单元整体视角下的概念起始课教学设计

吴洁慧

[摘要]概念課是初中数学教学中的一类重要课型，一个单元起始概念的学习是整个单元至关重要的一个环节.对于概念课，教师应从单元整体视角解析概念的结构，如从定义到表示，从分析到建模，帮助学生理解概念的本质，掌握学习概念的一般策略，从而提高知识迁移能力，提升思维品质，发展核心素养.

[关键词]单元整体;概念起始课;类比;建构;表示;建模

2021年10月，笔者参加了浙江省教育厅组织的“百人千场”送教下乡活动，前往建德新安江一中讲解了“认识不等式”一课.现以该课为例，谈一谈初中代数基于单元整体视角的概念起始课的课堂设计.

备课过程中的思考

为了更好地开展教学，笔者先梳理了如下几个要注意的关键问题.

1.思考1：什么是单元整体教学？

单元，是依据课程标准或课程纲要，围绕某个主题或者专题、问题开展一系列活动，选择不同的学习素材，并进行结构化组织的学习模块.它具有相对独立，同时集目标、任务、教学评价于一体的特征.一般来说，以单元主题为线索，聚焦单元目标，遵循学生学习的一般规律，统筹、设计相关的教学内容、作业内容、评价内容等，并保持这些要素之间的和谐统一，开展连续课时、循序渐进的教学，就是单元整体教学.

2.思考2：本单元的核心概念是什么？

不等式具有深刻的数学内涵、丰富的实际背景，它既是代数的研究对象，又是刻画客观世界的重要数学模型，是生活中基本的数量关系，还与方程和函数有着非常紧密的联系.本单元的内容是方程的延伸，核心概念有不等式的概念及其性质，不等式的解集，不等式组的概念和解集.

3.思考3：本单元的学科思维是什么？

不等式主要研究不等关系，从内容上看，包括不等式和一元一次不等式的基本概念，一元一次不等式的表示、性质、解法（程序性知识）和简单应用.教材从大量的实际背景中抽象出不等式的定义和表示，体现了数学核心素养中的数学抽象，并从研究等式（方程）的方法中类比出研究不等式的基本路径，最后和方程的应用一样建立数学模型去解决实际问题，体现了数学核心素养中的数学建模思想.本单元还借用了数轴这一工具，渗透了数形结合思想.

4.思考4：本课的教学目标是什么？

单元起始课是学生体悟单元教学“大概念”的重要载体，它的教学过程设计的依据是教学目标.在单元整体视角下，本课“认识不等式”作为单元的起始课、概念课，既要体现等式（方程）的延续性，又要考虑代数模型逻辑的一致性，还要对后续函数学习起到启示作用.基于等式（方程）的学习经验，类比等式（方程）的学习，笔者觉得本节课的教学目标可以定为如下几方面.

（1）知识与技能：能够从现实问题中抽象出不等关系，并类比等式理解不等式的概念，包括它的定义和三种表示方法.

（2）数学思考：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号意识，会建立文字语言、符号语言、图形语言之间的联系，体会建模和数形结合的数学思想.

（3）问题解决：利用不等式的图形语言去解决简单的现实问题.

（4）情感态度：通过小组讨论、合作交流，培养学生的合作意识，并让他们在生生互动中获得成功体验.

单元起始概念课教学设计

1.单元教学中“大概念”的把握，需要足够丰富的教学情境，并用数学的眼光看世界

单元整体教学是在“大概念”的引领下进行的，数与代数的“大概念”是其核心的数与数、数与式、式与式内在的联系和规律的高度概括.其中不等式概念的生成需要足够丰富的情境，既要有生活中的，也要有足够数学味的;既要有代数方面的，也要有几何领域的.所以教师要尽可能地提供丰富的数学资源，让学生找出尽可能多的数量关系，从而从“等”的概念、性质迁移到“不等”的相关内容.

（活动1：学生介绍自己的年龄、身高、体重，以及初一时的期末成绩.）

问题1：你们能从上面的介绍中找到尽可能多的数量关系，并用尽可能多的方式表示这些数量关系吗？

追问1：你们打算怎么表达？

追问2：“≠”表示什么？

教学解读我们的生活中总存在相等关系或不等关系，于是在数学符号里便有了等号和不等号.其中，不等号除了以前学过的“>、<、≥、≤”，还有一个，那就是“≠”.上述活动能激发学生学习兴趣的同时导入新课，活跃课堂气氛.教师通过提问引发学生思考，让他们充分感受生活中既有等量关系又有不等关系，从而引出课题.

（活动2：从图片中找不等关系.）

问题2：观察图1，你能找到哪些与角度或者线段长度有关的数量关系？

教学解读新课标指出，数学教学的课程内容要反映社会的需要，要符合学生的认知规律.这幅图是建德航空小镇的图片，既贴近学生生活，又能引出等量关系以及不等关系.上面两个活动，一个是从代数的角度出发，另一个是从几何的角度出发，能让学生感受到不同背景下都存在等与不等的关系.在学生回答问题的时候，教师可以把他们所说的不等式写在黑板上.特别地，不等式的类型越丰富越好，这能让学生加深对不等关系的感悟.

问题3：你能给上面的关系分一分类吗？说一说你的分类标准.

教师进一步引导学生对这些关系进行分类.在分类中，类比等式的概念能得到不等式的概念，类比等式的研究路径能得到不等式以及其他代数概念的研究路径.

问题4：下列各式，哪些是不等式，哪些不是不等式？

（1）3<2;

（2）x>2x+1;

（3）x-6;

（4）x=2x-5;

（5）a+b≠c;

（6）2x-y≥7;

（7）2021≤2021.

教学解读概念的学习需要学生亲历概念的发生过程.在分类、类比的过程中，学生能形成不等式的概念，并根据不等式的定义来判断式子是否是不等式.对于问题4（7），教师提问2021臆2021是否正确，引发学生思考，从而加深他们对不等号的理解.在这里，有些学生会问“‘≤包括等于的情况，那是不是当它取等号时其实是等式”，对此，教师可以讲一下严格不等式和非严格不等式，适当做拓展.

2.单元教学中概念的表示，要有足够丰富的语言翻译，要用数学的语言表达世界

概念的定义和表示，要通过不同的数学语言进行表达，包括文字语言、符号语言、图形语言，教师教学时要建立这些语言之间的对应关系.学生应掌握这些语言的互相翻译和转化，这一点始终贯穿整个单元的学习.

问题5：根据下列数量关系列不等式，并小组讨论.你能归纳出列不等式的一般步骤吗？

（1）a是正数;

（2）y的2倍与6的和比1小;

（3）x²减去10不大于10;

（4）x除以2的商加上2至少为5;

教学解读概念的学习离不开概念的表示，在将文字语言翻译为符号语言的过程中，教师要让学生感受到不等式概念的两种语言表示方法.那学生讨论什么呢？他们讨论的不仅是步骤，还有问题.比如第（5）小题写“x≠3”可以，那写“x-3≠0”行不行？写“x>3或者x<3”行不行？这些问题的设计对于单元中后面课时的不等式的求解，都有铺垫作用.

问题6：你可以在数轴上表示不等式吗？归纳其基本步骤.

（1）已知x₁=1，x₂=-2，请在数轴上标出x₁，x₂的位置.

（2）x<1表示怎样的数的全体？如何在数轴上表示？

（3）x≥-2如何在数轴上表示？

（4）-2

（5）x≥b如何在数轴上表示？b≤x

教学解读不等式概念的表示有三种形式：文字语言、符号语言、图形语言.通过列举x<1中的各个数，能让学生讨论并归纳出x<1的数的特征，并提问“是否包括1？”.若学生认为不包括1，那应怎样表示？接着思考x≥-2是否包括-2，进而得出结论：小于a是数轴上a的左边，大于a则是数轴上a的右边;当包括a时用实心点表示，不包括a时用空心点表示.

第（5）小题的设计，由数变成了字母，在这一从特殊到一般的过程中，教师要注意——表示x≥b时，数轴上没有标原点.最后，教师可带领学生回顾不等式的三种表示方法：文字语言→符号语言→图形语言.并解释：文字语言比较通俗易懂，图形语言比较直观，符号语言则便于记录和运算，各有优势.在数学中，要经常进行三种语言之间的转化.

另外，b≤x

3.单元教学中概念的理解落地，需要直接的应用体验，要用数学的思维思考世界

从生活实际入手，最后落回实际问题，要求学生会用数学的思维方式分析问题、解决问题.在整个单元中，求解不等式的方法有很多，不等式组的解集需要借助数轴来帮助理解，因此，考虑到单元教学的整体性和延续性，我们不妨设置下面的简单应用.

问题7：你能用我们今天学过的方法解释下面的问题吗？（即课本例题2中水电站的水位问题，请用不等式和数轴给出解释.）

教学解读教材中本课时的文本引出部分就是水库水位问题，本例反映了在数轴上表示不等式的实际应用.在前面环节的铺垫下，特别是对问题6中数轴表示不等式的深入思考，能让本例的完成达到预想效果.

4.单元教学中概念的内涵，要有足够有趣的数学文化素材，要用数学文化吸引学生

数学文化有悠久的历史，符号的演变往往经历了一些有趣的过程，介绍相关的数学文化，往往能更好地吸引学生的注意，激起他们的兴趣，对部分学生會起到激励的作用.

在教学设计的最后，教师可插入视频介绍不等式符号的产生历史，或一些有名的不等式，如柯西不等式、琴生不等式，还可以介绍每四年举办一次的国际不等式学术会议，以此鼓励学生.

教后反思

1.单元整体视角下的起始课，要体现“整体把握，组织建联”的作用

我们应该遵循学生的认知规律，从已有的认知结构出发，一方面带领学生回顾已有知识以及已经积累的学习经验，另一方面，给学生提供新的学习资源，让学生类比相同的学习路径，建立更完善的知识结构，整体把握知识体系，以便在后面的课时中进行局部研究.在这个架构的过程中，学生要找到概念或者知识之间的联系，并找到建立这种联系的方法，还要找到模型之间的联系，以及利用模型解决问题的共同策略，起始课起到了积极且关键的作用.

在相同的问题中，让学生用不同的方式（语言）表达，建立不同语言之间的联系，并互相转换、翻译，有利于学生从整体上理解数学知识，构建认知结构.其不管是在不等式知识的学习中，还是在其他代数知识的学习中，甚至是几何知识的学习中，都起着不可估量的作用.

2.单元整体视角下的起始课，要强化学生的主体地位，要重视教学的呈现过程

教师的有效引导，能促进学生的积极思考和思维发展.丰富的情境可以激发学生的联想，且追问的过程能让学生具有一定的思维深度，特别是列不等式的步骤和用数轴表示不等式的步骤，其归纳过程能充分发挥学生的主观能动性.特别地，“问题6”的连续发问将图形语言的发生过程展现得淋漓尽致，使得学生自然而然地学会用数轴这一工具解决不等式问题，为单元后续不等式的解的概念及表示做了铺垫.

3.单元整体视角下的起始课，要重视数学思想的渗透，要提升学生的数学核心素养

单元起始课要类比，要归纳.类比的不仅仅是知识、技能，更是蕴含其中的思想、方法和研究路径.归纳的不仅仅是方法、步骤，更是研究事物的一般规律，解决问题的一般策略.

在教学过程中，教师要让学生学会使用数学语言，学会将文字信息、符号表达和图形表征联系起来，树立完整的数与式观念，这对大单元的学习起着积极的影响.在教学过程中，教师只有重视研究过程中数形结合、类比转化等思想的渗透，才能帮助学生提升数学核心素养.

4.单元整体视角下的起始课，要改变思维层级，需要更加开放的问题和形式

本节课如果在最后的拓展问题中能设置一些更加开放的问题，布置一些更具创造性的任务，比如让学生自主编题，那么会给学生创造更多的思考空间，对他们形成良好的思维品质更有帮助.