3),可求得A;矩阵B为实对称矩阵,那么已知部分特征值和特征向量,求该矩阵的全部特征值和特征向量。

第三,矩阵的对角化。

主要考点:分为一般矩阵的对角化和对称矩阵的对角化;求二次型f的矩阵A;求A的两个特征根;已知二次型的矩阵(含参数)和一些条件,反过来求未知参数;已知二次型矩阵,求正交变换,将其化为标准型。

结束语:2021年的数学(一)命题既兼顾了全面考查,又做到了重点突出,既大幅创新了试题设计,摆脱了市面流行复习资料的套路误导,又没有偏题、怪题和技巧性很强的题目,在注重数学知识本质掌握考查的同时,也注重综合能力的考查,我们应当主动把握该题目风格、方向,进而更准确的预测考研试题。

同时,线性代数考研复习要夯实基础,善于运用线性方程组串联各章节内容,并且重视计算,勤加练习。

参考文献:

[1]同济大学数学系.工程数学线性代数第六版[M].北京:高等教育出版社,2014:1-169.

[2]教育部考试中心.全国硕士研究生招生考试数学考试分析(2022版)[M].北京:高等教育出版社,2021:5-7,8-30.

[3]教育部考试中心.2022年全国硕士研究生招生考试数学考试大纲[M].北京:高等教育出版社,2021:6-22,46-76.

[4]李永乐.线性代数辅导讲义[M].北京:中国农业出版社,2022:1-192.

资助项目:本论文由北京物资学院大学生创新创业项目资助。

作者简介:

陈昱竹,2001年5月20日,女,汉族,辽宁省,本科,北京物资学院在读本科生,计算机科学与技术,北京物资学院。

杨树硕,2002年5月9日,男,汉族,河北省,本科,北京物资学院在读本科生,信息管理与信息系统,北京物资学院。

张宇霄,2001年8月14日,男,汉族,新疆,本科,北京物资学院在读本科生,信息管理与信息系统,北京物资学院。

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